D1-3 连续 辽宁专升本,高等数学,树人,导航,2018

返回后页前页第一部分函数、极限、连续1.3：连续–1.连续函数的概念–2.连续函数的性质–3.初等函数的连续性返回后页前页1.连续函数的概念•函数在一点的连续性•间断点的分类•区间上的连续函数返回后页前页定义10(),fxx设函数在点的某邻域内有定义且),()(lim00xfxfxx)1(由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续00()().fxxfx仅存在,而且其值恰为在点的函数值一、函数在一点的连续性性的，换句话说连续就是指0()fxx在点的极限不0().fxx则称在点连续返回后页前页回顾：函数的极限同学们还记得我么？还记得“-δ”语言么？.)()(,,0,000xfxfxx恒有时使当:语言)()(lim0xx0xfxf返回后页前页例.0,0,0,0,1sin)(处连续在试证函数xxxxxxf证,01sinlim0xxx,0)0(f又.0)(处连续在函数xxf),0()(lim0fxfx返回后页前页).0(0sgnlim0fxxxxxysgn例：处连续，在0sgn)(xxxxf这是因为xyO返回后页前页0,x在处不连续这是因为).0(0)(lim0fxfx又如：函数,0()(0),0xxfxaaxaxyO返回后页前页极限xxsgnlim0.不存在由极限的定义,定义1可以叙述为:对于任意正数,)2(.)()(0xfxf()sgn0,fxxx函数在点处不连续这是因为00(2),0xxxx注意到式在时恒成立因此存在0,00||,xx当时有这样就得到函数f(x)在点x0可改写为0xx，.连续的定义返回后页前页,)()(0xfxf0().fxx则称在点连续定义20().fxx设在点的某个邻域内有定义如果对任意的存在当时0,0,0,xx返回后页前页为狄利克雷函数.证所以因为,0lim,1)(,0)0(0xxDfx).0(0)(lim)(lim00fxxDxfxx()0.fxx故在处连续注意:上述极限式绝不能写成.0)(limlim)(lim000xDxxxDxxx例1()()0,fxxDxx证明在处连续其中()Dx返回后页前页由上面的定义和例题应该可以看出:函数在点x0类似于左、右极限，下面引进左、右连续的概念.要求这个极限值只能是函数在该点的函数值.极限存在是函数连续的一个必要条件)，而且还x0连续，那么它在点x0必须要有极限(这就是说,有极限与在点x0连续是有区别的.首先f(x)在点返回后页前页定义300()()fxxUx设函数在点的某个右邻域)),()(lim()()(lim0000xfxfxfxfxxxx0()().fxx则称在点右左连续很明显,由左、右极限与极限的关系以及连续函数0既是左连续，又是右连续.点x定理4.10()fxx函数在点连续的充要条件是：f在))((0xU左邻域有定义，若的定义可得：返回后页前页例2讨论函数,0(),0xxfxxax0.x在处的连续性解因为0.fx所以在处左连续又因为,)(lim)(lim00aaxxfxx),0(0lim)(lim00fxxfxx0aaxyxyoxy0aaxy0aaxy点击上图动画演示返回后页前页0,0afx当时在处连续；综上所述,0,0afx当时在处不是右连续的；所以,0a当时，0.fx在处是右连续的0.x在处不连续0a当时，返回后页前页二、间断点的分类定义400()(())fxUx设函数在的某空心邻域内有定义.若f在点x0无定义,或者在点x0有定义但却由此,根据函数极限与连续之间的联系,如果f在点x0不连续,则必出现下面两种情况之一:或不连续点.在该点不连续,那么称点x0为函数的一个间断点返回后页前页00(i);fxx在点无定义或者在点的极限不存在等于f(x0).0(ii),fx在点有定义且极限存在但极限值却不根据上面的分析,我们对间断点进行如下分类：1.可去间断点:若0lim(),xxfxA存在0fx而在点0,(),fxA无定义或者有定义但0xf则称是的一个可去间断点.返回后页前页2.跳跃间断点：若,)(lim0Axfxx0lim()xxfxB0xf则称点为的一个跳跃间断,,AB都存在但注x0是f的跳跃间断点与函数f在点x0是否有定点.3.第二类间断点:若f在点x0的左、右极限至少可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点.义无关.0.xf则称是的一个第二类间断点有一个不存在,返回后页前页例.0,0,1,0,)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解,0)00(f,1)00(f),00()00(ff.0为函数的跳跃间断点xoxy例.1,1,11,10,1,2)(处的连续性在讨论函数xxxxxxxfoxy112xy1xy2返回后页前页解,1)1(f,2)01(f,2)01(f2)(lim1xfx),1(f.0为函数的可去间断点x注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,2)1(f令.1,1,1,10,2)(处连续在则xxxxxxfoxy112返回后页前页证因为.一个可去间断点例处不连续，在0x0001)(xxxf试证函数0()xfx是的所以并且是的一个可去间断点.0x()fx1xyO0lim()1(0),xfxf返回后页前页例讨论函数1/1,0,e1()00,xxfxx在x0处是否连续？若不连续，则是什么类型的间断点？返回后页前页10011lim()limlim0(0),e1e1yyxxxfxf所以f(x)在x0处右连续而不左连续,从而不10011lim()limlim1(0),e1e1yyxxxfxf解因为断点是跳跃间断点.