1996年考研数学二试题及答案

超级狩猎者1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设232()xyxe,则0xy＿＿＿＿＿＿.(2)1221(1)xxdx＿＿＿＿＿＿.(3)微分方程250yyy的通解为＿＿＿＿＿＿.(4)31limsinln(1)sinln(1)xxxx＿＿＿＿＿＿.(5)由曲线1,2yxxx及2y所围图形的面积S＿＿＿＿＿＿.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设当0x时,2(1)xeaxbx是比2x高阶的无穷小,则()(A)1,12ab(B)1,1ab(C)1,12ab(D)1,1ab(2)设函数()fx在区间(,)内有定义,若当(,)x时,恒有2|()|fxx,则0x必是()fx的()(A)间断点(B)连续而不可导的点(C)可导的点,且(0)0f(D)可导的点,且(0)0f(3)设()fx处处可导,则()(A)当lim()xfx,必有lim()xfx(B)当lim()xfx,必有lim()xfx(C)当lim()xfx,必有lim()xfx(D)当lim()xfx,必有lim()xfx(4)在区间(,)内,方程1142||||cos0xxx()(A)无实根(B)有且仅有一个实根超级狩猎者(C)有且仅有两个实根(D)有无穷多个实根(5)设(),()fxgx在区间[,]ab上连续,且()()gxfxm(m为常数),由曲线(),ygx(),yfxxa及xb所围平面图形绕直线ym旋转而成的旋转体体积为()(A)2()()()()bamfxgxfxgxdx(B)2()()()()bamfxgxfxgxdx(C)()()()()bamfxgxfxgxdx(D)()()()()bamfxgxfxgxdx三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)(1)计算ln2201xedx.(2)求1sindxx.(3)设2022(),[()],txfuduyft其中()fu具有二阶导数,且()0fu,求22dydx.(4)求函数1()1xfxx在0x点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式.(5)求微分方程2yyx的通解.(6)设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为22ab、,用过此柱体底面的短轴与底面成角(02)的平面截此柱体,得一锲形体(如图),求此锲形体的体积V.四、(本题满分8分)计算不定积分22arctan(1)xdxxx.超级狩猎者五、(本题满分8分)设函数2312,1,(),12,1216,2.xxfxxxxx(1)写出()fx的反函数()gx的表达式；(2)()gx是否有间断点、不可导点,若有,指出这些点.六、(本题满分8分)设函数()yyx由方程3222221yyxyx所确定,试求()yyx的驻点,并判别它是否为极值点.七、(本题满分8分)设()fx在区间[,]ab上具有二阶导数,且()()0fafb,()()0fafb,试证明：存在(,)ab和(,)ab,使()0f及()0f.八、(本题满分8分)设()fx为连续函数,(1)求初值问题0(),0xyayfxy的解()yx,其中a为正的常数；(2)若|()|fxk(k为常数),证明：当0x时,有|()|(1)axkyxea.超级狩猎者2121yxxxyO1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】13【解析】132221132xxyxee,02111323xy.(2)【答案】2【解析】注意到对称区间上奇偶函数的积分性质,有原式11222211211211022xxxxdxxxdx.【相关知识点】对称区间上奇偶函数的积分性质：若()fx在[,]aa上连续且为奇函数,则()0aafxdx；若()fx在[,]aa上连续且为偶函数,则0()2()aaafxdxfxdx.(3)【答案】12cos2sin2xyecxcx【解析】因为250yyy是常系数的线性齐次方程,其特征方程2250rr有一对共轭复根1212r,ri.故通解为12cos2sin2xyecxcx.(4)【答案】2【解析】因为x时,sinln1ln1kkkxxx(k为常数),所以,原式3131limsinln1limsinln1limlim312xxxxxxxxxxxx.(5)【答案】1ln22【解析】曲线1yx,x2y的交点是12,,2211,xyxxx当1x时1yxx(单调上升)在2y上方,于是212211211ln2ln2.22Sxdxxxxx二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)超级狩猎者(1)【答案】(A)【解析】方法1：用带皮亚诺余项泰勒公式.