专题二--函数定义域的求法

锐乐思教育-ReallySimple1专题二函数定义域的求法通过介绍函数定义域的类型和求法，以全面认识定义域，深刻理解定义域，正确求函数的定义域。一、常规型其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或不等式组）即得原函数的定义域。注：1、给定函数时要指明函数的定义域。对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合，即能使函数式有意义的自变量x的集合称为函数的定义域。2、求函数的定义域的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.类型1、含分式的函数在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。例1、求下列函数的定义域（1）21)(xxf解：要使函数有意义，必须：20,x即2.x∴函数21)(xxf的定义域是：2|xx（2）21()1xfxx类型2、含偶次根式的函数（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的术语和符号，注意区间的开闭情况.例2、求函数23)(xxf的定义域？解：要使函数有意义，必须：320,x即2.3x∴函数23)(xxf的定义域是2|.3xx锐乐思教育-ReallySimple2类型3、复合型函数函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现.例3、xxxf211)(解：要使函数有意义，必须：101.202xxxx∴函数的定义域是：21|xxx且练习：求函数2143)(2xxxxf的定义域？解：要使函数有意义，必须：234041331412031xxxxxxxxxx或或或且∴函数的定义域为：{|3314}.xxxx或或二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有四种情况。类型1：已知)(xf的定义域，求复合函数(())fgx的定义域解法：若)(xf的定义域为,,ab则(())fgx中()agxb，从中解出x的取值范围即为(())fgx的定义域。例4、已知函数()fx的定义域为15，，求(35)fx的定义域．分析：若()fx的定义域为axb，则在()fgx中，()agxb，从中解得x的取值范围即为()fgx的定义域．本题该函数是由35ux和()fu构成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量，由于()fx与()fu是同一个函数，因此这里是已知15u，即1355x，求x的取值范围．解：()fx的定义域为41015,1355,.33xx，故函数(35)fx的定义域为41033，．练习：1、若函数)(xfy的定义域为2,21，求)(log2xf的定义域？锐乐思教育-ReallySimple32、已知)(xfy的定义域为[2,2]，求2(1)yfx的定义域？3、已知函数)x(f的定义域为(0,1),求函数1(1)2fx的定义域？4、设函数)x(fy的定义域为),4[A，给出下列函数：)4x(fy),4x2(fy2，)x16(fy),x2(fy，其定义域仍是A的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个5、已知函数)(xf的定义域为[1,2]，求函数(12)yfx的定义域？类型2：已知复合函数(())fgx的定义域，求)(xf的定义域解法：若(())fgx的定义域为,,ab，则由axb确定)(xg的范围即为)(xf的定义域。例5、已知函数2(22)fxx的定义域为03，，求函数()fx的定义域．分析：若()fgx的定义域为mxn，则由mxn确定的()gx的范围即为()fx的定义域．这种情况下，()fx的定义域即为复合函数()fgx的内函数的值域。本题中令222uxx，则2(22)()fxxfu，由于()fu与()fx是同一函数，因此u的取值范围即为()fx的定义域．解：由03x，得21225xx．令222uxx，则2(22)(),15.fxxfuu故()fx的定义域为15，．练习：1、若函数)23(xf的定义域为[1,2],则函数)(xf的定义域是（）51.[,1].[1,2].[1,5].[,2]22ABCD类型3、已知复合函数(())fgx的定义域，求(())fhx的定义域可先由][xgf定义域求得xf的定义域，再由xf的定义域求得][xhf的定义域。例6、函数(1)yfx定义域是[2,3],则(21)yfx的定义域是（）5.[0,].[1,4].[5,5].[3,7]2ABCD解：先求)(xf的定义域，因为(1)yfx的定义域是[2,3],所以23,x所以14,x锐乐思教育-ReallySimple4即()yfx的定义域是[1,4],再求][xhf的定义域5124,0.2xx所以(21)yfx的定义域是5[0,]2，故应选A练习：1、函数)2(xfy的定义域为1,2,则函数)(log2xfy的定义域为（）.0,1.1,2.2,4.4,16ABCD2、已知2()fx的定义域为[1,1]，则(2)xf的定义域为__________。3、若函数(1)yfx的定义域为1[,2],2求2()fx的定义域．分析：已知(1)fx的定义域为1[,2],2x满足12,2x于是113,2x得到xf的定义域，然后2()fx的定义域由xf的定义域可得．解：先求xf的定义域：由题意知12,2x则113,2x即xf的定义域为1[,3].2再求(())fhx的定义域：∴213,2x解得223,3.22xx或∴2()fx的定义域是22{|3,3}.22xxx或类型四、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。例7、若()fx的定义域为35，，求()()(25)xfxfx的定义域．分析：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．解：由()fx的定义域为35，，则()x必有353255xx，，≤≤≤≤解得40x≤≤．所以函数()x的定义域为40，．练习：已知函数xf的定义域是(0,1],求1()()(),02gxfxafxaa的定义域。三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为,R求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。锐乐思教育-ReallySimple5例8、已知函数268ymxmxm的定义域为,R求实数m的取值范围。分析：函数的定义域为,R表明2680mxmxm使一切xR都成立，因为2x项的系数是,m所以应分0m或0m进行讨论。解：当0m时，函数的定义域为;R当0m时，2680mxmxm是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是20,01.(6)4(8)0,mmmmm综上可知01.m练习：例6已知函数27()43kxfxkxkx的定义域是,R求实数k的取值范围。例7用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。例10求函数)3x2x(logy22的单调区间。