第3章部分习题参考解答

3.1长度为的线电荷，电荷密度为常数L0lρ。(1)计算线电荷平分面上的电位函数ϕ；(2)利用直接积分法计算平分面上的EG，并用Eϕ=−∇G由(1)验证(2)所得结果。图题3.1解：(1)建立如图题3.1所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P的电位为/2/2220022/20/202222002200d'(,0,0)ln('')4π4π'(/2)/2(/2)/2lnln4π2π(/2)/2LLllLLllzzzzLLLLLLρρϕρρεερρρρρεερ−−==+++++++==+−∫ρ(2)根据对称性，可得两个对称线电荷元zl′d0ρ在点P的电场为00223/2200d'd'ddcos2π(')2π'llzzEeEeezzρρρρ2ρρρθερερ===++GGGG故长为的线电荷在点的电场为LP/2/200223/22200000220d''d2π(')2π''4π(/2)LLlllzzEEeezzzeLρρρρρρερερρρερρ⎛⎞⎜⎟===⎜⎟++⎝⎠=+∫∫GGGGG由Eϕ=−∇G求，有EG220022000222200220(/2)/2ln2π[ln((/2)/2)ln]2π12π[/2(/2)](/2)'4π(/2)llllLLEdeLLdeLLLzeLρρρρρϕερρρρερρρερρρρερρ⎡⎤++=−∇=−∇⎢⎥⎢⎥⎣⎦=−++−⎧⎫⎪⎪=−−⎨⎬+++⎪⎪⎩⎭=+GGGG3.2点电荷位于，另一点电荷1qq=1(,0,0)Pa−22qq=−位于，求空间的零电位面。2(,0,0)Pa解：两个点电荷q+和在空间产生的电位2q−222222012(,,)4π()()qqxyzxayzxayzϕε⎡⎤=−⎢⎥⎢+++−++⎣⎦⎥令(,,)0xyzϕ=，则有222222120()()xayzxayz−=+++−++即222224[()]()2xayzxayz+++=−++故得22254()(332)xayza+++=由此可见，零电位面是一个以点5(,0,03a−)为球心、43a为半径的球面。3.3电场中有一半径为a的圆柱体，已知圆柱体内、外的电位函数分别为1220,cos,aaAaϕρϕρφρρ=≤⎧⎪⎛⎞⎨=−≥⎜⎟⎪⎝⎠⎩(1)求圆柱内、外的电场强度；(2)这个圆柱是什么材料制成的？其表面上有电荷分布吗？试求之。解：(1)由Eϕ=−∇G，可得aρ≤时，0Eϕ=−∇=Gaρ≥时，22()cos()cosaaEeAeAρφϕρφρφρρρφρ⎡⎤⎡∂∂=−∇=−−−−⎤⎢⎥⎢∂∂⎥⎣⎦⎣⎦GGG22221cos1sinaaeAeAρφφφρρ⎛⎞⎛⎞=−++−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠GG(2)该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为n002cosSaaeDeEAρρρρεε===⋅=⋅=−φGGGG3.4已知的空间中没有电荷，试判断下列函数中哪些是可能的电位解？0y(1)；(2)；(3)coshyex−cosye−x2sincosex−x；(4)sinsinsinxyz。解：在电荷体密度0ρ=的空间，电位函数应满足拉普拉斯方程。20ϕ∇=(1)222222(cosh)(cosh)(cosh)yyyexexexxyz−−−∂∂∂++=2coshyex−≠∂∂∂0所以函数不是空间中的电位解；coshyex−0y(2)222222(cos)(cos)(cos)yyyexexexxyz−−−∂∂∂++=coscos0yyexex−−∂∂∂−+=所以函数是空间中可能的电位解；cosyex−0y(3)222222(sincos)(sincos)(sincosexxexxexxyz−−−∂∂∂++∂∂∂)x224sincos2sincosexxexx−−=−+≠0所以函数2sincosex−x不是空间中的电位解；0y(4)222222(sinsinsin)(sinsinsin)(sinsinsin)xyzxyzxyzxyz∂∂∂++∂∂∂3sinsinsin0xyz=−≠所以函数sinsinsinxyz不是空间中的电位解。