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★《零件参数设计的数学模型》★1零件参数设计的数学模型指导老师数学建模教练组李俊(热9501)罗建梅(热9502)王震宇(供9502)摘要:本文基于Y偏离Y0造成的损失和零件成本,根据原设计给定的标定值和容差,使用网格法和随机搜索法,利用计算机编程计算产品分别为正品、次品、废品时的概率,进而分析产品是正品、次品、废品的概率的稳定性,得到较为精确且合理的结果,最后求出原设计的总费用(损失费+成本费)为313.4万元。本文通过分析参数x1,x2,…,x7对y的影响,在原设计的标定值附近找出一个使y在其附近的变化比较稳定的点,并使y=1.5,再利用计算机仿真实验,综合判断容差等级方案,确定出比较理想的标定值和容差等级方案:最后确定的方案比原设定节约费用271.2425万元。一、问题的重述一件产品由若干零件组装而成,标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行批量生产时,标定值表示一批零件该参数的平均值,容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量,则标定值代表期望值,在生产部门无特殊要求时,容差通常规定为均方差的3倍。在进行零件参数设计时,由于零件组装产品的参数偏离预先设定的目标值,所以造成质量损失,偏离越大,损失越大;且零件的容差大小决定了其制造成本,容差设计的越小,成本越高。有一种离子分离器某参数(记作Y)由7个零件的参数(记作X1,X2,…X7)决定,经验公式为:Y=174.42()().[.()]()../.XXXXXXXXXXX153210854205632421166712621036Y的目标值(记作Y0)为1.50。若Y偏离Y00.1时,产品为次品,质量损失1000(元);若Y偏离Y00.3时,产品为废品,损失9000(元)。零件参数的标定值有一定的容许变化范围;容差分为A、B、C三个等级,用与标定值的相对值来表示,A等为1%,B等为5%,C等为10%。7个零件参数标定值的容许范围及不同容差等级零件的成本(元)如下表(符号/表示无此等级零件):标定值容许范围C等B等A等X1[0.075,0.125]/25/X2[0.225,0.375]2050/X3[0.075,0.125]2050200X4[0.075,0.125]50100500★《零件参数设计的数学模型》★2X5[1.125,1.875]50//X6[12,20]1025100X7[0.5625,0.935]/25100现进行成批生产,每批产量1000个。在原设计中,7个零件参数的标定值为:X1=0.1,X2=0.3,X3=0.1,X4=0.1,X5=1.5,X6=16,X7=0.75;容差均取最便宜的等级。综合考虑Y偏离Y0造成的损失和零件成本,重新设计零件参数(包括标定值和容差),并与原设计的总费用相比较。二、模型假设及符号约定模型假设1.零件的总损失取决于各种类型的零件出现的概率;2.零件的参数符合正态分布;3.符合要求的零件只考虑自身成本,而不再考虑其它因素的影响。符号约定M表示成批生产时每批产量的个数,此题为1000个;a表示产品为次品时的质量损失为1000元;b表示产品为废品时的质量损失为9000元;I表示第i个零件参数对应的均方差;i表示一批零件第i个零件参数的平均值,即期望值;i表示第i个零件(变量)的新值;Ri表示变量Xi对i的搜索区域;Kd表示区域缩减系数,其值正数;r表示[0,1]之间服从均匀分布的伪随机数;k表示随机概率的分布系数,是个正奇数;zy偏离y0的绝对值;Py偏离y0造成的损失;P’表示零件的成本;Qy偏离y0造成的损失和零件成本三、问题的分析由于标志产品性能的参数是由零件的参数所决定的。而零件的参数包括标定值和容差两部分。如果将零件参数视为随机变量,则标定值代表期望值。那么,根据3原理,在其中的概率为:0.9974。显然,在此之外的概率为:0.0026。相比之下,在其之外的可以忽略不计。故此,在生产部门无特殊要求时,容差规定为均方差的3倍是合理的。由题意,我们还可以得到:容差与标定值的相对值可以判断容差的等级(进而可以确定零件的成本),即:★《零件参数设计的数学模型》★3A等:3ii01.B等:0.13ii0.3C等:3ii03.进行零件参数设计,就是要确定其标定值和容差。此时要考虑到产品的损失和零件成本,而产品的损失和零件的成本都是由零件参数决定。所以,我们就先从产品的零件参数着手,逐步求优。零件参数x1,x2,…,x7对y的影响由经验公式:yxxxxxxxxxxx17442126210361232108542056324211667......来确定,因y的目标值(记作y0)为1.50。且已知:当y偏离y001.时,产品为次品,质量损失为1,000(元);当y偏离y003.时,产品为废品,损失为9,000(元)。可见,选定的标定值x1,x2,…,x7使得y的值接近1.5,且在(x1,x2,…,x7)附近y的取值稳定在1.5附近。所以,我们所设计零件参数,就要尽可能使产品为正品的数量多,次品的数量少、尽量使废品不出现,从而使得总费用(损失费+成本费)最小。四、模型的建立在原设计中,组成离子分离器的七个零件参数的标定值已知为:X1=0.1,X2=0.3,X3=0.1,X4=0.1,X5=1.5,X6=16,X7=0.75将以上标定值代入公式:yxxxxxxxxxxx17442126210361232108542056324211667......得出:y17255.显然:yy0172551502255...大于0.1且小于0.3由y的取值符合正态分布,可以看出在该标定值下,产品出现“次品”和“废品”的概率较大。