北京大学量子力学课件-第24讲

第二十四讲Ⅰ.碱金属的双线结构碱金属原子有一个价电子，它受到来自原子核和其他电子提供的屏蔽库仑场的作用。所以，价电子的哈密顿量为SˆLˆ)r()r(V2PˆHˆ2如选力学量完全集（运动常数的完全集）则dr)r(dVr1c21)r(22EHˆ)Jˆ,Jˆ,Lˆ,Hˆ(z22),()r(Rjjljmnljnljm由于jjljm222ljm)SˆLˆJˆ(21)LˆSˆ(jljm])l(l)j(j[2431121212121222ljlljljjljmljm可表为jjnljmnljnljmEHˆnljnljnljR)r(VRr)l(l)rR(drdr21122222212121222ljljRER)r(lR)r(lnljnljnljnlj因为吸引势（它为负值，）所以即。因此，根据Hellmann-Feynman定理可证)r(V0)r(V0)r(Vr0)r()r(21l)r(V)r(2l)r(V2221lnlj21lnljEE212323211jjEE,j,l则如能级这即观测到纳光谱的双线结构。Ⅱ.两个自旋为的粒子的自旋波函数，，纠缠态(1)表象中两自旋为的粒子的自旋波函数设：两粒子的自旋分别为，显然，如2121l,l,nl,l,nnlEEE2121Sˆ,Sˆ)S,S(z2z1选表象，则可能的态为(2)表象中两自旋为的粒子的自旋波函数如令),()(21)()(21),()(21)()(21)Sˆ,Sˆ(z221SSS)S,S(z2z121令是的本征态212212444SˆSˆ6SˆSˆ24349Sˆ2214SˆSˆ43224Sˆ2Sˆ2Sˆ22Sˆ这时有四个态ssm1sm1zmSˆ1,0,1ms0Sˆ0020Sˆ00z0ms11101100sssm12m12m122)11(1Sˆ)()(2111)()(2111)]2()1()2()1([2110)]2()1()2()1([2100，被称为纠缠态。纠缠态：体系的态矢量仅能表示为它的各部分态矢量乘积的叠加态当两自旋为的全同粒子，其相互作用对空间坐标和自旋变量是变量可分离时，则特解为001021)S,S()r,r(u)S,r,S,r(z2z121z22z11但是，这并不是体系可处的状态。微观世界还有一重要规律，使体系波函数不可任意选择，这就是微观粒子的全同性问题。(3)Bell基若取显然我们得zzAˆ21xxBˆ210Bˆ,Aˆ它们也都是纠缠态)]()()()([jiBA212121)]()()()([jiBA212121)]()()()([jiBA212121§7.5Einstein-Podolsky-Rosen佯谬和Bell不等式(1)Einstein-Podolsky-Rosen佯谬爱因斯坦，帕多尔斯基和罗森认为：两个粒子构成一个量子力学态。对一个粒子的测量将直接得知另一个粒子的状态。例：该态在动量表象中的表示为2121xxx,x爱因斯坦等认为，当测量第一个粒子的坐标，测得值为，则第二个粒子的坐标必为；测量第二个粒子的动量，测得值为，那第一个粒子的动量必为。所以，2121/)xpxp(i21dxdxxxe21p,p22112/x)pp(idxe2122121pp0x0x0p0p都是物理实在（即都有确定值），且坐标和动量可同时具有确定值。这与两个自旋为的粒子处于自旋的态是等价的。考虑两个自旋为的粒子处于自旋单态。在初始时，它们在一起，而后分开很大的距离，但仍处于自旋单态。一旦测量第一个粒子的自旋，那直接允许我们去推断第二个粒子的自旋，它始终与第一个粒子的自旋相反。。iip,x210S21量子力学否认这些假设，认为即使两个粒子离开很远，对第一个粒子的测量将影响第二个粒子的状态；另外，粒子本身并没有这种实在性（即粒子的所有物理量都有确定值）。（2）BellInqualities两个自旋为的粒子系统处于自旋单态21z),,(210,0这是一个纠缠态。显然，在这个态中，测量第一个粒子（在方向）得到某一结果，则知道第二个粒子随之测量（在方向）的结果。现考虑对它们的自旋沿不同方向进行相继测量。第一个粒子沿方向测量，第二个粒子沿方向测量。它们的测量结果都为。nˆ),,(21zzaˆbˆ1如，方向相同，则平均值为。如，方向相不同，这一相关联测量的平均值为证：不失一般性，假设在方向，在平面aˆbˆ1aˆbˆ0,0bˆˆaˆˆ0,0)bˆ,aˆ(C21cos)bˆaˆ(aˆzbˆxz令与轴间的夹角为，则212121bzbzˆˆˆˆ()bˆ,aˆ(C)ˆˆˆˆbzbz2121bˆzcosˆsinˆ(21)bˆ,aˆ(C2z2xA.对两个处于自旋单态的粒子，在三个不同方向测量它们的自旋。根据定域隐变量理论，它们的关联测量平均值的关系为)cosˆsinˆ2z2xcos1)cˆ,bˆ(C)cˆ,aˆ(C)bˆ,aˆ(C这称为Bell不等式。论证：令关联量在定域隐变量理论中，对第一个粒子的测量将不影响第二个粒子的状态。每个粒子同时有确定的自旋分量。因此，在这理论中，沿三个方向的自旋分量都有确定值。当然，重复的测量所得值可以是不同的。)