0y3.5一半径为0R的介质球，介电常数为r0εεε=，其内均匀地分布着体密度为ρ的自由电荷，试证明该介质球中心点的电位为2r0r02123Rερεε+。解：由高斯定理dSDSq⋅=∫Gv，得0rR时，3214π4π3rrDρ=，即13rDρ=，11r0r03DrEρεεεε==0rR时，32024π4π3RrDρ=，即30223RDrρ=，30122003RDErρεε==故介质球中心点的电位为00003222000r12000r0r00r0021(0)dddd()363232RRRRRRRrErErrrRrρρρερρϕεεεεεεεε∞∞+=+=+=+=∫∫∫∫33.6电场中有一半径为、介电常数为aε的介质球，已知球内、外的电位函数分别为3010020coscos2EraErεεθϕθεε−=−++(ra)≥02003cos2Erεϕθεε=−+(ra≤)试验证介质球表面上的边界条件，并计算介质球表面上的束缚电荷密度。解：在介质球表面上001000003(,)coscoscos22aEaaEEaεεεϕθθθεεεεθ−=−+=−++02003(,)cos2aEaεϕθθεε=−+0100002()3coscoscos22raEEr0Eεεϕεθθθεεεε=−∂=−−=−∂++02003cos2raErεϕθεε=∂=−∂+故有12(,)(,)aaϕθϕθ=，120rararrϕϕεε==∂∂=∂∂可见，1ϕ和2ϕ满足球表面上的边界条件。介质球表面的束缚电荷密度为n20r2()PSraePeEρεε==⋅=−⋅=GGGG0020003()()cos2raErεεεϕεεθεε=−∂−−=∂+3.7两块无限大导体平板分别置于0x=和xd=处，板间充满电荷，其体电荷密度为0xdρρ=，极板的电位分别设为0和，如图题3.7所示，求两导体板之间的电位和电场强度。0U()xρ0ϕ=0Uϕ=0dx图题3.7解：两导体板之间的电位满足泊松方程20ρϕε∇=−，故得2020d1dxxdρϕε=−解此方程，得3006xAxBdρϕε=−++在处，0x=0ϕ=，故0B=在xd=处，0Uϕ=，故30006dUAddρε=−+，得0006UdAdρε=+所以30000066xUdxddρρϕεε⎛⎞=−++⎜⎟⎝⎠20000026xxxUdEeexddρρϕϕεε⎡⎤⎛⎞∂=−∇=−=−+⎢⎥⎜⎟∂⎝⎠⎣⎦GGG3.8试证明：同轴线单位长度的静电储能2e2lqWC=。式中为单位长度上的电荷量，C为单位长度上的电容。lq证：由高斯定理可求得同轴线内、外导体间的电场强度为()2πlqEρερ=内外导体间的电压为ddln2π2πbbllaaqqbUEaρρερε⎛⎞===⎜⎟⎝⎠∫∫则同轴线单位长度的电容为2πln(/)lqCUbaε==同轴线单位长度的静电储能为2222e111d2πdln222π22π2llblVaqqqbWEVaCεερρερε⎛⎞⎛⎞====⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫∫13.9有一半径为a、带电量q的导体球，其球心位于介电常数分别为1ε和2ε的两种介质分界面上，设该分界面为无限大平面。试求：(1)导体球的电容；(2)总的静电能量。图题3.9a2ε1εoq解：(1)由于电场沿径向分布，根据边界条件，在两种介质的分界面上，故有1t2tEE=12EEE==。由于111DEε=、222DEε=，所以12DD≠。由高斯定理，得1122DSDSq+=，即22122π2πrErEqεε+=所以2122π()qErεε=+导体球的电位212121()dd2π()2π()aaqqaErrraϕεεεε∞∞===++∫∫故导体球的电容122π()()qCaaεεϕ==+(2)总的静电能量为2e121()24π()qWqaaϕεε==+3.10两平行的金属板，板间距离为d，竖直地插入介电常数为ε的液态介质中，两板间加电压U，试证明液面升高02001()2Uhgdεερ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠式中的ρ为液体的质量密度，为重力加速度。