3实变函数

第一节可测函数的定义及其简单性质第三章可测函数新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）iniibamEdxxfL10],[lim)()(yiyi-1})(:{1iiiyxfyxEiiiyy1用mEi表示Ei的“长度”问题：怎样的函数可使Ei都有“长度”(测度)?1可测函数定义][,afERa例(1)零集上的任何函数都是可测函数。注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取)，若可测，则称f(x)是E上的可测函数(2)简单函数是可测函数iniEE1)()(1xcxfiEniiiiiExEExEx10)(可测][,afERa可测函数注：Dirichlet函数是简单函数01若(Ei可测且两两不交），f(x)在每个Ei上取常值ci，则称f(x)是E上的简单函数；（3）可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数|)()(|||,0,000xfxfxx时，有当即对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，0()(,)fxxab在处连续)()(lim00xfxfxx若)),((),(00)(,0,0xfxOOf使得即)),((),(00)(,0,0xfxOxfOx时，有当即()()()],[0baxf(x)在处连续(对闭区间端点则用左或右连续))),((),(00)(,0,0xfxOEOf使得若Ex0设f(x)为E上有限实函数，称f(x)在处连续可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数为可测集故EGEaf][),()(,0,)()),((),(aOEOfaxfxfxxx使得对(,)[]xxfaOEE即证明：任取x∈E[fa],则f(x)a,由连续性假设知，()x０f(x0)+εf(x0)f(x0)-εa[](,)xfaxxEGO令[][](,)(,)[]()()xxfafaxxfaxExEGEOEOEE另外则G为开集，当然为可测集，且[][](,)()xfafaxxEEOEGE所以反之⑷R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。aIax1x2})(|{),[})(|{),(][{axfxIIEaxfxIIEafaaaaE当当由f单调增知下面的集合为可测集})(|inf{axfxIa令证明：不妨设f单调增，对任意a∈R⒊可测函数的等价描述可测][,)2(afERa可测][,)3(afERa可测][,)4(afERa[](5),,,(|()|)afbabRabEfx可测充分性要求证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及[]1[][][]11[][]1[][][]1[]()fafaafanfnnfanfaafbfafbnfanEEEEEEEEEE),)1((][可测即afERa⒈定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则f(x)在E上可测对前面等式的说明)(][1][1][11nnafnafnafEEE)),[(),(),[1111nnnnaaa([a-1/na)(][1][1][11nnafnafnafEEE)),((),[),(1111nnnnaaa([aa+1/n⒋可测函数的性质][1][1][][1afnnafafafEEEEE⑴可测函数关于子集、并集的性质nnEE1反之，若,f(x)限制在En上是可测函数，则f(x)在E上也是可测函数。11,EEE即:若f(x)是E上的可测函数,可测，则f(x)限制在E1上也是可测函数；若m(E[f≠g])=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处成立,记作f(x)=g(x)a.e.于E。（almosteverywhere）注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性证明：令E1=E[f≠g]，E2=E[f=g]，则mE1=0从而g(x)在E1上可测，即：设f(x)=g(x)a.e.于E，f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测注：用到了可测函数关于子集、并集的性质另外f(x)在E2上可测，从而g(x)在E2上也可测，进一步g(x)在E=E1∪E2上也可测。⑵可测函数类关于四则运算封闭即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)仍为E上的可测函数。可测，：只要证证明][][,gafagfEERa[][][],()(),()()()fagfrgarrQxEfxagxrQfxragxxEE任取则从而使即a-g(x)rf(x)类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则为可测集。][gfE[][][]()frgarfagrQEEE反之也成立[][][]()fagfrgarrQEEE从而[][][]()fagfrgarrQEEE从而可测证明中利用了Q是可数集和R中的稠密集两个性质[][][],()(),()()()fagfrgarrQxEfxagxrQfxragxxEE任取则从而使即a-g(x)rf(x)若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)g(x)仍为E上的可测函数。