单相交流电路课件资料

单相交流电路电压、电流的大小和方向不随时间变化的，被称为直流电（DC），函数波形如图2.1所示。把电压、电流的大小和方向随时间按正弦规律变化的称为正弦交流电，简称交流电（AC），函数波形如图2.2所示。图2.1图2.2本章内容1.1交流电的基本概念2.2交流电的相量表示3.3单一参数的交流电路1.1交流电的基本概念一般把这些按正弦规律变化的电压和电流统称为正弦量。如图1-1所示，要确切描述一个正弦量，需要三个参数，电路中把它们称为频率、幅值和初相位，我们把这三个参数也统称为正弦交流电的三要素。1.1正弦交流电三要素图1-1（1）正弦量完成一个循环所需要的时间，称为周期，用T表示，单位为秒（s）。把每秒完成循环的次数，称为频率，用f表示，单位为赫（Hz）。根据定义可知，频率f与周期T的关系为角频率是指正弦量在一秒内转动的弧度数，单位为弧度/秒（rad/s1fT22fT【例1.1】我国的工业频率为50Hz,那么它的周期等【解】T=1/f=1/50=0.02sω=2πf=2×3.14×50=314rad/s(2)正弦量的时域函数能表示出它的瞬时值，电路中规定用小写字母表示，如电流、电压和电动势的瞬时值分别用i、u和e表示。我们把瞬时值中最大的数值称为最大值，也称幅值，用带有下标（m）的大写字母表示，如电流、电压和电动势的最大值分别用Im、Um和Em（3）相位、初相位和相位差例如，正弦交流电流可用三角函数式表示。即i=Imsinωti(t=0)=0u=Umsin(ωt+φ)显然它的初始值不等于零,u(t=0)=Umsinφ为了与空间角相区别,把ωt+φ称为正弦量的相位,它是随时间变化的量,反映正弦量的变化进程。把t=0时的相位称为初相位，简称初相，它反映计时起点的正弦量的值。我们把两个同频率正弦量的相位之差或初相位之差，称为相位差，用Δφ表示。对于上面两个正弦量，电压u和电流iΔφ=(ωt+φu)-(ωt+φi)=φu-φi当Δφ＞0，如图2.4所示，电压的相位超前电流的相位，说明电压比电流先达到正的最大值；反过来说,电流滞后电压Δφ角。当Δφ=0，如图2.5所示，说明电压与电流同时达到正的最大值，这种情况被称为同相。当Δφ=π，如图2.6所示，电压达到正的最大值时电流达到负的最大值，这种情况被称为反相。当Δφ=π/2，如图2.7所示，电压比电流超前π/2达到正的最大值，这种情况被称为正交。图2.4图2.5图2.6图2.71.2正弦量的有效值有效值是根据电流的热效应（即电能转化为热能）得出的。现将两个阻值相同的电阻分别通以交流电流i和直流电流I，如果在交流电的一个周期T内，两个电阻消耗的电能相等，即产生的热量相同，那么这个直流电流的数值就是这个交流电流的有效值。在直流电路中，电阻在一个周期时间内消耗的WD=I2RT同样，在交流电路中，电阻在一个周期内消耗20TAWiRdtWD=WA所以有假设i=Imsinωt,如果电压和电动势是按正弦规律变化的，则同220TIRTiRdt222mm00I11Isin2TTIidttdtTTm2UUm2EE【例1.2】正弦交流电压和正弦交流电流的瞬时值表达式u=311sin(314t-60°)Vi=2.828sin(314t+30°)A试求u和i【解】Um=311V有效值电流的幅值Im=2.828Am3112201.4142UUV有效值它们的频率φu=-π/3φi=π/6Δφ=φu-φi=-π/3-π/6=-π/2m2.82821.4142IIA31450223.14fHz2.2交流电的相量表示用代数形式表示时A=a+jb用三角形式表示时A=|A|(cosφ+jsinφ)用指数形式表示时A=|A|ejφ=|A|(cosφ+jsinφ)A=a1+jb1B=a2+jb22.2.1复数的基础知识A±B=(a1±a2)+j(b1±b2)复数的相加和相减运算也可以在复平面内用作图的方法，作图计算遵循平行四边形法则，如图2.8(a)、(b)图2.8而复数的指数形式便于复数的乘除运算。