大学物理-刚体力学

主讲：姜贵君第一节刚体定轴转动的转动定律一、刚体运动的描述1.刚体刚体是理想模型特点(1)是一个质点组（刚体可以看成由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元。）(2)组内任意两点间的距离保持不变。在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。2.刚体的运动刚体的运动形式：平动、转动。（1）平动若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线。刚体平动质点运动（2）转动刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动，则称刚体作转动，该直线称转轴。转轴瞬时转轴非定轴转动固定转轴定轴转动转动又分定轴转动和非定轴转动。刚体的平面运动（滚动）刚体的一般运动=质心的平动绕质心的转动+QPxx转动平面转轴参考方向PxP（1）角位置和角位移3.刚体的定轴转动角位置　角位移（2）角速度角速度方向用右手螺旋法则确定。d定轴转动的角速度仅有沿转轴的两个方向。用正负号表示方向ddt（4）角量与线量的关系or（3）角加速度角加速度方向与相同。加速转动方向一致;减速转动方向相反＊当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动。刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动at022100attxx22002()axx0t22002()21002tt（5）匀变速转动公式飞轮30s内转过的角度22200(5π)75πrad22(π6)2005ππrads306t例：一飞轮半径为0.2m、转速为150r·min-1，因受制动而均匀减速，经30s停止转动。试求（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后t=6s时飞轮的角速度；（3）t=6s时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。解.0t=30s时，飞轮做匀减速运动102π2π150==5πrads6060n(1)t0=0s时，（2）s6t时，飞轮的角速度10π(5π6)4πrads6t（3）s6t时，飞轮边缘上一点的线速度大小20.24π2.5msr该点的切向加速度和法向加速度2tπ0.2()0.105ms6ar转过的圈数r5.37π2π75π2N22n0.2(4π)31.6msar例：在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动。开始时，它的角速度，经300s后，其转速达到18000r·min-1。已知转子的角加速度与时间成正比。问在这段时间内，转子转过多少转？00令，即，积分ctcttddtttc00dd得221ct当t=300s时，12π2π18000=600πrads6060n解：t0=0s时，θ0=0，ω0=0转子的角速度221π2150ctt由角速度的定义2dπd150tt得200πdd,150ttt3π450t在300s内转子转过的转数34π(300)310r2π2π450N所以2222600ππ30075ct二、刚体定轴转动的转动定律sinMFrFdMrF大小：是决定刚体转动的物理量,表明力的大小、方向和作用点对物体转动的影响。1.力矩（1）力矩的定义式（2）物理意义doPzMFrM力改变刚体的转动状态刚体获得角加速度质点获得加速度改变质点的运动状态力矩MrF1）若力不在垂直于转轴的平面内：讨论FFFtsinzMFrFr2）合力矩等于各分力矩的矢量和123MMMMirF11iFr11rF21rF21Fr11FrnFFtrFAzF//FijjiMMjririjijFjiFdOijMjiM3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消＊＊对mi用牛顿第二定律：iiiiFfma切向分量式为：tsinsiniiiiiiFfma2sinsiniiiiiiiiFrfrmr外力矩内力矩tiiarir两边同乘2.转动定律zOrifiFimiiΘi对所有质点求和：用M表示合外力矩,则有:M＝JMJ转动惯量2sinsin()iiiiiiiiFrfrmrsin0iiifr因为2sin()iiiiiFrmr得2iirmJ令矢量式:转动定律M＝J刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。2.力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。说明：amF＝1.与地位相当，m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性。MJ3.力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方向，所以用正负号表示方向。物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小反映了改变刚体转动状态的难易程度。3、转动惯量　2iirmJ(1)定义(2)与转动惯量有关的因素①刚体的质量及其分布②转轴的位置在（SI）中，J的单位：kgm2(3)转动惯量的计算①质量离散分布的刚体2iirmJ1m2m2r1r2dVJrm②若质量连续分布lmddsmddVmdd质量为线分布质量为面分布质量为体分布线分布体分布面分布为质量的线密度为质量的体密度为质量的面密度注意只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才用积分计算其转动惯量,一般刚体则用实验求其转动惯量。例：求质量为m半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解:在环上任取一小线元dlROdm其质量2mRJ转动惯量：均匀圆环的＊dd2πmmlR22dddd2π2πmmRJrmRllR2π20d2πRmRJlmR解:将圆筒分为一系列的圆环，质量为dm例：求质量为m半径为R的薄圆筒绕中心轴的转动惯量。