《随机变量及其分布总结》

1、古典概型设A、B为两个事件公式：()APA事件包含的试验结果数总试验结果数2、几何概型()APA事件的区域长度（面积、体积）试验全部结果的区域长度（面积、体积）3、涉及互斥事件概率加法公式：()()()ABPABPAPB若与互斥，则可类比：分类计数原理记忆4、条件概率()0PA()()()()()nABPABPBAnAPA5、涉及独立事件概率乘法公式：()()()ABPABPAPB若与相互独立，则可类比：分步计数原理记忆一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：niiinniipxpxpxpxpxXE12211)(则称它反映了离散型随机变量取值的平均水平。P1xix2x…………1p2pipnxnpX6、均值（数学期望）一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：nniipXExpXExpXExXD22121))(())(())(()(则称为随机变量X的方差。niiipXEx12))((P1xix2x……1p2pip……nxnpX称)()(XDX为随机变量X的标准差。它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。7、方差8、期望与方差的性质()()EaXbaEXb)()()(YbEXaEbYaXEXDabaXD2)(1、两点分布（1）试验要求：随机变量只有0、1两个取值（“P”为成功概率）（2）期望与方差：X01P1-pp)1()(ppXDX服从两点分布，则若pXEX)(服从两点分布，则若2、超几何分布（1）试验要求：随机试验中，不放回的从有限个物件（产品、小球）中抽出n个物件，成功抽出指定物件的次数。（2）期望与方差：无特定公式(需列出分布列，在利用公式求)X01…k…nP……0nMNMnNCCC11nMNMnNCCCknkMNMnNCCC0nMNMnNCCC3、二项分布（1）试验要求：针对n次独立重复试验（同一件事、同一条件下重复了n次）（在抽取物件时，要有放回抽取）（2）概率计算：若，~(,)XBnp则(X)(1),0,1,2,,kknknPkCppkn（3）期望与方差：npXEpnBX)(),(~，则若)1()(),(~pnpXDpnBX，则若4、正态分布（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ-σX≤μ+σ)≈________;②P(μ-2σX≤μ+2σ)≈_______;③P(μ-3σX≤μ+3σ)≈_________.（注意：面积等同于概率）0.68270.95450.9973记作：X~N(m,2)。（EX=m，DX=）2（1）如果对于任何实数ab,随机变量X满足:baaFbFdxxpbxaP)()()()(则称X的分布为正态分布.应用举例摸球中的分布一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为3的球3个。现从中任意抽取3个球，1、求恰好抽出两个2号球的概率2146310(2)0.3CCPXC2134643310101(2(2)(3)3CCCPXPXPXCC）2、求至少抽出两个2号球的概率超几何分布变式一：一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为3的球3个，现从中依次有放回地抽取3个球1、求恰好抽出两个2号球的概率223()0.4)(0.6)36125PAC（/2233033()0.4)(0.6)(0.4)(0.6)44/125PBCC（二项分布2、求至少抽出两个2号球的概率变式二：一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为3的球3个。现从中不放回地依次取出两个球.1、求第一次抽到3号球，第二次抽到1号球的概率.2、求在第一次抽出3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率.3、求两球号码之和X的分布列、均值和方差.XP21/1534/1541/354/1561/154EX1615DX条件概率101C2101313ACABp）（31)()()(APABPABP变式三：一盒子中有大小相同的球6个，其中标号为1的球4个，标号为2的球2个，现从中任取一个球，若取到标号2的球就不再放回，然后再取一个球，直到取到标号为1的球为止，求在取到标号为1的球之前已取出的2号标号球数X的均值.XP0122/34/151/150.4EX设在一次数学考试中,某班学生的分数服从X~N(110，202),且知满分150分,这个班的学生共54人.求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数.要求及格的人数,即求出P(90≤X≤150),而求此概率需将问题化为正态变量几种特殊值的概率形式,然后利用对称性求解.思维启迪正态分布解因为X~N(110,202),所以μ=110,σ=20.P(110-20X≤110+20)=0.6827.所以,X130的概率为所以,X≥90的概率为0.6827+0.1587=0.8414.∴及格的人数为54×0.8414≈45(人),130分以上的人数为54×0.1587≈9(人)..7158.0)7682.01(21