2011高考数学一轮复习课件：空间几何体的表面积和体积

第二节空间几何体的表面积和体积柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝圆锥S侧＝圆台S侧＝2πrhπrlπ(r1＋r2)l面积体积直棱柱S侧＝正棱锥S侧＝正棱台S侧＝球S球面＝对于不规则的几何体应如何求其体积？提示：对于求一些不规则几何体的体积，常用割补的方法，转化为已知体积公式的几何体进行解决.1．已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是()A.B．3C．4D．5解析：设球半径为R，则πR3＝4πR2，∴R＝3.答案：B2．已知正方体外接球的体积是那么正方体的棱长等于()解析：正方体外接球的体积是则外接球的半径R＝2，正方体的对角线的长为4，棱长等于答案：D3．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧面积等于()A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm2解析：由三视图可知，该几何体是底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥，其侧面积为πrl＝π×3×5＝15πcm2.答案：B4．若一个长方体的正视图、侧视图、俯视图分别是面积为4cm2，6cm2,24cm2的矩形，则该长方体的体积为_____cm3.解析：设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，∴体积V＝xyz＝24.答案：24则5．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是________．解析：底面半径是所以正方形的边长是2π＝2故圆柱的侧面积是(2)2＝4πS.答案：4πS2S1．多面体的表面积是各个面的面积之和．圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形，其表面积为侧面积与底面积之和．2．组合体的表面积要注意重合部分的处理．(2009·宁夏、海南高考)一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积(单位：cm2)为()由三视图还原几何体，根据各面和特征分别求面积再求表面积A.48＋12B.48＋24C.36＋12D.36＋24【解析】如图所示三棱锥．AO⊥底面BCD，O点为BD的中点，BC=CD=6，BC⊥CD，AO=4，AB=AD.S△BCD=6×6×=18，S△ABD=×6×4=12.取BC中点为E.连结AE、OE.可得AO⊥OE，∴S△ABC=S△ACD=×6×5=15，∴S表=18+12+15+15=48+12.【答案】A1．正四棱锥底面正方形边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积．(单位：cm2)解：正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.∵OE=2cm，∠OPE=30°，∴PE==4，因此，S棱锥侧=ch′=×4×4×4=32(cm2)S表面积=S侧+S底=32+16=48(cm2).1．三棱锥体积的计算与等体积法对于三棱锥的体积计算时，三棱锥的顶点和底面是相对的，可以变换顶点和底面，使体积容易计算．2．求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方法．(2010·福州模拟)一个容器的外形是一个棱长为2的正方体，其三视图如图所示，则容器的容积为()B.2C.8由三视图判断倒置的圆锥，利用条件确定半径与高代入体积公式【解析】由三视图可知，几何体为正方体内倒置的圆锥，故其体积为【答案】A21212.332．(2009·南京调研)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．解析：设AC＝a，CC1＝b，则由(a2＋b2)×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又＝6，∴a2＝8，∴答案：3V=84=83.41．球的组合体问题(1)球的相切问题要抓住两球心的连线过切点这一性质，否则难以找到数量之间的关系．(2)与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图．2．几何体的展开与折叠几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得的．利用了空间问题平面化的思想．把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点．(2009·全国卷Ⅰ)直三棱柱ABC－A1B1C1的各顶点都在同一球面上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于__________．结合图形，确定球心与径，代入表面积公式.【解析】设球心为O，球半径为R，△ABC的外心是M，则O在底面ABC上的射影是点M，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∠ABC＝(180°－120°)＝30°，AM＝＝2.因此，R2＝22＋＝5，此球的表面积等于4πR2＝20π.【答案】20π3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成三棱锥的外接球的体积．解：如图，把正四面体放在正方体中．显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球．∵正四面体棱长为1，∴正方体棱长为∴外接球直径2R=∴R=故所求外接球的体积为34433VR球简单的组合体的面积与体积的计算，以及平面图形的折叠问题是常考的内容，尤其是在解答题中，多涉及位置关系的证明，面积或体积的计算，着重考查学生识图，用图及空间想象能力，有时也与三视图结合.2009年福建卷在解答题中考查了平面图形的折叠问题及侧面积的计算，巧妙地将线面垂直、面面垂直的判断与性质与侧面积的计算相结合.(2009·福建高考)如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求证：AB⊥DE；(2)求三棱锥E-ABD的侧面积．[解](1)证明：在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.又∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面EBD.∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.(2)由(1)知AB⊥BD.∵CD∥AB.∴CD⊥BD，从而DE⊥BD.在Rt△DBE中，∵DB＝2，DE＝DC＝AB＝2，∴S△DBE＝DB·DE＝2又∵AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，∴AB⊥BE.∵BE=BC=AD=4，∴S△ABE=AB·BE=4.∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD.而AD⊂平面ABD，∴ED⊥AD，∴S△ADE＝AD·DE＝4.综上，三棱锥E－ABD的侧面积S＝8＋2.3立体几何是考查学生空间想象能力和推理论证能力的良好载体，而推理论证要求的是逻辑的严谨性．因此解决这类题要注意步骤的完整与规范，2009年考生在解决本题时主要出现以下不规范的地方而被扣分．(1)在解第(1)题时漏掉条件“AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°”而直接由余弦定理得出BD＝2(2)在求证AB⊥平面EBD时漏掉条件“平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD”等．另外请同学们思考一下三棱锥B—AED的体积如何求？