数值天气预报-第2章-地图投影-南信大模板

ChenHaishanNIMNUIST第二章地图投影的基本知识数值求解大气运动方程组时，通常需要把方程组转换到地图投影坐标系中。本节介绍地图投影的基本知识。2.1地图投影1ChenHaishanNIMNUIST一、地图投影的基本知识1、地图投影的概念光源目标物投影面地图投影就是按照一定的数学条件，把球形的地球表面展绘于平面图上。或者说把地球表面投影到一个简单的曲面上。2ChenHaishanNIMNUIST①距离误差；②面积误差；③角度（形状）误差2、投影误差3ChenHaishanNIMNUIST①等角投影或正形投影（保角投影）投影后，地球表面的任意两条交线的夹角保持不变，且在投影面任意一点在各个方向上长度放大或缩小的倍数相等，投影之后不产生角度或形状的误差。3、投影类型③任意投影②等面积投影●按地图投影误差的性质可分为：4ChenHaishanNIMNUIST③圆柱投影●按地图投影面的性质可分为：①方位投影或平面投影；②圆锥投影；5ChenHaishanNIMNUIST●映像面：投影的投射面(投影面)。●映像平面：映像面沿某一条经线切开所展成的平面。●地图：映像平面按地图比例尺缩小后的图。●切投影：映像面与地球表面相切于某一点的投影。●割投影：映像面与地球表面相割的投影。●标准纬度：映像面与地球表面相交的纬度（通常记作）标准纬度上，映像面上的距离等于地球表面上相应的距离。04、地图投影的基本概念及几个重要因子6ChenHaishanNIMNUIST（1）映像比例尺：又称为地图放大系数或地图放大因子，标准纬度上，=时，m=1。地球表面上相应的距离映像平面上的距离m0（2）缩小比例尺：又称地图比例尺。映像平面上相应的距离离地图上任意纬度上的距（3）实际比例尺：ms地球表面上相应的距离离地图上任意纬度上的距7ChenHaishanNIMNUIST二、正形投影及其基本关系式正形投影是实际应用最多的一种投影方式，首先讨论正形投影及其基本性质。正形投影的光源位于球心，映像面为圆锥面，映像面圆锥角为（），标准纬度为。18000图2.4图2.508ChenHaishanNIMNUIST定义：k为单位经度圆锥面所张的平面角，它表示了圆锥的几何特征，称之为圆锥常数，故整个圆锥面张开所成的平面角为，纬度为处的纬圈在映像平面上的长度为：（l为映像平面上纬度为的纬圈上任意一点到北极点的距离）1、地图放大系数m的计算cos22aRLssk2klL2地球表面纬度为处，纬圈的长度为：图2.4图2.59ChenHaishanNIMNUIST可见，要计算m，首先得确定k和l。据m的定义，则有：（2.1）其中为余纬。sincosaklaklLLms10ChenHaishanNIMNUIST标准纬度=处，m=1：（2.2）而对于任意给定的投影方式，是确定的，所以，可以确定k。000sinlak00,l2、圆锥常数k的计算sinaklm11ChenHaishanNIMNUIST正形投影：经向的地图放大系数等于纬向的地图放大系数：3、l的表达式sindlklada图2.412ChenHaishanNIMNUIST00sinkdldlll)2/cos()2/sin(2sin020)2()2/(cos)2/sin()2/cos(dkldlll利用三角变换知识：积分sinsinkdldlakladdl利用积分关系式：ddtg2cos100)2()2/(1dtgtgkldlll13ChenHaishanNIMNUIST00)2()2/(1dtgtgkldlllktgtgll2200ktgtgkal22sin00ktgtgm22sinsin00sinaklm确定了计算地图放大系数时所需要的k和l，把k和l代入（2.1）式，即有：（2.4）（2.3）000sinakll替换14ChenHaishanNIMNUIST极射赤面投影是一种正形割投影，其光源位于南极，映像面为一与地球相割于60oN的平面，标准纬度三、极射赤面投影o0=60N图2.6圆锥投影的一种极限情形，，k=1o=18015ChenHaishanNIMNUIST投影后，在映像平面上，经线为一组由北极点向赤道辐射的直线，而纬线为一组以北极点为圆心的同心圆。投影后，经纬线仍然正交。16ChenHaishanNIMNUIST对于这种投影，代入1.k、l和m的表达式01,30ksin1coscos1sin2tgsin1cos232alsin11232mktgtgkal22sin00ktgtgm22sinsin00极射赤面投影下m是纬度的函数。（2.7）（2.6）并利用可得：17ChenHaishanNIMNUIST在数值天气预报的实际工作中，计算通常是在网格系中进行的，要精确地确定网格点的纬度，计算m是很难做到的。2.实际计算m的方法18ChenHaishanNIMNUIST令=11888.45KMle为极射赤面投影映像面上赤道到北极点的距离。故（2.6）式可以写成：（2.8）232alecos1sinella=6371kmla2321cossin19ChenHaishanNIMNUIST由（2.8）式，可以得到：最终有：（2.9）sin1sin1sin1sin1sin1cos2222222222eeellllll2222sinlllleecos1sinell20ChenHaishanNIMNUIST可得实际计算放大系数的公式：其中，可以按下式计算l：d为网格距，In和Jn为网格点相对于北极点的坐标。