设有A=|A|ejφ1B=|B|ejφ2A×B=|AB|ej(φ1+φ2)A/B=|A/B|ej(φ1-φ2)例题（一）：化下列复数为直角坐标形式。（1）A=1030，（2）A=660。。解：（1）A=1030=10（cos30+jsin30)=8.66+j5。。。（2）A=660=6（cos60+jsin60)=3+j2.598。。。例题（二）：化下列复数为极坐标形式。（1）A=3+j4（2）A=6-j8解：（1）A=3+j4=arctg=553.1224334。（2）A=6-j8=arctg=10-53.1228668。2.2.2正弦量的相量表示u=Umsin(ωt+φu)另有一复数为A(t)=Umej(ωt+φu)=Umcos(ωt+φu)+jUmsin(ωt+φu)ujjtmmu=I[A(t)]=I[2Uee]其复常数部分Uejφu包含了正弦量的有效值和初相位，我们把这个复数称为正弦量的相量，则有复数可以在复平面上用向量来表示。正弦量的相量也可以在复平面上表示，我们把这种表示相量的图称为相量图。如图2.9所示，图中左边为旋转相ujU=Ue图2.9【例2.3】u=311sin(ωt+90°)Vi=14.1sinωtA(1)试写出u、i(2)画出u、i【解】(1)电压和电流的有效值分别为U=311/1.414=220V,I=14.1/1.414=10Aφu=π/2,φi=0Δφ=φu-φi=π/2(2)u和i的相量图如图2.10所示。图2.10【例2.4】u1=311sinωtVu2=311sin(ωt-120°)Vu3=311sin(ωt+120°)V(1)试写出u1、u2、u3(2)画出u1、u2、u3的相量图；利用相量图求出它们的和u。【解】(1)它们的有效值相同都为220Vφ1=0,φ2=-2π/3,φ3=2π/3(2)电压和电流的相量图如图2.11所示，在图中用用相量表示u=u1+u2+u3=0图2.11123U=U+U+U=0i1=6cos(ωt+)A，i2=4cos(ωt+)A；22例已知64求:(i1+i2),(i1-i2)。解：由于i1、i2的角频率相同，所以可用相量法计算。i1,i2对应的相量分别为：İ1=6A，İ2=4A63而i′=i1+i2对应的相量为：İ′=İ1+İ2=(６+４)=(5.196+j3+2+j3.464)A63=(7.196+j5.464)A=9.6741.9A。所以i′=i1+i2=9.67cos(ωt+41.9)A。2。所以=i1-i2=3.23cos(ωt-8.26)A2i=(6-4)A=(3.196-j0.464)A632.1..III2.3单一参数的交流电路只有电阻元件的电路称为纯电阻电路。如白炽灯、电热器等都可以近似为电阻性元件。（1）电压与电流的关系图2.12为纯电阻元件的正弦交流电路，在电阻两端加正弦交流电压u=Umsinωt，电压和电流参考方向2.3.1纯电阻电路图2.12mui==IRImUSintSintRU可得　=R综上所述，纯电阻电路中电压和电流有如下关①电阻不改变电路的频率，电阻的电压和电流②数值上，电压和电流的最大值、有效值、瞬③相位上，电压和电流的相位差为0，即同相位。电阻两端的电压和电流的相量图和波形图分别如图2.13(a)、(b)图2.13（2）①瞬间电压和电流的乘积，即瞬时功率，用小写字母p来表示，单位为瓦（W）或千瓦（kW）。那么p=ui=Umsinωt·Imsinωt=UI(1-cos2ωt)波形如图2.14所示，从图中可以看出，瞬时功率p≥0。图2.14②平均功率是指电能在一个周期内的平均值，也称有功功率，用大写字母P来表示。