中考数学复习-一次函数与反比例函数综合题型-教案

第1页共20页专题复习三一次函数与反比例函数综合题型【教学笔记】一、求一次函数与反比例函数的解析式1、待定系数法.2、一次函数需要两个坐标点，反比例函数只需要一个坐标点.二、图象中涉及的三角形及有关图形面积的问题1、反比例函数k.2、将大三角形面积看作几个小三角形面积之和3、图形面积与坐标点之间的关系三、交点问题根据已知量求未知量四、根据图象直接写出自变量的取值范围数形结合的思想【典型例题】考点一：求一次函数与反比例函数的解析式【例1】（2015•资阳）如图10，直线y＝ax＋1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y＝kx（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，点A的坐标为2,0（）．（1）求双曲线的解析式；（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标.解：（1）把A（﹣2，0）代入y=ax+1中，求得a=，∴y=x+1，由PC=2，把y=2代入y=x+1中，得x=2，即P（2，2），把P代入y=得：k=4，第2页共20页则双曲线解析式为y=；（2）设Q（a，b），∵Q（a，b）在y=上，∴b=，当△QCH∽△BAO时，可得=，即=，∴a﹣2=2b，即a﹣2=，解得：a=4或a=﹣2（舍去），∴Q（4，1）；当△QCH∽△ABO时，可得=，即=，整理得：2a﹣4=，解得：a=1+或a=1﹣（舍），∴Q（1+，2﹣2）．综上，Q（4，1）或Q（1+，2﹣2）．【例2】（2016•资阳）如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y=（k≠0，x＞0）过点D．（1）求双曲线的解析式；（2）作直线AC交y轴于点E，连结DE，求△CDE的面积．【解答】解：（1）∵在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），∴点D的坐标是（1，2），∵双曲线y=（k≠0，x＞0）过点D，∴2=，得k=2，即双曲线的解析式是：y=；（2）∵直线AC交y轴于点E，∴S△CDE=S△EDA+S△ADC=，即△CDE的面积是3．【课后练习】1、（2014•资阳）如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？第3页共20页解：（1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0）和A（﹣2，1），∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3，反比例函数y=（m≠0）的图象过点A（﹣2，1），∴，解得m=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣；（2），解得，或，∴B（，﹣4）由图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．2、如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴，y轴分别交于A(1，0)，B(0，－1)两点，且与反比例函数y＝mx(m≠0)的图象在第一象限交于C点，C点的横坐标为2.(1)求一次函数的解析式；(2)求C点坐标及反比例函数的解析式．解：(1)由题意得k＋b＝0，b＝－1.解得k＝1，b＝－1，一次函数的解析式为y＝x－1；(2)当x＝2时，y＝2－1＝1，所以C点坐标为(2，1)；又C点在反比例函数y＝mx(m≠0)的图象上，∴1＝m2，解得m＝2.所以反比例函数的解析式为y＝2x.3、(2016乐山中考)如图，反比例函数y＝kx与一次函数y＝ax＋b的图象交于点A(2，2)，B12，n.(1)求这两个函数解析式；第4页共20页(2)将一次函数y＝ax＋b的图象沿y轴向下平移m个单位长度，使平移后的图象与反比例函数y＝kx的图象有且只有一个交点，求m的值．解：(1)∵A(2，2)在反比例函数y＝kx的图象上，∴k＝4.∴反比例函数的解析式为y＝4x.又∵点B12，n在反比例函数y＝4x的图象上，∴12n＝4，解得n＝8，即点B的坐标为12，8.由A(2，2)，B12，8在一次函数y＝ax＋b的图象上，得2＝2a＋b，8＝12a＋b，解得a＝－4，b＝10，∴一次函数的解析式为y＝－4x＋10；(2)将直线y＝－4x＋10向下平移m个单位长度得直线的解析式为y＝－4x＋10－m，∵直线y＝－4x＋10－m与双曲线y＝4x有且只有一个交点，令－4x＋10－m＝4x，得4x2＋(m－10)x＋4＝0，∴Δ＝(m－10)2－64＝0，解得m＝2或18.4、如图，一次函数5kxy（k为常数，且0k）的图像与反比例函数xy8的图像交于bA,2，B两点.（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB向下平移)0(mm个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求m的值.解：（1）将bA,2代入反比例函数xy8，得：428b∴4,2A将4,2A代入一次函数5kxy，得：4=-2k+5，解得21k∴一次函数的表达式为521xy（2）直线AB向下平移)0(mm个单位长度后的表达式为mxy521，由xymxy8521得：08)5(212xmx，16)5(8214)5(4222mmacbABOyx第5页共20页∵平移)0(mm个单位长度后的直线与反比例函数的图像有且只有一个公共点；∴Δ=0，即016)5(2m，解得9,121mm，∴m的值为1或9.5、(2016成都中考)如图，在平面直角坐标系xoy中，正比例函数ykx的图象与反比例函数直线myx的图象都经过点A(2，-2)．(1)分别求这两个函数的表达式；(2)将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴相交于点B，与反比例函数的图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积。