g图题3.10dU0Lhε解：设金属板的宽度为a、高度为。当金属板间的液面升高为h时，其电容为L0()aLhahCddεε−=+金属板间的静电能量为0022e01[()22aU]UhLhdWCεε==+−液体受到竖直向上的静电力为02ee0()2aUWFhdεε∂==−∂而液体所受重力gFmgahdgρ==eF与gF相平衡，即200()2aUahdgdεερ−=故得到液面上升的高度2200002()1()22UUhdggdεεεερρ−⎛⎞==−⎜⎟⎝⎠3.11同轴电缆的内导体半径为，外导体内半径为；内、外导体之间填充两层有损耗介质，其介电常数分别为ac1ε和2ε，电导率为1σ和2σ，两层介质的分界面为同轴圆柱面，分界面半径为b。当外加电压为时，试求：(1)介质中的电流密度和电场强度分布；(2)同轴电缆单位长度的电容及漏电阻。0U解：(1)设同轴电缆中单位长度的径向电流为I，则由dSJSI⋅=∫GG，可得电流密度2πIJeρρ=GG()acρ介质中的电场1112πJIEeρσρσ==GGG()abρ2222πJIEeρσρσ==GGG()bcρ由于01212ddlnln2π2πbcabIbIcUEEabρρσσ⎛⎞⎛⎞=⋅+⋅=+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫∫GGGG于是得到120212πln(/)ln(/)UIbacbσσσσ=+故两种介质中的电流密度和电场强度分别为12021[ln(/)ln(/)]UJebacbρσσρσσ=+GG()acρ20121[ln(/)ln(/)]UEebacbρσρσσ=+GG()abρ10221[ln(/)ln(/)]UEebacbρσρσσ=+GG()bcρ(2)同轴电缆单位长度的漏电阻为02112ln(/)ln(/)2πUbacbRIσσσσ+==由静电比拟，可得同轴电缆单位长度的电容为12212πln(/)ln(/)Cbacbεεεε=+3.12在电导率为σ的无限大均匀介质内，有两个半径分别为1R和2R的理想导体小球，两小球之间的距离为d（设、），试求两个小导体球面之间的电阻。（注：只需求一级近似解）1dR2dR解：此题可采用静电比拟的方法求解。假设位于介电常数为ε的介质中的两个小球分别带电荷和，由于两球间的距离、，两小球表面的电位为qq−1dR2dR11211()4πqRdRϕε=−−，22111()4πqRdRϕε=−−−所以两小导体球面间的电容为121214π1111qC2RRdRdRεϕϕ==−+−−−−由静电比拟，得到两小导体球面间的电导为121214π1111IGσ2RRdRdRϕϕ==−+−−−−故两个小导体球面间的电阻为121111111()4πRGRRdRdRσ==+−−−−2r23.13在一块厚度为d的导体板上，由两个半径为和的圆弧和夹角为1rα的两半径割出的一块扇形体，如图题3.13所示。试求：(1)沿导体板厚度方向的电阻；(2)两圆弧面间的电阻；沿α方向的两电极间的电阻。设导体板的电导率为σ。α1r2rdσJ图题3.13解：(1)设沿厚度方向的两电极的电压为U，则有111UEd=，111UJEdσσ==，22111121()2UIJSrrdσα==⋅−故得到沿厚度方向的电阻为1122122()UdR1Irrασ==−(2)设内外两圆弧面电极之间的电流为U，则2rdISIJα2222==，222JIErdσσα==，2122221dlnrrIrUErdrσα⎛⎞==⎜⎟⎝⎠∫故得到两圆弧面之间的电阻为222211lnUrRIdrσα⎛⎞==⎜⎟⎝⎠(3)设沿α方向的两电极的电压为3U，则有UE330drαφ=∫由于与3Eφ无关，所以得到33UEerφα=GG，333UJEerφσσα==GGG，231332331ddlnrSrdUdUrIJeSrrrφσσαα⎛⎞