作业：若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)-g(x),f(x)/g(x)为E上的可测函数再利用f(x)g(x)={(f(x)+g(x))2-(f(x)-g(x))2}/4即可2[][]00[]{fafaEaEEafaE证明：首先f2(x)在E上可测，因为对任意a∈R⑶可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。][1][][1][afnaafnannEEEE)}({infsup)(inflim)}({supinf)(suplim)}(inf{)()}(sup{)(xfxfxfxfxfxxfxmnmnnnmnmnnnnn若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。对上式的说明：][1][afnanEE)}(inf{)(xfxnxSxS,)1(的下界，即是数集xSxS使得即的最大下界，是数集,,0)2(Sinf下确界：[]1111[][]fannfafannEEE比较：([a-1/na例：R1上的可微函数f(x)的导函数f`(x)是可测函数利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.从而f`(x)是一列连续函数（当然是可测函数）的极限，故f`(x)是可测函数.nnnoxxfxfxxfxxfxf11)()(lim)()(lim)('证明：由于gn(x)例设{fn}是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集.注意：函数列收敛与函数列收敛于f之间的不同.[limlim]nnnnEff[limlim]nnnnEff证明：发散点全体为收敛点全体为limlimnnnnff在利用和是可测函数即可再⒌可测函数与简单函数的关系可测函数f(x)总可表示成一列简单函数的极限12|)()(|nnmMxfxMmMmMmn0次等分nn2可测函数与简单函数的关系注：当f(x)是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛122[]0,1,2,,212[]()nnkknnkfknnfnxExnxE)(lim)(xxfnn|)(||)(|21xx)}({xn若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数的极限，而且还可办到例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f(g(x))是可测函数。证明：要证f(g(x))是可测函数，只要证对任意a，E[fga]={x|f(g(x))a}可测即可,g可测f连续{x|f(g(x))a}=(fg)-1((a,+∞))=g-1(f-1((a,+∞)))f-1((a,+∞))=),(iiiba))),((()),((11iiiiiibagbag例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f(g(x))是可测函数。注：f(x)是R上可测函数，g(x)是R上连续函数，f(g(x))不一定是可测函数（利用Cantor函数构造，参见：《实变函数》，周民强，p114)证明：要证f(g(x))是可测函数，只要证对任意a，m(E[fga])={x|f(g(x))a}可测即可,由于f在F=R上连续，故F[fa]为R中的开集，),(][iiiafbaF又直线上的开集可表示成至多可数个互不相交的开区间的并，故不妨令[][]iifgaagbiEE为可测集再由g可测，可知例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f(g(x))是可测函数。11()()(())()()iiniEiniEixcxfxfcxE若为简单函数，则仍为上简单函数。注：)(lim)(xxgnn)}({xn另证：若g(x)是E上的可测函数,则g(x)总可表示成一列简单函数的极限))((lim))(lim())((xfxfxgfnnnn因为f(x)连续，故所以f(g(x))是简单函数列的极限，故为可测函数第二节可测函数的收敛性第三章可测函数⒈函数列的几种收敛定义|)()(|,,0,0,xfxfNnNExnxx有⑵一致收敛:|)()(|,,,0,0xfxfExNnNn有注：近似地说一致收敛是函数列收敛慢的程度能有个控制近似地说一致连续是函数图象陡的程度能有个控制0.20.40.60.810.20.40.60.81fn(x)=xnEffn于⑴点点收敛:记作1-δ0.20.40.60.810.20.40.60.81例：函数列fn(x)=xn,n=1,2,…在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-δ,1),在留下的集合上一致收敛fn(x)=xn⑶几乎处处收敛:记作(almosteverywhere）Eeaffn于..feEEfmeEen上一致收敛于在使得可测子集,,,0|)()(|,,,0,0,,,0xfxfeExNnNmeEen有可测子集即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛Euaffn于..⑷几乎一致收敛:记作(almostuniformly)0][ffnE⑸依测度收敛:记作注：从定义可看出，几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零测度集外）依测度收敛并不指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过σ的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零，而不论点集的位置状态如何Effn于0lim,0]|[|ffnnmE有[||]0,0,0,,nffNnNE有m不依测度收敛[||]0,0,0,,nffNnNE有m0lim,0]|[|ffnnmE有依测度收敛0,0]|[|不收敛于使得ffnmE[||