由21xeaxbx222112!xxxaxbx222112bxaxxx令,可得10111202b,a,b.a,应选(A).方法2：用洛必达法则.由2200(1)2limlim0,2xxxxeaxbxeaxbxx洛有0lim2101.xxeaxbbb又由0022121limlim02222xxxxeaxbeaaax.应选(A).(2)【答案】(C)【解析】方法一：首先,当0x时,|(0)|0(0)0ff.而按照可导定义我们考察2()(0)()00(0)fxffxxxxxxx,由夹逼准则,0()(0)(0)lim0xfxffx,故应选(C).方法二：显然,(0)0f,由2|()|fxx,(,)x,得2()1(,0)(0,)fxxx,,即2()fxx有界,且200()(0)()(0)limlim0xxfxffxfxxx.故应选(C).方法三：排除法.令3(),(0)0,fxxf故(A)、(B)、(D)均不对,应选(C).超级狩猎者【相关知识点】定理：有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)【答案】(D)【解析】方法一：排除法.例如()fxx,则(A),(C)不对；又令()xfxe,则(B)不对.故应选择(D).方法二：由lim()xfx,对于0M,存在0x,使得当0xx时,()fxM.由此,当0xx时,由拉格朗日中值定理,0000()()()()()()()fxfxfxxfxMxxx,从而有lim()xfx,故应选择(D).【相关知识点】拉格朗日中值定理：如果函数()fx满足(1)在闭区间[,]ab上连续；(2)在开区间(,)ab内可导,那么在(,)ab内至少有一点(ab),使等式()()()()fbfafba成立.(4)【答案】(C)【解析】令1142()||||cosfxxxx,则()()fxfx,故()fx是偶函数,考察()fx在(0,)内的实数个数：1142()cosfxxxx(0x).首先注意到(0)10f,1142()()()10,222f当02x时,由零值定理,函数()fx必有零点,且由314211()sin042fxxxx,()fx在(0,)2单调递增,故()fx有唯一零点.当2x时,11114242()cos()()10,22fxxxx没有零点；因此,()fx在(0,)有一个零点.又由于()fx是偶函数,()fx在(,)有两个零点.超级狩猎者axxdxx()ygx()yfxOymb故应选(C).【相关知识点】零点定理：设函数()fx在闭区间[,]ab上连续,且()fa与()fb异号(即()()0fafb),那么在开区间(,)ab内至少有一点,使()0f.(5)【答案】(B)【解析】见上图,作垂直分割,相应于,xxdx的小竖条的体积微元22(())(())dVmgxdxmfxdx(())(())(())(())mgxmfxmgxmfxdx2()()()()mgxfxfxgxdx,于是2()()()()baVmgxfxfxgxdx,故选择(B).三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)(1)【解析】方法一：换元法.令21xeu,则221ln(1),21uxudxduu,所以3332ln2222222000011111(1)(2)11211xuedxdududuuuuu3201133lnln(23)2122uu.方法二：换元法.令sinxet,则coslnsin,sintxtdxdtt,:0ln2:26xt,ln2262026cos11cossinsinsinxtedxtdttdttt超级狩猎者22663ln(csccot)cosln(23)2ttt.方法三：分部积分法和换元法结合.原式ln2ln2220011()xxxxeedxede2ln2ln2220011xxxxxeeeedxe令xet,则:0ln2:12xt,原式22221133ln(1)221dtttt3ln(23)2.【相关知识点】1.1csclncsccotsinxdxdxxxCx,2.0a时,2222lndxxxaCxa.(2)【解析】方法一：2(1sin)1sin1sin(1sin)(1sin)cosdxxdxxdxxxxx22221sincosseccoscoscosxdxdxdxxdxxxx1tancosxCx.方法二：21sin(cossin)22dxdxxxx222(1tan)sec222(1tan)(1tan)1tan222xdxdxCxxx.方法三：换元法.令tan2xt,则22222tan22arctan,,sin11tan1ttxtdxxttt,原式2221222221(1)111tan12dtdtCCtxtttt.(3)【解析】这是由参数方程所确定的函数,其导数为22222()()24()()dydyftfttdttftdxdxftdt,超级狩猎者所以2222221()(4())4()4()2()dyddydtddttftfttfttdxdtdxdxdtdxft22224()2()()fttftft