角的概念的推广——任意角

1.1.1任意角1.初中所学角是如何定义的？（1）静态定义：具有公共顶点的两条射线组成的图形（2）动态定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形“旋转”形成角oAB始边终边顶点42.初中学习过哪些角？锐角、直角、钝角、平角、周角3.初中学习的角的范围？0ºα≤360º体操中有转体720。（转体两周）或转体1080。（转体三周），如何度量这些角度呢？6将时钟调快半小时，应如何调？调慢半小时呢？为此，要准确地描述这些现象，不仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程，即必须既要知道旋转量，又要知道旋转方向。这就需要对角的概念进行推广。（一）角的概念推广的必要性按逆时针方向旋转所形成的角.如α=210º.按顺时针方向旋转所形成的角.如α=-150º.没有作任何旋转的角.记作α=0º.正角：负角：零角：角的概念推广后，它包括任意大小的正角、负角和零角(二)角的分类:2100-1500⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．⑴在不引起混淆的情况下，“角”或“∠”可以简化成“”；⑵零角的终边与始边重合，是零角即=0°；注意要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样。初中所研究的角的范围为．我们现在的范围是R。注意：0°～360°是指_________0°到360°是指_________11练习1：观察图中的角，简单描述角的形成过程。12(三)角的位置:为了使角有统一的参照系，今后我们常在直角坐标系中讨论角,那么怎样把角放在坐标系中比较方便、合理?1.象限角在直角坐标系内,角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.-50°xyoxyo210°-450°xyo405°xyo-200°xyo第四象限角第一象限角第三象限角第二象限角轴线角xyo2.非象限角（象界角、轴线角）当角的终边不落在象限内,这样的角还是象限角吗?终边落在x轴和y轴上的角xyo否第一象限角表示方法：第二象限角的表示方法：0000036090360kkkZ000090360180360kkkZ第三象限角的表示方法：0000180360270360kkkZ第四象限角表示方法：0000270360360360kkkZ161.判断下列句子是否正确？（1）锐角一定是第一象限角（2）小于的角一点是锐角（3）第一象限角一定不是负角（4）终边在x轴非负半轴上的角的度数是正确错误错误错误对第（4）题举出反例？360°，720°......-360°，-720°,......360,kkZb=拔它们之间有什么规律？2.在同一直角坐标系内作出30°、390°、-330°、750°,观察它们终边的关系与30°终边相同的角的集合｛β︱β=30°＋k·360°,k∈Z｝390°=30°+＿＿＿-330°=30°+＿＿＿1·360°(-1)·360°750°=30°+＿＿＿2·360°归纳:终边相同的角的表示方法一般地,所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S=｛β︱β=α+k·360°,k∈Z｝(四)角的关系:即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和.终边与α角的终边相同的角应该怎么表示？(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．注意以下四点：Zk(1)(2)是任意角；0360k0360k0360k(3)与之间是“+”号，如-30°，应看成+(-30°)例1.在0º到360º范围内，找出与终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.例2.终边在y轴上的角的集合180°+k360°◆分析：终边落在坐标轴上的情形xy00°+k360°90°+k360°270°+k360°或360°+k360°◆解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为S1={β|β=90°+k∙360°,k∈Z}={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}xy090°+k∙360°270°+k∙360°终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为S2={β|β=270°+k∙360°,k∈Z}={β|β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}∴终边落在ｙ轴上的角的集合为S=S1∪S2={β|β=90°+n∙180°，n∈Z}XYOｋ∙360°180°+k∙360°例：写出终边落在x轴上的角的集合。◆分析：终边落在坐标轴上的情形S1={β|β=90°+K∙360°,K∈Z}={β|β=90°+2K∙180°，K∈Z}={β|β=90°+180°的偶数倍}解：终边落在x轴正半轴上的角的集合为终边落在x轴负半轴上的角的集合为S2={β|β=270°+K∙360°,K∈Z}={β|β=90°+180°+2K∙180°,K∈Z}={β|β=90°+（2K+1）180°，K∈Z}={β|β=90°+180°的奇数倍}｛偶数｝∪｛奇数｝＝｛整数｝S=S1∪S2∴终边落在Ｘ轴上的角的集合为={β|β=180°的偶数倍}∪{β|β=180°的奇数倍}={β|β=180°的整数倍}={β|β=K∙180°，K∈Z}1.与-496°终边相同的角是;它是第象限的角;它们中最小正角是_____-496°+k·360°(k∈Z)三224°2.下列命题中正确的是()A.终边在y轴上的角是直角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Z），则α与β终边相同D角的概念角的大小角的位置角的关系正角负角零角象限角轴线角终边相同角思考题：已知角是第三象限角，则2，各是第几象限角？2