2015年全国数学建模比赛a题全国二等奖论文

1太阳影子定位摘要本文研究的问题是分析直杆在太阳的照射下，影子的角度和长度的变化，再结合相关地理知识和数学几何模型，推算出具体的所在地点和具体日期。该模型可以用于太阳影子定位技术中，根据物体在阳光照射下影子的变化进行定位。对于问题一，我们首先根据地球与太阳的位置关系列出太阳赤纬角，太阳高度角，太阳时角的计算式，其中需对较粗略的太阳赤纬角计算式进行修正，得出精准的计算式。再建立数学几何模型，根据太阳高度角，影长与杆长形成的角边关系，列出影长的计算式。最后建立一个太阳日照影长模型，该模型以太阳高度角计算式，太阳赤纬角计算式，太阳时角计算式为子函数，以太阳赤纬角，太阳日角，太阳时角，时间初值为中间变量，以当地经纬度，从1月1日到测量日的天数，时间，杆长，年份为自变量的复合函数数学模型。然后采用由内到外计算法对此复合函数进行求解，计算出从九点到十五点的影长和太阳高度角的变化，得出直杆的太阳影子长度的变化曲线。对于问题二，我们首先分析因为时间日期已给出，所以根据太阳赤纬角计算式可知太阳赤纬角为已知量，接着我们将影长的计算式进行等式移项变换，得到一个拟合杆长及经纬度的非线性最小二乘模型，该模型将问题一中太阳日照影长模型作为参数拟合对象，以杆长和影长与太阳高度角正切值之积的差值最小误差平方和为目标函数，以太阳高度角计算式，太阳时角计算式为约束条件，以测量时间，天数，影长为已知量。将该模型在1stopt软件中运行，采用麦夸尔特算法和通用全局最优化法对该模型进行迭代计算，对实验结果统计分析后得出该直杆相应的北纬为19.29392848度，东经为108.7225248度（海南岛的西海岸）。对于问题三，除了需要拟合杆长和经纬度以外，还需拟合日期，同样参照影长等式移项变换公式，得到一个拟合杆长、经纬度及日期的非线性最小二乘模型。同样采用问题二的计算方法得到多组结果，其中附件二最优解地点为新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县(40.0025°N,79.6587°E)，附件三最优解地点为湖北省十堰市郧西县（32.9638°N,110.277°E）。对于问题四，我们首先将视频每隔2分钟截取图片，共取得20张截图，根据图像获取直杆顶点，直杆固定点，影子顶点的坐标，以及观测影长，由于需要引入角度才能由观测影长求得实际影长，因此对问题一中的太阳日照影长模型进行改进，初始旋转角，旋转角增量，进行参数拟合，与问题二类似。在观测影长已知的条件下得到一个拟合经纬度及旋转角度的非线性最小二乘模型。经过角度分析，得出角度范围是1525，再根据最优解值分析，筛除不符合要求的项，最后剩下第四组数据即地点为湖南省永州市宁远县（25.86216°N,111.9039°E）。如果拍摄日期未知，我们可以在问题四的基础上，增加一个拍摄日期的拟合变量，即可解决问题。关键词：太阳日照影长模型由内到外计算法复合函数数学模型非线性最小二乘模型麦夸尔特算法通用全局最优化法1stopt软件2一、问题的重述在视频数据分析里有两个很重要的方面，一是确定该视频的拍摄地点，二是拍摄日期，太阳影子定位技术原理就在于分析物体在阳光照射下影子的变化，从而确定该视频拍摄的时间与地点。1.建立关于影子长度变化的数学模型，并画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场高度为3米的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2.对于固定直杆的太阳影子顶点横纵坐标数据，使用相应的数学模型确定直杆所处的地点位置。3.对于固定直杆的太阳影子顶点横纵坐标数据，使用相应的数学模型确定直杆所处的地点位置和日期。4．附件4的视频描述了一根直杆在太阳照射下的影子变化情况，并且已估计出此为高度2米的直杆。