第三章-系统的时域分析-4-离散单位脉冲响应

信号与系统SignalsandSystems普通高等教育“十一五”国家级规划教材《信号与系统》陈后金，胡健，薛健高等教育出版社，2007年系统的时域分析线性时不变系统的描述及特点连续时间LTI系统的响应连续时间系统的冲激响应卷积积分及其性质离散时间LTI系统的响应离散时间系统的单位脉冲响应卷积和及其性质冲激响应表示的系统特性离散时间系统的单位脉冲响应单位脉冲响应h[k]定义h[k]的求解迭代法等效初始条件法阶跃响应g[k]的求解一、单位脉冲响应h[k]定义单位脉冲序列[k]作用于离散时间LTI系统所产生的零状态响应称为单位脉冲响应,用符号h[k]表示。][][00jkbikhajmjini对N阶LTI离散时间系统，h[k]满足方程二、h[k]的求解求解方法:2)等效初始条件法将[kj]对系统的瞬时作用转化为系统的等效初始条件。等效初始条件由差分方程和h[1]=h[2]==h[n]=0递推求出。1)迭代法例1描述某离散因果LTI系统的差分方程为求系统的单位脉冲响应h[k]。][]2[2]1[3][kxkykyky解：h[k]满足方程][]2[2]1[3][kkhkhkh1)求等效初始条件对于因果系统有h[1]=h[2]=0，代入上面方程可推出1]2[2]1[3]0[]0[hhh3]1[2]0[3]1[]1[hhh注意：选择初始条件的基本原则是必须将[k]的作用体现在初始条件中可以选择h[0]和h[1]或h[1]和h[0]作为初始条件解：h[k]满足方程][]2[2]1[3][kkhkhkh2)求差分方程的齐次解特征方程为特征根为齐次解的表达式为0232rr2,121rr0,)2()1(][21kCCkhkk代入初始条件，有1]0[021]1[2121CChCCh解得C1=1，C2=2][])2(2)1([][kukhkk例1描述某离散因果LTI系统的差分方程为求系统的单位脉冲响应h[k]。][]2[2]1[3][kxkykyky三、单位阶跃响应求解方法:单位阶跃序列u[k]作用在离散时间LTI系统上产生的零状态响应称为单位阶跃响应，用符号g[k]表示。1)迭代法2)经典法3)利用单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系knnhkg][][h[k]=g[k]g[k1]例2求例1所述系统的单位阶跃响应g[k]。例1若描述某离散时间LTI系统的差分方程为例1所述系统的单位脉冲响应为解：][]2[2]1[3][kxkykykynknnknkg)2(2)1(][00][]61)2(34)1(21[kukk利用h[k]与g[k]的关系，可得h[k]=[(1)k+2(2)k]u[k]卷积和的计算与性质图解法计算卷积和列表法计算卷积和卷积和的性质交换律结合律分配律位移特性差分与求和特性一、图解法计算卷积和卷积和的定义为计算步骤：][][][][nkhnxkhkxn1)将x[k]、h[k]中的自变量由k改为n；2)把其中一个信号翻转，如将h[n]翻转得h[n]；3)把h[n]平移k，k是参变量。k0图形右移，k0图形左移。4)将x[n]与h[kn]相乘；5)对乘积后的图形求和。例1已知x[k]=u[k]，h[k]=aku[k]，0a1，计算y[k]=x[k]*h[k]10kh[k]n或h[n]x[k]0k1n或x[n]0n1h[-n]例1已知x[k]=u[k]，h[k]=aku[k]，0a1，计算y[k]=x[k]*h[k]01nx[n]0n1h[-n]01nx[n]h[k-n],k0kk0,x[n]与h[kn]图形没有相遇y[k]=0例1已知x[k]=u[k]，h[k]=aku[k]，0a1，计算y[k]=x[k]*h[k]01nx[n]0n1h[-n]01nx[n]kh[k-n],0kk0,x[n]与h[kn]图形相遇nkknaky0][例1已知x[k]=u[k]，h[k]=aku[k]，0a1，计算y[k]=x[k]*h[k]k0，x[n]与h[kn]图形相遇nkknaky0][k0，x[n]与h[kn]图形没有相遇y[k]=00k1y[k]例2计算y[k]=RN[k]*RN[k]otherwise0101][NkkRNknN-101RN[k]或RN[k]n-(N-1)01RN[-n]例2计算y[k]=RN[k]*RN[k]otherwise0101][NkkRNnN-101RN[n]k-(N-1)RN[k-n],kk0k0时,RN[n]与RN[kn]图形没有相遇y[k]=0nN-101RN[n]k-(N-1)RN[k-n],k10Nk0kN1时，重合区间为[0，k]11][0kkykn例2计算y[k]=RN[k]*RN[k]otherwise0101][NkkRNnN-101RN[n]k-(N-1)RN[k-n],k221NkNN1k2N2时，重合区间为[k(N1)，N1]kNkyNNkn121][1)1(k2N2时，RN[n]与RN[kn]图形不再相遇y[k]=0例2计算y[k]=RN[k]*RN[k]k0时,RN[n]与RN[kn]图形没有相遇y[k]=00kN1时，重合区间为[0，k]11][0kkyknN1k2N2时，重合区间为[k(N1)，N1]kNkyNNkn121][1)1(k2N2时，RN[n]与RN[kn]图形不再相遇y[k]=0N-101kRN[k]*RN[k]2N-2N234123otherwise0101][NkkRN二、列表法计算序列卷积和设x[k]和h[k]都是因果序列，则有0],[][][][][0knkhnxkhkxkykn当k=0时，]0[]0[]0[hxy当k=1时，当k=2时，当k=3时，]0[]1[]1[]0[]1[hxhxy]0[]2[]1[]1[]2[]0[]2[hxhxhxy]0[]3[]1[]2[]2[]1[]3[]0[]3[hxhxhxhxy以上求解过程可以归纳成列表法。