（2.11）（2.10）222211232llllmee222dJIlnnOX地图坐标系网格坐标系参考经线oyxY(1)/2()/nnIimJljdd21ChenHaishanNIMNUIST同样，可以得到计算科氏参数的表达式如下：（2.12）其中为地球的自转角速度。22222sin2llllfee510292.722ChenHaishanNIMNUIST兰勃托投影也是一种正形投影，其光源位于地球球心，映像面为一个与地球表面相割于30N和60N的圆锥面，圆锥角为90。四、兰勃托投影（LambertProjection）3060,6030,902211NN图2.723ChenHaishanNIMNUIST投影后，在映像平面上，经线为一组由北极点向赤道辐射的直线，而纬线为一组以北极点为圆心的同心圆弧。投影后，经纬线仍正交。也称为双标准线等角圆锥投影。24ChenHaishanNIMNUIST1.l、m和k的表达式利用（2.3）式，可得到l的表达式：（2.13）而地图投影放大系数的表达式则为：（2.14）ktgtgkal22sin11ktgtgkal22sin22ktgtgm22sinsin11ktgtgm22sinsin2225ChenHaishanNIMNUIST在标准纬度上有，根据（2.14）式可解出k（2.15）1m1122sin2sin2ktgtg1212lnsinlnsin0.7156lnln22ktgtg26ChenHaishanNIMNUIST采用求解极射赤面投影地图投影放大系数的同等方法，可得以下关系式：令=11142.37KM（2.16）为兰勃托投影映像面上赤道到北极点的距离。2、实际计算m的方法1212sinsin1122kkeaalkktgtg27ChenHaishanNIMNUIST根据从而有：2/2/2/2/21kkekkellllaklmkkekkellllf/2/2/2/22kellsin1coskkekkellll/2/2/2/2sinsincosaklaklLLms（2.19）（2.18）28ChenHaishanNIMNUIST麦卡托投影，光源位于球心，映像面是与地球表面相割于南北纬22.5o的圆柱面，标准纬度：五、麦卡托投影（Mercator投影）1222.5N22.5S图2.929ChenHaishanNIMNUIST投影后，经线为等距平行的直线，纬线为与经线垂直的直线，正形圆锥投影的极限情形。当，所以不能再采用普遍的正形投影中的关系式来对之进行讨论，而是从地图放大系数的定义入手，来求有关的表达式。0,kl30ChenHaishanNIMNUIST地球表面纬度为处，纬圈的长度为：而其在映相面上的长度为：所以有：（2.21）注意：Je为网格点相对于赤道的坐标。cos5.22cossLLm225.22cos5.22coscosdJaaOPOEecos22aRLss5.22cos22aRL图2.931ChenHaishanNIMNUIST最终，得出计算的表达式：（2.26）可见，其放大系数是关于赤道成纬向轴对称的。22cos22.5eaJdma32ChenHaishanNIMNUIST极射赤面投影兰勃特投影墨卡托投影900.9330—∞800.94021.29265.3204700.96201.08362.7012601.00001.00001.8478501.05660.96851.4373401.13590.97031.2060301.24401.00001.066822.51.34961.04071.0000201.39051.05800.9832101.58991.14910.938101.86601.28300.9239表2.2地图放大系数33ChenHaishanNIMNUIST三种地图投影方式总结：（1）极射赤面投影，在极地和高纬度地区产生的变形较小，这种投影方式通常用于制作极地天气图和北半球天气底图。（2）兰勃托投影，在中纬度地区产生的变形较小，这种投影方式通常用于制作中纬度地区的天气图，如亚欧天气底图。（3）麦卡托投影，在低纬或热带地区产生的变形较小，这种投影方式通常用于制作低纬或热带地区的天气底图。34ChenHaishanNIMNUIST第二部分小结地图投影的基本概念（地图放大因子m、参考纬度等）；三种常用的地图投影方式的基本概念、特点及其地图放大因子的计算。35ChenHaishanNIMNUIST三、坐标变换及地图投影坐标下的基本方程组2.2普遍的正交曲线坐标系中的基本方程组2.3普遍的地图投影坐标系中的基本方程组YX36ChenHaishanNIMNUIST地图投影是一种普遍的正交曲线坐标系。本节将介绍正交曲线坐标系的基本知识，正交曲线坐标系中的大气运动方程组。2.3普遍的正交曲线坐标系中的基本方程组37ChenHaishanNIMNUIST直线坐标系中，某一空间点P对应的矢径表示为：kzjyixrr一、正交曲线坐标系（2.27）zxyrPO引入变量（j=1，2，3），且满足：（2.28）jqzyxqqjj,,jqrr可以把P的位置矢径表示为：（2.29）r38ChenHaishanNIMNUIST一般把（j=1，2，3）称为点P的普遍的正交曲线坐标。图2.10正交曲线坐标系j