实变函数测试题-参考答案

1实变函数测试题1本试题参考答案由08统计班15号李维提供有问题联系151732413991、设212(0,1/),(0,),0,1,2...,nnAnAnnn求出集列{A}的上限集和下限集合。解：,0limnnA；设,0x，则存在N，使xN，因此nN时，0xn，即nAx2，所以x属于下标比N大的一切偶指标集，从而x属于无限多nA，得nnAxlim又显然,0limnnA，所以,0limnnA。nnAlim；若有nnAxlim，则存在A，使任意nN,有nAx。因此若21nN时，12nAx，即10xn.令n得00x，此不可能，所以nnAlim。2、证明：()fx为[,]ab上连续函数的充分必要条件是对任意实数c，集()Exfxc和1()Exfxc都是闭集。证明：必要性：若()fx是,ab上连续函数，由第二章习题8可知1E和E是闭集。充分性：若1E和E都是闭集。若有0,xab，()fx在0x点不连续。则存在00000,,nnxxfxfx，或00xfxfn，不妨设出现第一种情况。令00xfc，则cxfxExn，而Ex0（因为cxfxf000)()(），此与E是闭集相矛盾。所以()fx在,ab上是连续的。证毕。3、设nRE是任意可测集，则一定存在可测集G型集G，使得EG,且0EGm3．由外侧度定义，对任意正整数n，存在开集EGn,使nEGmn1)(，令1nnGG，则G为G型集，EG且2,1,1)()(nnEGmEGmn故0)(EGm。证毕。4、设,nABR，AB可测，且mAB，若**mABmAmB，则,AB皆可测。24．证明：先证A可测：存在G型集BG使得BmmG*。令AGBAQ。GGBABA])[(.mGmQmGGBAmBAm])[(。因为*(),()mABmGmBmAB,AmmG-BmAmmG-B)(A***mmQ,即AmmQ*,又AQ,所以AmmQ*,所以AmmQ*.*A(AB)mm，所以.0)(*QAmQQAA)(,因为Q可测，AQ可测，所以A可测。同理可证B可测。证毕。5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。5．鲁津定理：设()fx是E上a.e.有限的可测函数，则对任意0，存在闭子集EF，使()fx在F上是连续函数，且(\)mEF.逆定理：设()fx是E上的函数，对0，总存在闭子集EE，使得()fx在E上是连续函数，且()mEE，则，()fx是E上a.e.有限的可测函数。证明：对任意1n，存在闭子集EEn,使()fx在nE上连续且nEEmn1)(,令10nnEEE，则对任意n，有011nnnmEmEEmEEn。令n，得001000)()(.0nnnnEEEEEEEmE。对任意实数a，01nnEfaEfaEfa，由()fx在nE上连续，可知[]nEfa可测，而**000mEfamE，所以afE0也可测，从而afE是可测的。因此()fx是可测的。因为()fx在nE上有限，故在1nnE上有限，所以()fxa.e.有限。证毕。6、设)(xf是E上的可测函数，G为开集，F为闭集，试问])(|[GxfxE与])(|[FxfxE是否是可测集，为什么？6.由已知则开集G可写成直线上可列个开集的并集，即iiibaG),(，3()iiiiiiExfxGExafxbExfaExfb，则可知GxfxE)(是可测集。由CCFxfxEFxfxE)(，则可知FxfxE也是可测集。证毕。7、设在Cantor集0P上定义函数()fx=0，而在0P的余集中长为13n的构成区间上定义为n（1,2,3,n）,试证()fx可积分，并求出积分值。7．f(x)是非负可测函数，因而积分确定，只要证明积分有限即可。设nE是0P的余集中长为n31的构成区间之并，则nnnmE321，因此10,11112()33nnnnEnnnfxdxfxdxnmEn，所以()fx可积，且积分值为3。证毕。8、设nf为E上非负可积函数列，若lim()0,nEnfxdx则()0nfx。8．对任意0，由于nf非负可知：nfEEnnndxfdxxffmE.)(1().nnEmEffxdx因此1limlim()0nnEnnmEffxdx，即.0)(xfn证毕。9、设)(xf是E上a.e.有限的可测函数，mE。试证明对0，存在E上a.e.有界的可测函数)(xg，使得]0|[|gfmE。9．因为()fx是E上的a.e.有限的可测函数，设fED，0mD，令kEEfk故有321EEE1limkkkkEED所以0limlimmDEmmEkkkk，故0,0k，使得0KmE令g(x)=000)()(KKExEExxfxg故00KmEfgmE。证毕。10、求证4120111ln1()pnxdxxxpn,(1)p。10.由于当12020101011)(1)1(11ln1ln1x,0lnx)1,0(,1ln1ln1x,10,x111nnnpnpnpnpnpnnnpnpdxxxdxxxxxxxxxx所以时，而当）上，故在（时，证毕。