由于零件的容差均取最便宜的等级,故此,可得出七个零件参数可能的取值范围如下表:★《零件参数设计的数学模型》★4X1X2X3X4X5X6X7取值范围[0.095,0.105][0.27,0.33][0.09,0.11][0.09,0.11][1.35,1.65][14.4,17.6][0.7125,0.7875]为了计算yy偏离0造成的损失和零件成本。我们给出了两个模型。模型一首先考虑yy偏离0造成的损失,由于给出的零件参数都有一定的容差,所以零件成本即可确定。进一步,由零件的参数决定的产品参数也在一定的范围之内。而要确定损失,首要问题就是要确定生产一批产品中正品、次品、废品出现的数量。在此之前,我们先对一批产品中正品、次品、废品的概率做一计算;根据已知条件我们建立了以下的模型:min(,,,)(,,,),,,.[,],,,ZPxxxPxxx1000900012112212123其中abii,为参数Xi标定值容许范围,wi为容差等级。模型二利用随机搜索法,由于零件的参数是随机的(参数)且符合正态分布,所以,我们构造出另一模型:xxRKrstxJiniiidKi().(,,,)02112其中K为随机概率的分布系数,是个正奇数,以保证()21r值可正可负,其值通常取1,3,5,7等,其中K的值越大,则所构成的函数就越窄,反之越缓。但是在K大于7时在多数情况下,对搜索不很有利,降低了收敛速度。所以,我们在对K取值时应尽量避开大于7的数。由正态分布的特点可知:当K=1时,显然是不可取的。但是,K的取值有规律,即x的取值范围(也就是零件的容差)越小,K就越大,反之越小。五、模型求解及结果分析模型一我们利用网格法(亦称枚举法)求解,把划定的区域分成若干个“网格点”,然后就各个网格所在的产品规格做一分析,得出正品、次品、废品的概率,从而得出总的费用。于是得出求解方程PPfxfxfxinstfxJjnnii112212,,,,,.★《零件参数设计的数学模型》★5所以PPxPxPxdxdxdxininnnn11221212(),()()(,,,)从上式可以看出,求解需进行七次积分,如不利用计算机进行计算,显然很难得出结果,此时我们就编程利用计算机求解。在此,我们利用数学软件Mathematica编程(源程序及求解过程见附录1)求解得:P=293.4(万元)由于零件的等级均取最便宜的,所以,零件的成本为:P’=20(万元)总的代价为:P总=P+P’=293.4+20=313.4(万元)在此,我们为了使模型具有可靠性,还利用了数学软件Mathematica在零件参数范围之内随机取值得出结果。当随机循环比较小时,P总的变化比较大,即P总的值不稳定,而当随机循环次数比较大时,P总的值趋向一稳定值。我们把随机循环的次数为20万次与50万次的做一统计:20万次时,P总=313.4(万元);50万次时,P总=314(万元)。由于在产品中只要出现一个废品,其费用就要增加9000元,而上面得出的结果只相差6000元。所以,可以验证以上得出的结果具有稳定性。模型二我们把模型二结合已知的数据,对模型xxRKrstxJiniiidKi().(,,,)02112中的参数做一分析:把xi0记作零件参数的标定值,零件的容差决定了xi的取值范围。由于RKridK21正是用来确定xi的取值。而21rK是(-1,1)之间的值。所以,我们把RKid记为32。我们编程(程序参见附录二:qbasic程序)利用计算机求得P正、P次、P废的概率分别为0.09、0.695、0.215,求得在原设计中y偏离y0造成的损失和零件成本共283000★《零件参数设计的数学模型》★6元。在编程进行的随机搜索法中,我们发现K和Kd的选择对算法效率有显著的影响。当靠近最优点时,增大K和减小Kd的值,可使P废的概率增大,经过一定次数的迭代,取Kd=1,K=3.这样我们的模型具有一定的稳定性和合理性。由于我们所建模型时伪随机数r的个数不同,导致在不同次数的计算中,r的值不能一一对应相等。r的个数越多,在我们所编程序中运行次数越多,即步长越小,搜索越细,相对来说计算结果就越精确,所以由于计算时间的限制我们的计算结果免不了会有误差存在。从以上两个模型结果可以看出,计算结果相差无几,这也许是由于随机误差的原因,因为只要在产品中增加一个废品,那么总费用将增加9000元,而两模型的结果相差不到两万元,故此,这点误差是可以容忍的。由于在模型二中,一些参数带有主观色彩,使得计算结果就不能确定其完全可靠,但经过模型一及计算机随机发生器产生的结果检验。而且,当我们计算的循环次数越多,其结果越稳定。故此,模型二还是有一定的可信度。对于模型一,虽然比较严密,但是计算量特别大,我们设计的程序运行将近两个小时,而模型二只需10分钟就可以得出结果。至于利用数学软件Mathematica随机发生器计算结果,只是对模型进行验证的一种方法。六、重新设计零件参数由给定的值计算的结果:yxxxxxxxxxxx17442126210361232108542056324211667......y17255.总费用的期望值313.4万元。可以看出,给定零件参数的标定值,其组成产品某参数在正品的范围之外,且总费用之大,简直不符合实际。对此,我们需重新设计零件参数,使得总费用的期望值降低。所以,我们需对原零件的参数做逐步微调。首先,我们应分析各零件的敏感度(零件参数对产品参数的影响程度)。先把确定情况下产品参数对零件参数的偏导做一计算。显然,偏导越大,其敏感度就越大。也就是首先应调整的参数。x1x2x3x4x5x6x7一阶偏导24.5896-5.9910614.6675-4.02809-1.1
本文标题:零件参数设计的数学模型
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