连续.既然它的左、右极限都存在，那么这个间返回后页前页例10()sinxfxx试问是函数的哪一类间断解因为由归结原理可知，0011limsinlimsinxxxx与均不存在，0().xfx所以是的一个第二类间断点点？返回后页前页例.0,0,,0,1)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解oxy,0)00(f,)00(f.1为函数的第二类间断点x这种情况成为无穷间断点返回后页前页例.01sin)(处的连续性在讨论函数xxxf解,0处没有定义在x.1sinlim0不存在且xx.0为第二类间断点x.断点这种情况称为的振荡间注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.返回后页前页,,0,,1)(是无理数时当是有理数时当xxxDy狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★)(xxDy返回后页前页o1x2x3xyxxfy判断下列间断点类型:返回后页前页例.0,0,,0,cos)(,处连续在函数取何值时当xxxaxxxfa解xxfxxcoslim)(lim00,1)(lim)(lim00xaxfxx,a,)0(af),0()00()00(fff要使,1时故当且仅当a.0)(处连续在函数xxf,1a返回后页前页小结1.函数在一点连续必须满足的条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)返回后页前页可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx0xoyx0xoyx0x返回后页前页思考题若)(xf在0x连续，则|)(|xf、)(2xf在0x是否连续？又若|)(|xf、)(2xf在0x连续，)(xf在0x是否连续？返回后页前页一、填空题：1、指出23122xxxy在1x是第_______类间断点；在2x是第_____类间断点.2、指出)1(22xxxxy在0x是第________类间断点；在1x是第______类间断点；在1x是第_____类间断点.二、研究函数1,11,)(xxxxf的连续性，并画出函数的图形.练习题返回后页前页返回后页前页一、1、一类,二类；2、一类,一类,二类.二、,),1()1,()(内连续与在xf1x为跳跃间断点.三、1、1x为第一类间断点；2、,2为可去间断点kx)0(kkx为第二类间断点.0,12,,tan)(1xkkxxxxf),2,1,0(k,练习题答案返回后页前页返回后页前页三、区间上的连续函数若函数f在区间I上的每一点都连续,则称f为I)(,为正整数nxycynxysin例如,以及21xy都是R上的连续函数；而函数是区间1,1xx[-1,1]上的连续函数,在处的连续分别指右连续和左连续.数在该点连续是指相应的左连续或右连续.上的连续函数.对于闭区间或半闭区间的端点,函返回后页前页如果函数f在[a,b]上的不连续点都是第一类的,能要添加或改变某些间断点处的值).是由若干个小区间上的连续曲线合并而成(当然可一个分段连续函数.从几何上看,分段连续曲线就并且不连续点只有有限个,那么称f是[a,b]上的返回后页前页2.连续函数的性质•连续函数的局部性质•闭区间上连续函数的性质•反函数的连续性•*一致连续性*超纲内容简要介绍返回后页前页一、连续函数的局部性质0xf在点若函数所谓连续函数局部性质就是指:连续(左连续或右连续),则可推知f在点x0的某号性、四则运算的保连续性等性质.个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保返回后页前页0().fUx在某邻域上有界连续，在点若函数0xf定理（局部有界性）则),0)(()(rxfrxf或000()(()0),rfxfxrr或的正数存在0,fx若函数在点连续且定理（局部保号性）,)0)((0)(00xfxf或则对任意一个满足000,(,),xxx当时返回后页前页(2)()(),fxgx(1)()(),fxgx(),()fxgx若函数定理（连续函数的四则运算）则函数连续均在点,0x0(4)()/(),()0fxgxgx(3)()(),fxgx0.x在点也是连续的返回后页前页01()nnPxaaxax也是连续函数.我们知道,常函数与线性函数都是R上y=cy=x的连续函数,故由四则运算性质,易知多项式函数0101()()nnmmaaxaxPxQxbbxbx同理,有理函数(分母不为零)同样是连续函数.返回后页前页00,().ufx连续0(()).gfxx则复合函数在点连续0()guu在点0()fxx若函数在点连续，定理.0))1(limsin()1sin(lim2121xxxx).1sin(lim21xx求例122sin(1)()sin,(1)xguuux可视为的复解合，所以返回后页前页例2.sin2lim0xxx求解()1,guuu因为在连续所以.112)sin2(limsin2lim10xxxxxx例3.)11sin(limxxx求解1lim(1)e,sine,xxuux因为在点连续所以.esin)11sin(limxxx返回后页前页.],[上连续在闭区间设baf在本节中将研究f在闭区间上的整体性质二、闭区间上连续函数的性质最大值最小值定理（有界性）介值定理*一致连续性返回后页前页均有使得对一切存在,,0DxDx),)()(()()(00xfxfxfxf定义1().fxD设为定义在数