二、列表法计算序列卷积和x[0]x[1]x[3]x[2]h[0]h[1]h[3]h[2]x[0]h[0]x[0]h[1]x[0]h[2]x[0]h[3]x[1]h[0]x[1]h[1]x[1]h[2]x[1]h[3]x[2]h[0]x[2]h[1]x[2]h[2]x[2]h[3]x[3]h[0]x[3]h[1]x[3]h[2]x[3]h[3]将h[k]的值顺序排成一行，将x[k]的值顺序排成一列，行与列的交叉点记入相应f[k]与h[k]的乘积，对角斜线上各数值就是x[n]h[kn]的值。对角斜线上各数值的和就是y[k]各项的值。解:例3计算与的卷积和。}2,3,0,2,1{][kx}3,2,4,1{][khh[-1]h[1]h[0]h[2]1023102340812204630691423x[-2]x[1]x[0]x[2]x[-1]22846}6,13,14,20,10,10,6,1{][ky利用卷积和的起点坐标等于待卷积两序列起点之和，确定卷积和的原点。解:例4计算与的卷积和。][][kukxk][][kukhk][*][kukukk][][nkununknn0000knknnkk11[](1)[]kkkukkauk)(e)(etututt)(e)()ee(1tuttuattt三、卷积和的性质交换律:x[k]h[k]=h[k]x[k]x[k]{h1[k]h2[k]}{x[k]h1[k]}h2[k]x[k]{h1[k]+h2[k]}x[k]h1[k]+x[k]h2[k]结合律:分配律:三、卷积和的性质位移特性：][][*][][*][kykhkxkhkx][][*])[(][*][nykhnxnhkxknknknx[k][kn]=x[kn]推论：若x[k]h[k]=y[k]，则x[kn]h[kl]=y[k(n+l)]差分与求和特性：若f[k]h[k]=y[k]解:例5计算与的卷积和。}4,2,0,1{][kx}3,5,4,1{][kh]1[4][2]2[][kkkkx利用位移特性][*]}1[4][2]2[{][*][khkkkkhkx]1[4][2]2[khkhkh}12,26,26,15,7,4,1{][*][][khkxky冲激响应表示的系统特性级联系统的冲激响应并联系统的冲激响应因果系统稳定系统一、级联系统的冲激响应h1(t)x(t)z(t)y(t)h2(t))(*)()(1thtxtz)(*)(*)()(*)()(212ththtzthtzty根据卷积积分的结合律性质，有)](*)([*)()(*)(*)()(2121ththtxththtxtyh(t)一、级联系统的冲激响应结论:h(t)=h1(t)*h2(t)x(t)y(t)h2(t)x(t)y(t)h1(t)1)级联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应的卷积。2)交换两个级联系统的先后连接次序不影响系统总的冲激响应。两个离散时间系统的级联也有同样的结论。h1[k]x[k]x[k]y[k]h2[k]h[k]=h1[k]*h2[k]x[k]y[k]h2[k]x[k]y[k]h1[k]二、并联系统的冲激响应h1(t)h2(t)+y(t)x(t)y1(t)y2(t))(*)()(11thtxty)(*)()(22thtxty)(*)()(*)()(21thtxthtxty应用卷积积分的分配律性质，有)]()([*)()(21ththtxtyh(t)二、并联系统的冲激响应结论:并联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应之和。h(t)=h1(t)+h2(t)x(t)y(t)h1[k]h2[k]+y[k]x[k]y1[k]y2[k]h[k]=h1[k]+h2[k]x[k]y[k]两个离散时间系统的并联也有同样的结论。例1求图示系统的冲激响应，其中h1(t)=e3tu(t)，h2(t)=δ(t1)，h3(t)=u(t)。h1(t)x(t)y(t)h2(t)h3(t)+解：子系统h1(t)与h2(t)级联，h3(t)支路与h1(t)h2(t)级联支路并联。)()(*)()(321thththth)()(e*)1(3tututt)()1(e)1(3tutut例2求图示系统的单位脉冲响应，其中h1[k]=2ku[k]，h2[k]=[k1]，h3[k]=3ku[k]，h4[k]=u[k]。h2[k]x[k]y[k]h3[k]h1[k]+h4[k]解：子系统h2[k]与h3[k]级联，h1[k]支路、全通支路与h2[k]h3[k]级联支路并联，再与h4[k]级联。全通支路满足][][*][][kxkhkxky全通离散系统的单位脉冲响应为单位脉冲序列[k]{}][][][][][][4321khkhkhkkhkh]1[]5.0)3(5.1[][)2(21kukukk三、因果系统定义：因果系统是指系统t0时刻的输出只和t0时刻及以前的输入信号有关。LTI系统因果的充分必要条件因果连续时间LTI系统的冲激响应必须满足0,0)(