北京大学量子力学课件-第7讲

第七讲Ⅰ.测不准关系W.Heisenberg指出：当我们测量客体的动量如有一测不准度（即客体动量在这区域中的几率很大），我们在同时，不可能预言它的位置比更精确。也就是说，在同一时刻测量动量和位置，其测不准度必须满足这称为Heisenberg测不准关系。xpxpixipx这是实验的结果;也是波一粒两象性的结果；;也是波函数几率解释和态叠加原理的结果。我们已从三个方面论述了它:（1）一些例子：A.具有确定动量（一维运动）的自由粒子，是以来描述，其几率密度0p/)tExp(i21pp00e)2(1)t,x(21)t,x(2p0B．如一个自由粒子是由一系列沿x方向的平面波叠加而成的波包描述。这个波包扩展度的区域不是任意小，即kkkk)tkx(i00dke)k(C)t,r()txk(i0000etdkdx}k]tdkdx{[Sin22kC)t,x(k2x于是有（2）一些实验：A．位置测量：一束电子平行地沿x方向入通过窄缝a，从而测出y方向的位置。由于波的衍射，在y方向有一不确定度h2pxxB．用显微镜观测电子的位置：成像总是一衍射斑点。所以，显微镜的分辩率为（即电子位置的精度）hpΔyΔyahahsinpp1ysinx但所以，（3）测不准关系是波一粒两象性的必然结果因波－粒两象性的实验事实，要求用波函数来描述物质粒子，且要求对波函数进行几率解释，并有叠加性。从Fourier变换理论+波函数几率解释+态叠加原理，严格可证，xhsinhsinppxhpxxxpx。tE（4）能量－时间测不准关系的物理含意A.在空间固定处，发现体系如有一不确定的时间间隔Δt，那该体系的能量必有一扩展度ΔE，且有。B.体系几率分布发生大的改变需时间Δt，那体系的能量不确定度为，使tEEtE（5）一些应用举例：测不准关系可用作一些问题的数量级的估计A．类氢离子的基态能量估计：设：类氢离子的电子轨道半径为r（在一平面中），所以，不确定度。因此于是，rrrpr4Zem2pE022∴由可得，rZemrE0222420220040amZerrE0028aZeEgB.考虑重力下粒子的“静止”现作一简单的估计:经典“基态”是静止的。而量子粒子其位置有一不确定度，动量也有一不确定度。所以，00zzmgz)z(VzzpzmgzmzmgmpEz2222231220)gm(zzEm.)mm(ze33210171所以，对于经典物理学，则认为z=0。而对于量子粒子则为i.尘粒：,;ii.电子：。就我个人的看法：测不准关系是对两个物理量同时测量结果可能值的最佳区域（或不确定度）关系的约束，它不是测量的影响导致的。z克310mm10z11m1017.1z3Ⅱ.一维定态问题三维问题可化为一维问题处理，所以一维问题是解决三维问题的基础。（1）一般性质设粒子具有质量m，沿x轴运动，位势为，于是有)z(V)y(V)x(V)r(V)r(V)r(V)x(V。A.定理：一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简并的。简并度（degeneracy）：一个力学量的测量值，可在n个独立的（线性无关的）波函数中测得，则称这一测量值是具有n重简并度。某能量本征值有n个独立的定态相对应，则称这能量本征值是n重简并的。)x(Eu)x(u))x(Vdxdm2(222推论：一维束缚态的波函数必为实函数（当然可保留一相因子）。B.不同的分立能级的波函数是正交的。C.振荡定理：当分立能级按大小顺序排列，一般而言，第n+1条能级的波函数，在其取值范围内有n个节点（即有n个x点使，不包括边界点或∞远）。0dxuu1*2（2）在无穷大位势处的边条件：根据坐标空间的自然条件，波函数应单值，连续，平方可积，现先证明位势若有有限大小间断时，波函数的导数仍连续。由方程即)x(Eu)x(u)x(V)x(udxdm2222)x(u)]x(VE[()x(udxdm2222由于存在，即存在，即的导数存在，所以函数连续，也就是波函数导数连续。而在位势是无穷时又如何呢？设)x(u)]x(VE[)x(udxd22)x(udxd0VE)x(Eu)x(u)Vdxdm2(02220x)x(Eu)x(udxdm22220x令,所以，得解2mE2k20)EV(m2ΚuΚu20xuku20x0x)δkxsin(A0xceBe)x(uxΚxΚ要求波函数有界，所以C＝0，要求波函数x=0处连续，且导数连续当E给定，所以，∴BδsinABΚδcoskAK1δtank1Κ,V0.0δsin0δtan0B于是，当,方程有解这表明，在无穷大的位势处，波函数为0，边界上要求波函数连续，但并不要求再计及导数的连续性。当然，几率密度和几率流密度矢总是连续的。0V0x00xkxsinA)x(u§3.2阶梯位势：讨论最简单的定态问题0000xxV)x(V(1)当令，0VE)x(Eu)x(u)Vdxdm(022220x)x(Eu)x(udxdm22220x22mEk202)EV(m00xBeAexCeDe)x(uikxikxxx由波函数有界,C＝0在x＝0处，波函数连续，波函数导数连续，解得,DBAKD)BA(ik)ki1(2DA)ki1(2DB0xDe0xe)kiK1(2De)kiK1(2D)x(uxikxikxE对E没有限制，任何E都可取，即取连续值。