（不计厚度）圆环与圆筒的转动惯量公式相同22dJRdmJmR2ddJRm220dmJRmmR例：求质量为m，半径为R，厚为h的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为r宽为dr的薄圆筒可见，转动惯量与h无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是。221mRJzoRrdr222d2πd2πddπmmmrrhrrhrrRhR2322dddmJrmrrR322021d2RmJrrmRR例：求长为L质量为m的均匀细杆对图中不同轴的转动惯量。ABLxABL/2L/2Cx解：取轴处为原点建立一维坐标系如图所示2222121dmLxxLmJLLC2201d3LAmJxxmLLxLmxmddd的关系：与CAJJA，C相距L/22)2(LmJJCAxxLmxLmxmrJdddd222(4)平行轴定理cd推广:若有任一轴与过质心的轴平行且相距d，刚体对其转动惯量为:,称为平行轴定理。2mdJJCJ:刚体绕任意轴的转动惯量Jc:刚体绕通过质心的轴d:两轴间垂直距离m:刚体的质量竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？(1)飞轮的角加速度(2)如以重量G=98N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速例求一轻绳绕在半径r=20cm的飞轮边缘，在绳端施以F=98N的拉力，飞轮的转动惯量J=0.5kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦不计，(见图)FOrmgFOr解(1)JFr2-srad2.395.02.098JFrmaTmg(2)JTrra两者区别mg2mrJmgr2-2srad8.212.0105.02.098例题3-6一个飞轮的质量m=60kg，半径R=0.25m，正在以ω0=1000r·min-1的转速转动。现在要制动飞轮，要求在t=5.0s内使它均匀减速而最后停下来。闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数为μk=0.8，而飞轮的质量可以看作全部均匀分布在轮的外周上。求闸瓦对飞轮的压力N。解:ω0=1000r·min-1＝104.7rad·s-1飞轮在制动时的角加速度为t0=0s时t=5s时ω=0负值表示β与ω0的方向相反。-200104.720.9(rads)5t闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩为rkMfRNR根据刚体定轴转动定律得kNRJ将2mRJ代入得k600.2520.93920.8mRN（N）例题3-7图3-14所示为测量刚体转动惯量的装置。待测的物体装在转动架上，细线的一端绕在半径为R的轮轴上，另一端通过定滑轮悬挂质量为m的物体，细线与转轴垂直。从实验测得m自静止下落高度h的时间为t。忽略各轴承的摩擦、滑轮和细线的质量，细线不可伸长，并预先测定空转动架对转轴的转动惯量为J0。求待测刚体对转轴的转动惯量。图3-14以待测刚体和转动架为整体，设待测刚体的转动惯量为J，由绕定轴转动的转动定律可得0TRJJ由细线不可伸长以及m自静止下落，有212hataR上述各式联立求解得220(1)2gtJmRJh从已知数据J0、R、h、t即可算出待测的转动惯量J来。解：隔离物体m，设线中的张力为T，物体m的加速度为a，由牛顿第二定律可得mgTma1.力矩的功sinFrM-----力矩的功第二节刚体定轴转动的动能定理Fdrdsdd(sin)dsinddWFrFsFrMdd(sin)dsinddWFsFsFrMdd(sin)dsinddWFsFsFrMddsin)sin(MWrdFdsFdsFdW合外力矩一、力矩的功与转动动能若力矩是恒量:比较：例题3-8力矩的功就是力的功。例题3-8一根质量为m、长为l的均匀细棒OA，可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动。今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时重力所做的功。解：在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支承力N通过O点，所以支承力N的力矩等于零，重力G的力矩则是变力矩，大小等于mgcosθl/2。当棒转过一个极小的角位移dθ时，重力矩所做的元功是dcos2ddlmgMW重力矩所做的功为2dcos2d2021lmglmgMW重力矩做的功也就是重力做的功。2.转动动能miri设转动角速度为，第i个质元mi的速度为:设系统包括有N个质量元12,,.......,,......,iNmmmmNirrrr.....,.....,,21Ni,......,......,,vvvv21其动能为2k12iiiEmv2212iimr各质量元速度不同，但角速度相同整个刚体的动能为:刚体转动动能比较：平动动能转动动能结论绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半＊刚体的一般运动=质心的平动绕质心的转动+例题一质量为m，半径为R的匀质球体，从倾角为的斜面上距地面h高处无滑动地滚下来，如图3-6所示。试求球体滚到地面时的角速度。hmR解：设球体质心的速率为vc，它绕球体质心的角速度为。由于球体在下滚过程中，只作滚动没有滑动，故摩擦力不做功，所以球体和地球系统的机械能守恒，应有221122CmghmJ由于是纯滚动，则有CR均匀分布的球体对质心轴的转动惯量为225JmR解得1107ghR21222121dd2121JJJMWddJdtdddJdtdJJM22112221dd1122ddddddWMdMJdJJJJtJJt21222111d22ddddMJJJJdtddtdWJJJ212221212121JJdJMd