需建立相应的数学模型确定视频拍摄地点位置，并通过应用该模型给出若干个可能的拍摄地点。若未给出拍摄日期，你能否根据视频内容确定拍摄地点与日期？二、模型的假设1．假设太阳射向地球的光线为平行光线。2．假设地球为均匀球体，且球面平整。3．假设忽略光传播过程中所需要的时间。4．假设忽略大气折射对光线传播路径的影响。5．假设在此过程中，忽略地球公转对影子长度、角度计算产生的影响。6．假设摄像机拍摄角度与地面平行。三、符号及说明符号名称e影长H杆长s太阳高度角地理纬度太阳时角太阳赤纬角n从1月1日到测量日的天数ST测量的时间3Y年份四、模型的准备从图1中，我们可以形象地看出，赤道面与日地中心连线的夹角每天都在变化，这个角度就是所说的太阳赤纬角。正如我们所知，在地球自转过程中也在围绕太阳公转，而极轴与黄道面的夹角始终保持不变。正是因为以上原因，才造成每天正午时刻，太阳高度角有所差异。图1太阳赤纬角模型太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，它是由地理纬度，赤纬角与时角综合决定的。图2太阳高度角和时角模型而日面中心的时角，是从观测点天球子午圈沿天赤道量至太阳所在时圈的角距离。是确定当天时刻与太阳高度角关系的纽带。4五、问题的分析及建模求解5.1问题一的分析与建模求解5.1.1问题一的分析针对问题一，根据提供的时间及地理位置，结合相关影响因素，变化规律，得出直杆的太阳影子长度的变化曲线。为了求出长度变化曲线，需要分析有哪些变量构成影长这个变量。变化曲线的描述需要查阅资料构建模型，通过对经纬度，太阳时角，太阳赤纬角等求解修正即可计算出各个时间的影长，并绘制出太阳影子长度的变化曲线。5.1.2模型的分析本题要求出影子长度的变化曲线，即求出影长随其他变量的变化关系，影子长度与多种因素相关联，其中太阳高度角与影长，杆长构成一种角边关系，利用这种角边关系可以求得影长。为了利用题目中所给出的经纬度，时间等条件，需引入太阳高度角的关系表达式。太阳高度角是关于纬度，太阳赤纬角，太阳时角的复合函数，进而需求出太阳赤纬角，太阳时角等物理量，得出影长即影子长度的变化曲线。根据题目要求及假设，我们先建立了一个地球围绕太阳旋转的模型，并且翻阅各种文献和找出了一系列能够影响影长的因素。我们首先利用相似三角形的方法，列出了计算影长的公式：tanHes（1）其次，我们考虑到如果需要求出影长需要求出高度角和杆长，现在杆长已知3m，所以我们只需要求出太阳的高度角即可。太阳高度角是太阳相对于地平线的夹角，因为这是从太阳是盘面的几何中心到理想地平线的夹角。太阳高度我们使用了一下的算式来求解太阳的高度角的近似值[1]：sinsin*sincos*cos*coss（2）其中，s为太阳高度角；为太阳时角；为当时的太阳赤纬角；为当地的纬度（天安门的维度为39度54分26秒）在求解计算高度角的过程中，需要求解太阳赤纬角、地理纬度和太阳时角。现在题目中已知的是地理纬度为北纬39度54分26秒，另外太阳赤纬角也称为太阳赤纬，就是所谓的太阳直射纬度，它的计算公式为：52*28423.45sin365n但我们需修正该公式，要考虑多种因素。因为在周年运动中的任何时刻，太阳赤纬角的具体值均是严格已知的，所以也可以用以下的表达式来表述，即[2]：0.372323.2567sin0.1149sin2-0.1712sin30.758cos0.3656cos20.0201cos3（3）上式中的称为日角，即[2]：2365.2422t（4）这里的t又由两部分构成，即[2]：0tnN（5）上式当中，n表示积日，0N表示时间初值。所谓积日，就是所给日期在当年内的顺序号，例如，1月1日的积日为1，闰年12月31日的积日为366，而平年则为365。将式（5）代入进式（4）得式（6），即：02*365.2422nN（6）其中0N为[2]：0198579.67640.242219854YNYINT（7）在天文学中太阳时角这个名词，意为一个天体的太阳时角被定义为该天体的赤经（RA）与当地的恒星时（LST）的差值。