即：由式（2.100011P(1cos)TTTTpdtUItdtUI＝22PUUIIRR【例2.5】一个220V、100W的电熨斗接于220V、50Hz的电源上，试求：(1)通过电熨斗的电流有效值I，如假设电源电压的初相位为30°，写出电流的瞬时值表达式；(2)若电熨斗平均每天使用半小时，每月消耗的电能为多少？（每月按30【解】(1)I=P/U=100/220=0.45Aω=2πf=2×3.14×50=314rad/s如电压初相位为30°，那么电流的初相位也为30°，i=0.45×1.414×sin314t+30(2)W=Pt=0.1×0.5×30=1.5kW·h2.3.2纯电感电路只有电感元件的电路，称为纯电感电路，如荧光灯的镇流器，假设电阻为零，可以认为是纯电感线圈；理想变压器空载运行时，可以认为是纯电感（1）如图2.15i=ImsinωteL=-Ldi/dt图2.15由基尔霍夫电压定律可得令XL=ωL=2πfL，称为感抗，单位为欧姆，那么Um=ImXL式（2.12）两边同除以1.414U=IXLmmm(Isin)IcosIsin()sin()22tmdiueLLtLtdtLtUt①纯电感元件不改变电路的频率，电感上的电②纯电感电路中，电压相位超前电流相位π/2。③纯电感电路中，电压和电流的有效值和最大值符合欧姆定律；而它们的瞬时值是微分关系。电感两端电压和电流的相量图和波形图如图2.16(a)、(b)图2.16（2）电路的功率①电感上的瞬时功率是指电感两端的电压瞬时值与通过它的电流瞬时值的乘积。即：显然，瞬时功率是随时间按正弦规律变化的，而且其频率是电源频率的两倍；波形如图2.17所示。msin()IsinIsin22mPuiUttUt图2.17②有功功率由功率的波形图可以看出，在一个周期内横轴上方和下方的面积相等，即电感吸收和释放的能量相等，从而可知，有功功率为零。数学推导如下：0011Psin0TTTTpdtUItdt＝③无功功率无功功率是用来反映电感元件与外部电路能量互换规模的大小。无功功率的大小等于电感两端的电压有效值与通过其电流的有效值的乘积。用QL来表示，单位为乏（var）、千乏（kvar）。22LQLLLLUUIIXX＝（3）由上所述，可知电感线圈不消耗能量，而是把吸收的能量转化为磁场能量存储起来，假设在开始时刻，电流为零，即i(t=0)=0A。用W表示电感的磁()00(0)222()()()()()111()(0)()222ttitidiWpdLidLididLitLiLit【例2.6】将一个12.75mH的电感线圈接于220V、50Hz电（1）试求线圈的感抗、电流的有效值；如电源的初相位为零，写出电流的瞬时值表达式;画出电流和电压的相量(2)如将电源的频率变为1000Hz，再求线圈的感抗和电流【解】(1)XL=2πfL=23.14×50×12.75×10-3=4ΩI=U/XL=220/4=55A因为电流初相位为零，由前面可知角频率为314rad/s,i=55×1.414×sin314tA相量图如图2.18QL=ULI=220×55=12100var(2)如将电源的频率变为1000Hz,XL=2πfL=2×3.14×1000×12.75×10-3=80ΩI=U/XL=220/80=2.75A图2.182.3.3纯电容电路（1）电容的基本知识电容是反映电容器存储电荷能力的物理量，用大写字母C表示。它的单位是法［拉］（F）。在电容器两端加电压为U的电源后，电容器两极板上便储存了等量异种电荷Q，如果电容器的电容为C，那么U、Q和C的关系为：QCU（2）电容器的电压与电流的关系如图2.19所示为一纯电容电路，电压和电流的参考方向如图所示。假设加在电容器两端的正弦交流u=Umsinωt那么，电容器极板上的电量为:q=Cu=CUmsinωt图2.19mmm(sin)cossin()sin()22tmduiCCUtCUtdtCUtIt根据电流的定义，