高一数学竞赛常用定理

定理1.1等系数和线我们熟知，若=x+y，x+y=1那么C点在AB上，即A，B，C三点共线.类似地，若x+y=m(m为常数)，就可以写成，=1不难发现，C点在与AB平行的直线A'B'上.其中A'为向量的终点，B'为向量的终点.这样向量问题就被赋予几何含义，从而简便地解决这一类问题.进一步探索，令x=0或y=0可以得到.例题1.1在扇形AOB中，OA=OB=1，∠AOB=60°，C为(不包括端点)上的一点，且=x+y.(1)求x+y的取值范围；(2)若t=x+λy存在最大值，求λ的取值范围.解(1)如图1，C所在的在m=1和m=的两条等系数和线之间（包括MN，不包括AB），于是x+y的取值范围是.图1图2(2)如图2，将已知条件改写为=x+λy，于是t所对应的等系数和线是一系列与直线AP平行的直线，其中P为向量的终点.由于t有最大值，于是其对应的一系列等系数和线中必然存在与相切的一条，因此P位于线段MN上（不包括端点），其中AM与B处的切线平行，AN为A处的切线.从而易得λ的取值范围是.例题2.2已知O为锐角△ABC的外心，，且=x+y，求2x-y的取值范围.解设BD和CE为圆O的直径，则点A在劣弧DE上运动，于是=(-x)+(-y),且x,y0.方法一考虑到问题涉及的代数式为2x-y，为了利用向量分解的系数和的几何意义，将条件转化为=2x+,此时可知连接向量的终点F与向量的终点E的直线EF即等系数和线2x-y=1，如图.依次作出其等系数和线，可得2x-y的取值范围是.方法二根据题意，有，于是，且x,y0配方，有，令则所求范围即2a的取值范围.根据题意，有规划如图.不难得到，a的取值范围是，因此所求代数式的取值范围是方法三根据外心的向量表达，有于是将已知条件整理为从而可得根据题意，有.记2B=θ，则𝜃∈(𝜋3,𝜋).欲求代数式由θ的取值范围不难得到的取值范围是例题1.3已知圆O：x2+y2=1为△ABC的外接圆，且tanA=2，若=x+y，求x+y的最大值.解如图，延长AO交边BC于点D，设，则有𝜆𝜆于是由平面向量共线的表达可得𝜆𝜆从而可得𝜆显然，当OD取最小值时x+y取得最大值，此时△ABC为等腰三角形，容易计算得定理2.1极化恒等式（注：本节中，向量有时用粗体表示）设a，b是2个平面向量，则成立恒等式a·b[(a+b)2-(a-b)2].①有时也将式①写成4a·b=(a+b)2-(a-b)2.注式①表明向量的内积运算可以由向量线性运算的模导出（也是向量内积的另一种定义），是沟通向量内积运算和线性运算的重要公式．若a,b是实数，则恒等式①也叫“广义平方差”公式．极化恒等式的几何意义是：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即a·b[||2-||2].在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，即a·b=||2-||2，它揭示了三角形的中线与边长的关系.例题2.1设△ABC，P0是边AB上一定点，满足4=，且对于边AB上任意一点P，恒有·≥·，则（）A．∠ABC=90°B.∠BAC=90°C.AB=ACD.AC=BC解如图，取线段BC的中点M，则4·=(+)2-(-)2=4||2-||2.要使·的值最小，只需||取最小值。因为P是线段AB上的动点，所以只有当MP⊥AB时，||取得最小值，且点P与点P0必须重合，M是线段BC的中点，只有AC=BC时才能成立，故选D。例题2.2已知直线AB与抛物线y2=4x交于点A,B，点M为AB的中点，C为抛物线上一个动点，若C0满足C0A·C0B=min{CA·CB}，则下列一定成立的是（）A．C0M⊥ABB．C0M⊥l，其中l是抛物线过C0的切线C．C0M⊥C0BD．C0M=AB分析该题无论从形式还是内涵与例题2.1都是一样的．事实上根据“极化恒等式”，有4CB·CA=4|CM|2-|AB|2因为|AB|给定，显然要使CB·CA最小，只需|CM|最小，即C0M⊥l，其中l是抛物线过C0的切线.需要说明的是，命题组并没有说明l是一条什么样的直线，其实直线l是：当以定点M为圆心的圆与抛物线y2=4x相切时的公切线.