它的计算公式为[1]：15*12120STC116.39C（8）其中，为太阳时角；ST为真太阳时；C为当地的经度，我们考虑到问题所给的经纬度并非准确的北京天安门前的经纬度，并且有四度的偏差，所以我们小队时差来减小由于经纬度不准确的误差。65.1.3模型的建立最后根据以上四个式子建立起一个数学模型，即：,,,,,efCnSTHY该函数是基于多个子函数的复合函数，其中以影长e为因变量，以当地经度C，当地纬度，从1月1日到测量日的天数n，时间ST，杆长H，年份Y为自变量，得出太阳日照影长模型：tanHes00sinsin*sincos*cos*cos0.372323.2567sin0.1149sin2-0.1712sin30.758cos0.3656cos20.0201cos32*365.242215*12120116.39198579.67640.242219854snNSTCCYNYINT5.1.4模型的求解将四个算式（1）(2)（3）（4）联立起来采用由内到外计算法进行求解。步骤一，根据已知变量求算出内侧函数。步骤二，再根据已得，算出外侧函数的内侧函数。步骤三，将外侧函数带入复合函数，求得我们最后的结果。表1影长、高度角、赤纬角随时间的变化表时间影长高度角太阳赤纬角79时7.28522.383-10.86310时5.04930.716-10.86311时4.02336.712-10.86312时3.64139.486-10.86313时3.77238.497-10.86314时4.45633.949-10.86315时5.98326.629-10.863我们首先用Microsoftvisualc++6.0编写了一个C语言代码，用来计算并确定从九点到十五点的影长和太阳高度角的变化，计算结果如表1所示。图2太阳影子长度的变化曲线然后将数据放入MATLAB中，画出题目所需的影长随时间变化的曲线，如图2所示。5.2问题二的建模及求解5.2.1问题二的分析针对问题二，根据提供的日期，时间，影子顶点横纵坐标数据，求出若干个可能地点的经纬度，依据太阳时角、太阳高度角及太阳方位角之间的关系，根据参考问题一的求解过程和数学模型，确定已知量和变量，从而建立数学模型进行求解。5.2.2模型的分析本题要求出若干个可能地点的经纬度，根据影长，杆长和太阳高度角这三个量的关系式，我们采用基于多约束下的目标优化数学模型，用21组数据预测出8经度C，纬度，杆长H，使得将量放到函数时能形成一个满足的函数形状，同时采用非线性最小二乘法的思想，通过杆长和影长与太阳高度角正切值之积差值的最小误差平方和，寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法求得未知的数据，使得这些求得的计算数据与实际数据之间的误差平方和最小。建立以此平方和最小为目标函数，太阳高度角计算式，太阳时角计算式为约束条件的数学优化模型，在1stopt环境下对其进行分析影响各种因素的因子，运用麦夸尔特算法和通用全局优化法进行迭代，得出结果。根据题目要求及假设，我们先建立了一个地球围绕太阳旋转的模型，并且翻阅各种文献，找出了一系列会对影长产生影响的因素。我们首先利用相似三角形的方法，列出了计算影长的公式：tanHes接着建立优化模型，且采用非线性最小二乘法。在根据此公式设定最小化误差的平方和，以此作为优化模型的目标函数，即：2201min*taniZHes（1）其中Z为杆长和影长与太阳高度角正切值之积的差值最小，s为太阳高度角,H为直杆长度，e为影长，后三个量为未知量。然后在列出太阳高度角的计算公式作为约束条件之一，即[1]：sinsin*sincos*cos*coss（2）其中为太阳赤纬角，因为日期时间为已知量，所以可以求得太阳赤纬角，为已知量；s为太阳高度角，为太阳时角，为未知纬度。为了表达