因它不是束缚态（，并不趋于0），但它不简并（因，）。讨论：A.处，经典粒子不能去的地方，但仍有一定的几率发现量子粒子。B．区域，有沿x方向的平面波和沿x反方向的平面波,且振幅相同，构成一驻波。xx0)x(uE0x0xiEtEe)kxsinkkx(cosD)x(这一驻波，在处为0。/iEt2e)kxcos()k(1D21n2kxn2,1,0n)x(cos122x0C.几率流密度矢：i.透射几率流密度矢（）jT＝0（因是实函数）ⅱ.在区域，有向右的几率流密度，即入射几率流密度矢=iii.在区域，也有左的几率流密度，即反射几率流密度矢=0xxe0x)mpˆRe(jix*ii))k(1(4Dmk220x)mpˆRe(jRx*RR))k(1(4Dmk22所以，总几率流密度矢为0。当，入射粒子完全被反射回来，没有几率流流入到区域中。定义：1.反射系数，现R=1;2.透射系数，现T=0。(2)当,求粒子从左向右方入射的解。0VE0xiRjjRiTjjT1RT0VE令，)x(Eu)x(u)Vdxdm2(02220x)x(Eu)x(udxdm22220x2mE2k201)VE(m2k由初条件，粒子由左向右入射，由于在x=0处位势有间断点，所以，区域有入射波，也有反射波；但在处，位势无间断点，所以，只有入射波，无反射波，因此，C＝0。由波函数及其导数连续，有0xBeAe0xCeDe)x(uikxikxxikxik110x0xDBADik)BA(ik1得，结果有讨论：在时，区域有一沿x方向传播的平面波，波数为k1但这并不是指粒子具有动量为，因这要全空间）。显然，)kk1(2DA1)kk1(2DB10xDe0xe)kk1(2De)kk1(2D)x(uxikikx1ikx1E10VE0x1k)mpˆRe(jix*ii21214)kk(Dmk==。从而得反射系数=透射系数=显然)mpˆRe(jRx*RR212)kk1(4Dmk)mpˆRe(jTx*TT21DmkiRjjR211)kkkk(iTjjT211)kk(kk41TR§3.3位垒穿透：（1）EV0：从左向右入射，所以在区域有解eikx（入射波）；e-ikx（反射波）区域有解eikx（透射波）。0xBeAeaxSe)x(uikxikxikxE0xax这形式是普遍的，只要远离作用区。而沿x方向的几率流密度为，，所以只要求得,即可。对于有方程2iAmkj2BmkjR2TSmkj2ABR2ASTABax0)x(Eu)x(u)Vdxdm2(0222ASax0有解其中由，处，，连续得xxEFeDe)x(u2120))EV(m2(0xax)x(uE)x(uE)FD(K)BA(ikFDBABA)ki1(21)ki1(21)ki1(21)ki1(21FD得于是有aaikaFeDeSe)FeDe(ikSeaaikaFDekiekieeSeSeaaaaikaikaBA)ki1(21)ki1(21)ki1(21)ki1(21ekiekieeSeSeaaaaikaika从而得代回得BAkasinhkiacoshkasinhkiacoshkasinhkiacoshkasinhkiacoshAacoshki2asinh)k(asinh)k(B2222Aacoshki2asinh)k(kei2S22ika于是有（2）当这时只要将，并由，得122002asinhV)EV(E41ABR102202)EV(E4asinhV1AST0VE1ikaksiniasinh1Aaksin)kk(iakcoskk2aksin)kk(iB1221111212从而有Aaksin)kk(iakcoskk2ekk2S122111ika1112002aksinV)VE(E41ABR101202)VE(E4aksinV1AST201)VE(m2k2mE2k（3）结果讨论：A．（或），即几率流密度矢连续。当时，仍有一定几率流透射过去；B.当时，仍有一定几率流被反射但当时，T＝1，即完全透射过去。这种现象称为共振透射（仅在条件下发生）这时1TR0VE0VE0VE0VEnak10VE02222nVnma2E被称为共振能级。这种现象是量子现象。如一种解释，认为，所以，即位垒宽是半波长的整数倍时，则经过多次反射而透射出去的波的位相相同，从而出现共振透射。这是经典的观点，是不对的。因在位垒中，并没有确定的波长。nak12nkna1§3.4方位阱穿透：这时只要将即可。00VVAaksin)kk(iakcoskk2aksin)kk(iB1221111212Aaksin)kk(iakcoskk2ekk2S122111ika11122002aksinV)VE(E41ABR其中，。当时，则同样出现，即共振透射。这时，(n取值应保证En大于零)如果我们将位势在处选取为，那在和区域，入射能量，而区域，粒子能量为，即1012202)VE(E4aksinV1