例题2.3在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则AB·AC=______.分析该问题就是利用“极化恒等式”解决的极佳范例.因为4AB·AC=(AB+AC)2-(AB-BC)2=4|AM|2-|BC|2=62-102=-64，所以AB·AC=-16.例题2.4在正△ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则AB·AD=______.分析这是极化恒等式的直接变式范例.设BD的中点为E，则4AB·AD=4|AE|2-|BD|2=4|AO|2+|OE|2-|BD|2=30从而AB·AD.例题2.5已知a,b是平面内2个互相垂直的单位向量.若向量c满足(a-c)·(b-c)=0，求|c|的最大值。分析本题从表面上似乎和“极化恒等式”并没有关系，事实上，根据“极化恒等式”有4(a-c)·(b-c)=[(a-c)+(b-c)]2-[(a-c)-(b-c)]2从而.如图，设OA⊥OB，且OA=a,OB=b,OC=c,D为线段AB的中点.显然OD，DC.上式表明，DC是有固定起点，固定模长的动向量，即点C的轨迹迹是以D为起点、以长为半径的圆．因此|c|的最大值就是该轨迹圆的直径．例题2.6在△ABC中，AB=2，AC=3，D是边BC的中点，则AD·BC=______.解根据“极化恒等式”有AD·BC·(AB-AC)(|AB|2-|AC|2)=.例题2.7正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN最长时，求PM·PN的最大值。解设球心为O，球半径为R，则R=1，根据“极化恒等式”得4PM·PN=4|PO|2-(2R)2=4|PO|2-4因为P为正方体表面上的动点，所以|PO|的最大值为正方体对角线长的一半，即，于PM·PN的最大值为2。例题2.8点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,求PA·PC的取值范围.解设AC的中点为M，根据“极化恒等式”得4PA·PC=4|PM|2-|AC|2=4|PM|2-2因为1≤|PM|2≤，所以≤PA·PC≤1.定理3.1奔驰定理点O为△ABC内任意一点，则S△BOC·OA+S△AOC·OB+S△AOB·OC=0证明考虑到存在λ，μ，γ∈R，使得λ·OA+μ·OB+γ·OC=0①如图，设OD=λOA，OE=μOB，OF=γOC∴点O为△DEF的重心由三角形面积公式得：S△EOF=μγS△BOCS△DOF=γλS△BOCS△DOE=λμS△BOC又∵S△EOF=S△DOF=S△DOE∴μγS△BOC=γλS△BOC=λμS△BOC两边同除λμγ得：，，代入①式得S△BOC·OA+S△AOC·OB+S△AOB·OC=0例题3.1已知O是△ABC内部一点，满足OA+2OB+mOC=0，，求实数m的值。解由奔驰定理可得：，得m=4.例题3.2若点O在△ABC的内部，且OA+3OB+5OC=0，则的值为？解由奔驰定理得：S△BOC:S△AOC:S△AOB=1:3:5，则.习题3.1（2016年清华大学领军计划自主招生试题）O为△ABC内一点，若S△AOB:S△BOC:S△AOC=4:3:2，设AO=λAB+μAC，则实数λ和μ的值分别为？定理3.2奔驰定理的推论若，则S△AOB=S△BOP，S△AOB=S△AOP，S△BOP=S△AOP更一般地：若则S△PBC:S△PAC:S△PAB:S△ABC=|α|:|β|:|γ|:|α+β+γ|定理4.1三角形“四心”定理(1)C是△ABC的重心(2)点O是△ABC的垂心①②⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(3)点O是△ABC的外心①②⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(4)点O是△ABC的内心①（其中a,b,c是△ABC三边）②⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗例题4.2已知I是△ABC的内心，AB=2，AC=3，若，2x+3y=m，则m的取值范围是________．