1(g2c2b2b1a的平均值为于是有g)cˆ,aˆ(C)bˆ,aˆ(Cg2c1a2b1a)1(gg2c2b2b1a)1(2c2b2b1a)1(2c1b2b1a所以，而对这一关联测量平均值的关系，量子力学的预言为2c1b11)cˆ,bˆ(C)cˆ,aˆ(C)bˆ,aˆ(C)cˆbˆcos()cˆaˆcos()bˆaˆcos()cˆ,bˆ(C)cˆ,aˆ(C)bˆ,aˆ(C若在测量时，取三个方向共面，且cˆ,bˆ,aˆ,bˆaˆ,2cˆaˆcˆbˆ于是实验结果与量子力学的预言符合。。cos2coscos)cˆ,bˆ(C)cˆ,aˆ(C)bˆ,aˆ(CB.对两个处于自旋单态的粒子，在四个不同方向测量它们的自旋。根据定域隐变量理论，它们的关联测量平均值的关系为这为另一个Bell不等式。2)cˆ,aˆ(C)bˆ,aˆ(C)cˆ,aˆ(C)bˆ,aˆ(C论证：根据定域隐变量理论，对任一物理量的测量都有确定值，所以由定域隐变量理论的假设，我们知当时，则当时，则。2c1a2b1a2c1a2b1ag)()(2c2b1a2c2b1a22c2b02c2b022cb222cb因此，。于是的平均值的绝对值满足不等式而根据量子力学，的平均值的绝对值应为2gg2g2c1a2b1a2c1a2b1ag)cˆaˆcos()bˆaˆcos()cˆaˆcos()bˆaˆcos(g显然，当共面，并取这时,bˆ//aˆaˆ,cˆ,bˆ,aˆ,bˆaˆ,4bˆaˆcˆaˆ2cˆaˆ222221g这与定域隐变量理论所推得的不等式是不相符合的。若取共面，则有aˆ,cˆ,bˆ,aˆ,bˆaˆ,cˆaˆ,bˆaˆ3cˆaˆ3coscos33coscoscoscosg同样，实验的测量结果是与量子力学的预言符合。实验证实了定域隐变量理论是不正确的。Einstein-Podolsky-Rosen的假设是不成立的§7.6全同粒子交换不变性－波函数具有确定的交换对称性各种微观粒子有一定属性，具有一定质量、电荷、自旋，人们根据它的属性的不同分别称为电子，质子，介子，，等等。实验证明每一种粒子，都是完全相同的（如两个氢原子中的质子或电子都一样）。经典物理中，我们能按轨道来区分同一类粒子。但从量子力学的观点来看，情况就发生变化。它的描述不能用轨道概念，而只能用波函数或根据一些力学量完全集来描述粒子所处状态。即个粒子处于态；个粒子处于态或这些态的叠加态上。但它不可能告诉你，那一个粒子处于态，那一个粒子处于态。如是可能的二种态，对它进行测量是分不清两者的差别。它们每一个都不能用于对二个全同粒子的1n12n212)r()r(2121)r()r(1221描述。全同粒子交换是不可观测的。因此，有必要对全同粒子的描述进行讨论。（1）交换不变性设：氦原子的两个质子固定不动，那么描述氦原子中的两个电子组成的体系，其哈密顿量为若为粒子交换算符，将，21022212222142222rrereremPˆmPˆHˆ12P2112则若是交换不变，即则02112])r,r(Hˆ,Pˆ[)t,r,r()t,r,r(HˆP212112)t,r,r()t,r,r(Hˆ1212)t,r,r(P)t,r,r(Hˆ21121212122112P)t,r,r(Hˆ)t,r,r(HˆPHˆ)t,r,r(Hˆ)t,r,r(Hˆ2112所以，是运动常数（若是交换不变）或如此看，由于体系具有交换不变性，所以时经交换后演化到，应等于演化到再进行交换，即由于的任意性，所以12P)r,r(Hˆ210ttt)t,r,r(P)t,t(U)t,r,r(P0211202112)t,r,r()t,t(UP021012121200P),t(U),t(UP由于任意即是运动常数。若是的本征态，则/t)p,r,pˆ,r(Hˆie),t(U22110t0]Hˆ,P[12)P,r,P,r(Hˆ)P,r,P,r(Hˆ1122221112P)t,r,r(2112P因此，有两种态，一种是交换下不变，称为对称态；另一种是交换下改号，称为反对称态)t,r,r()t,r,r(P2121121)t,r,r()t,r,r()t,r,r(P21s12s21s12)t,r,r()t,r,r()t,r,r(P21A12A21A12显然由于它是运动常数。因此，一开始，体系处于置换对称态时，那以后任何时候都处于这态下。与其他运动常数有极大不同之点是：体系要么处于对称态，要么处于反对称态。这是粒子本身所固有的特性。而不是人们能够人为地)t,r,r()P1(21)t,r,r(211221s)t,r,r()P1(21)t,r,r(211221A给一个初条件，让体系处于一个没有确定的置换对称性的状态下。所以，下面一些结论是重要的：A.由于是一运动常数，因此一开始体系处于某种交换对称态下，则以后任何时刻都处于这态下；B.与其他运动常数根本不同之处在于，体系要么处对称态，要么处于反对称态。这是粒子固有的属性，而不是人为地给－初条件所能改变的；C.实验表明：具有自旋为半整数的粒子体系。当两粒子交换，波函数反号，即处于反对称态；而自旋为整数的粒子，两者交换，波函数不变，即处于对称态。在统计物理学中，具有自旋为的半整数的粒子作为单元构成的体系，遵守Fermi-Dirac统计（称为Fermion）。具有自旋为的整数倍的粒子作为单元构成的体系，遵守Bose-Einstain统计（称为Boson）。2(2)全同粒