解析：(1)∵正比例函数ykx的图象与反比例函数直线myx的图象都经过点A(2，-2)．，∴2222km解得：14km∴y＝－x,y=-4x(2)∵直线BC由直线OA向上平移3个单位所得∴B（0，3），kbc＝koa＝－1∴设直线BC的表达式为y＝－x＋3由43yxyx解得1141xy，2214xy∵因为点C在第四象限∴点C的坐标为(4，-1)解法一：如图1，过A作AD⊥y轴于D，过C作CE⊥y轴于E.∴S△ABC＝S△BEC＋S梯形ADEC－S△ADB＝12×4×4＋12(2＋4)×1－12×2×5＝8＋3－5＝6解法二：如图2，连接OC.∵OA∥BC，∴S△ABC＝S△BOC=12OBxc＝12×3×4＝6第6页共20页考点二：图象中涉及的三角形及有关图形面积的问题【例1】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx与双曲线y＝nx相交于A(－1，a)，B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1.(1)求m，n的值；(2)求直线AC的解析式．解：(1)∵直线y＝mx与双曲线y＝nx相交于A(－1，a)，B两点，∴B点横坐标为1，即C(1，0)，∵△AOC的面积为1，∴A(－1，2)，将A(－1，2)代入y＝mx，y＝nx可得m＝－2，n＝－2；(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋b，由题意得－k＋b＝2，k＋b＝0.解得k＝－1，b＝1，∴直线AC的解析式为y＝－x＋1.【课后练习】1、(2016宜宾中考)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx(x0)的图象交于A(2，－1)，B12，n两点，直线y＝2与y轴交于点C.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求△ABC的面积．解：(1)把A(2，－1)代入反比例解析式得：－1＝m2，即m＝－2，∴反比例解析式为y＝－2x，把B12，n代入反比例解析式得：n＝－4，即B12，－4.把A与B的坐标代入y＝kx＋b中得：2k＋b＝－1，12k＋b＝－4，解得k＝2，b＝－5.则一次函数的解析式为y＝2x－5；(2)设直线AB与y轴交于点E，则点E的坐标为(0，－5)，∵点C的坐标为(0，2)，CE＝2－(－5)＝7，∵点A到y轴的距离为2，点B到y轴的距离为12，∴S△ABC＝S△ACE－S△BCE＝12×7×2－12×7×12＝7－74＝214.2、(2016泸州中考)如图，一次函数y＝kx＋b(k0)与反比例函数y＝mx的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A(4，1)．(1)求反比例函数的解析式；(2)连接OB(O是坐标原点)，若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．第7页共20页解：(1)∵点A(4，1)在反比例函数y＝mx的图象上，∴m＝4×1＝4，∴反比例函数的解析式为y＝4x；(2)将点A(4，1)代入一次函数的解析式中，即1＝4k＋b，解得b＝1－4k.∴y＝kx＋(1－4k)，令x＝0，则y＝1－4k，∴C(0，1－4k)．又y＝4x，y＝kx＋（1－4k），⇒kx2＋(1－4k)x－4＝0.xA·xB＝－4k，xA＝4.∴xB＝－1k，S△OBC＝12OC·xB＝3，∴k＝－12，∴y＝－12x＋3.考点三：交点问题【例1】（2014成都中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线xy23与双曲线xy6相交于点A，B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP、BC,若ΔPBC的面积是20，则点C的坐标为。【解析】解：联立直线与反比例函数可得A、B的坐标分别为（2,3）（-2，-3）；由对称性可知1021PBCPOCSS；设)0()6,(nPmmC，、，则：1021mnSpoc，∴20mn；又nxnyAP23，将C点坐标代入得：mnmn62-3，即mnm62203，即62022032mm，整理得：0282032mm，解得：314)(221mm，舍；所以C点的坐标为)79,314(。解法2：第8页共20页【例2】（2015资阳中考）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数8yx（x＞0）和kyx（x＞0）的图象交于P、Q两点，若S△POQ=14，则k的值为__________．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义．.分析：由于S△POQ=S△OMQ+S△OMP，根据反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|+×|8|=14，然后结合函数y=的图象所在的象限解方程得到满足条件的k的值．解答：解：∵S△POQ=S△OMQ+S△OMP，∴|k|+×|8|=14，∴|k|=20，而k＜0，∴k=﹣20．【例2】如图，一次函数4yx的图象与反比例kyx（k为常数，且0k）的图象交于1,Aa，B两点.（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PAPB的值最小，求满足条件的点P的坐标及PAB的面积.【答案】：（1）3yx，3,1B；（2）P5,02，32PABS【解析】：（1）由已知可得，143a，1133ka，∴反比例函数的表达式为3yx，联立43yxyx解得13xy或31xy，所以3,1B。（2）如答图所示，把B点关于x轴对称，得到'3,1B，连接'AB交x轴于点'P，连接'PB，则有，''PAPBPAPBAB，当P点和'P点重合时取到等号。易得直线'AB：25yx，令0y，得52x，∴5',02P，即满足条件的P的坐标为5,02，设4yx交x轴于点C，则4,0C，∴12PABA