解根据题意，有于是其中n是△ABC的周长，且n的取值范围是(6,10)，于是从而从而定理5.1平行四边形中的一些结论①在平行四边形ABCD中，对角线的平方和为边的平方和的两倍，即②在此基础上，得出中线长公式：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，M为BC的中点，则有|AM|③，共起点O，终点分别为A,B，则向量三角形为△OAB，由得出向量三角形，平行四边形面积公式：定理6.1硬解定理1设直线AB的方程为，与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点.联立直线与椭圆，可得必使弦长|AB|为点O到直线的距离为，则△AOB的面积为≤当且仅当，即时，取等号.定理7.1仿射变换在求△OAB面积最大值的问题中，若椭圆特殊为圆，那么，当OA⊥OB时等号成立.那么对于椭圆，我们设，在新的坐标系下得到所以面积取到最大值时，即也就是定理7.2垂径定理已知不过原点O的直线与椭圆交于A，B两点，M为弦AB的中点，则直线AB与直线OM的斜率之积注一：当a=b=r时，椭圆的垂径定理描述的内容即为圆的垂径定理；注二：这里并不要求ab，也就是说此结论对焦点在x轴和焦点在y轴上的椭圆均适用；注三：双曲线的垂径定理中的斜率之积定理7.3切线公式在任意二次曲线上一点P(x0,y0)处的切线方程为：定理7.4面积公式由有向线段和围成的△OAB的有向面积例题7.1设a1,a2,a3,a4∈R，且=1,记f(a1,a2,a3,a4)=，求f(a1,a2,a3,a4)的最小值。解设，记=⃗⃗⃗|⃗⃗⃗，则≥2≥.定理8.1阿波罗尼斯圆动点P(x,y)到定点F1(-c,0),F2(c,0)的距离之比为λ.(c,λ为正数)，则P点的轨迹方程讨论：1.当时，即,P点轨迹为直线(F1F2的中垂线)2.当时，判定轨迹为圆，即阿波罗尼斯圆进一步，对于圆锥曲线有:动点P到动点F与定直线l的距离之比为定值λ.则动点P的轨迹是二次曲线.其中λ即圆锥曲线的离心率e.快速判断直径，圆心的方法：过P作内外角平分线分别交直线F1F2于T，D，则根据角平分线性质容易得到TD为直径.即：在F1F2上找到一对调和分比点T，D(根据比例可以快速判断)，TD中点即圆心.另：角平分线性质：例题8.1求满足条件BC=2，的△ABC的面积的最大值。解S△ABC≤其实不难发现通式习题8.1已知两定点A(-2,0),B(1,0)，如果动点P满足|PA|=2|PB|，求点P的轨迹所包围的面积.习题8.2已知共面向量a,b,c满足|a|=3,b+c=2a,且|b|=|b-c|，若对于每个确定的向量b，记|b-ta|(t∈R)的最小值为dmin，则当b变化时，dmin的最大值为？定理9.1托勒密定理平面上四边形的四边与对角线满足关系：对角线的乘积不超过两组对边分别相乘乘积之和，当且仅当四边形的四个顶点共圆时两者相等.例题9.1已知△ABC满足，，点M在△ABC外，且MB=2MC=2，则MA的取值范围是？静态观察（解法一）易知△ABC为等边三角形，如图，设MA=x，AB=BC=CA=t，那么由左右两图分别应用托勒密定理可得于是1≤x≤3.由于两侧等号均能取得（如图），又根据图形连续变化，因此MA的取值范围是[1,3].动态探索（解法二）如图，先固定B，M，使得BM=2，然后让C在半径为1的圆M上运动，观察A点的轨迹（暂时忽略M在△ABC外的条件）.由平面几何知识容易得到A的轨迹是圆M绕点B旋转60°后得到的圆N，据此容易求得MA的取值范围是[1,3]（注意取得最值时M均在△ABC外部）.例题9.2已知椭圆，P在椭圆上，求P点到G点的距离的最大值.解根据托勒密定理有|PG|·2c≤2a|GF1||PG|≤当且仅当P，F1，F2，G四点共圆时等号取得.易知等号可以取得.此时PG垂直过P的切线l，且PG平分∠F1PF2，这里