实变函数测试题2本套试题参考答案由李蓉（统计班2008750408）提供，如有问题联系150732390711、证明1lim=nmnnmnAA。证明：设limnnxA，则N，使一切nN，nxA，所以1nmmAx1nnmmA,则可知nnAlim1nnmmA。设1nnmmAx，则有n,使nmmAx，所以nnAxlim。因此，nnAlim=1nnmmA。2、设222,1Exyxy。求2E在2R内的'2E，02E，2E。解：222,1Exyxy，222,1Exyxy，222,1Exyxy。3、若nRE，对0，存在开集G,使得GE且满足*()mGE，证明E是可测集。证明：对任何正整数n，由条件存在开集EGn，使得1*mGEn。令1nnGG,则G是可测集，又因1**nmGEmGEn，对一切正整数n成立，因而)(EGm=0，即EGM是一零测度集，故可测。由)(EGGE知E可测。证毕。54、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E，12mE。解：在[0,1]中去掉一个长度为16的开区间57(,)1212，接下来在剩下的两个闭区间分别对称挖掉长度为1163的两个开区间，以此类推，一般进行到第n次时，一共去掉12n个各自长度为11163n的开区间，剩下的n2个闭区间，如此重复下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为11112121663632nn。所以最后所得集合的测度为11122mE，即12mE。5、设在E上()()nfxfx，且1()()nnfxfx几乎处处成立，,3,2,1n,则有{()}nfxa.e.收敛于)(xf。证明因为()()nfxfx，则存在{}{}innff，使()infx在E上a.e.收敛到()fx。设0E是()infx不收敛到()fx的点集。1[]nnnEEff，则00,0nmEmE。因此00()0nnnnmEmE。在1nnEE上，()infx收敛到()fx，且()nfx是单调的。因此()nfx收敛到()fx（单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。即除去一个零集1nnE外，()nfx收敛于()fx，就是()nfxa.e.收敛到()fx。6、设1RE,xf是E上..ea有限的可测函数。证明存在定义于1R上的一列连续函数)}({xgn，使得)()(limxfxgnn..ea于E。证明：因为)(xf在E上可测，由鲁津定理，对任何正整数n,存在E的可测子集nE，使得1nmEEn，同时存在定义在1R上的连续函数)(xgn，使得当nEx时有)(xgn=)(xf。所以对任意的0，成立nnEEgfE][，6由此可得1nnmEfgmEEn。因此0][limnngfmE，即)()(xfxgn，由黎斯定理存在xgn的子列xgkn，使得)()(limxfxgknka.e于E.证毕。7、设,mEnf为a.e有限可测函数列，证明：()lim01()nEnnfxdxfx的充要条件是()0nfx。证明：若)(xfn0，由于1nnnfEEff,则01nnff。又()011()nnfxfx，3,2,1n,mE,常函数1在E上可积分，由勒贝格控制收敛定理得00)(1)(limEEnnndxdxxfxf。反之，若0)(1)(dxxfxfEnn（n），而且0)(1)(xfxfnn，对0，令nneEf,由于函数xxy1,当1x时是严格增加函数，因此0)(1)()(1)(1dxxfxfdxxfxfmeEnnennnn。所以0limnnfE，即0(x)nf。8、设1sin()xfxx，01x，讨论为何值时，()fx为[0,1]上L可积函数或不可积函数。解当1时,71110001111()sinsinsin/.fxdxdxdxxxxxyydx因此当1时，()fx是L不可积。当1时，在[0,1]中1x可积，且满足1sin1xxx，所以()fx是L可积。9、设mE，a.e.有限的可测函数列()nfx和()ngx，,3,2,1n，分别依测度收敛于)(xf和)(xg，证明()()()()nnfxgxfxgx。证明：因为nnnnfxgxfxgxfxfxgxgx于是0，成立[|()()|][||][||]22nnnnEfgfgEffEgg，所以[|()()|][||][||]22nnnnmEfgfgmEffmEgglim[|()()|]lim[||]lim[||]022nnnnnnnmEfgfgmEffmEgg即nngfgf10、试从,10,11132xxxxx求证111ln21234。证明：在[0,1]x时，10,1,2,3,nnxxn，由L逐项积分定理，8221221[0,1][0,1]001221000()()()1121221111234nnnnnnnnnnLxxdxLxxdxRxxdxnn