用初等变换求逆矩阵及矩阵的秩

线性代数1线性代数2本讲内容：阵、用初等行变换求逆矩1、矩阵的秩的概念2的秩、用初等行变换求矩阵3线性代数3本讲要求：矩阵的方法、掌握初等行变换求逆1阵的秩、会用初等行变换求矩2重点难点：初等行变换线性代数4求逆公式可逆时，有且当并，可逆的充要条件是矩阵AAA0AAA11重点回顾线性代数5初等变换称为矩阵的初等行变换矩阵的以下三种变换，交换矩阵的两行).1(),(jirrji两行记作：互换的某一行以一个非零的数乘矩阵).2(个数加到另一行上把矩阵的某一行乘以一).3()(ikrik行记作：乘第数)(ijkrrkij倍记作：行的行加上第在第线性代数6矩阵的初等列变换。成了上述定义也就相应的变，换成把记号中的，列换成行如果把定义中的cr。统称为矩阵的初等变换等列变换矩阵的初等行变换和初线性代数7矩阵等价.:BABABA等价，记为与矩阵就称矩阵，变成经过有限次初等变换后如果矩阵例如：103523812839321310083109321与等价。线性代数8初等矩阵阶初等矩阵。称为到的矩阵，经过一次初等变换所得阶单位阵nEn:定理，则有：设nmijnmaA)(.).1(AmA阶初等矩阵左乘等于用相应的得的矩阵，施行一次初等行变换所对.).2(AnA阶初等矩阵右乘等于用相应的得的矩阵，施行一次初等列变换所对线性代数9:定理：价矩阵可以化为下面形式的等经过若干次初等变换，任意矩阵DaAnmijnm)(0011D行第r列第r)()()()(rnrmrrmrnrrOOOE的等价标准形。称为矩阵矩阵AD线性代数10:1推论使得：阶初等矩阵和阶初等矩阵存在矩阵对任意,,,,,,,,2121tsQQQnPPPmAnmOOOEQQAQPPPrts21121112111211QQQOOOEPPPAtrs上式又可写为由于初等矩阵都可逆，于是得:2推论.nEAn标准形为的等价条件是阶方阵可逆的充分必要A可逆，则左边所有矩阵都可逆，因此D可逆，故det（D）不等于0.线性代数11阵的乘积。可以表示为一些初等矩是它为可逆的充分必要条件阶矩阵An使得并且存在初等矩阵也可逆，可逆，那么由定理可得，如果,,,211kGGGAA:定理kGGGA211AGGGAAk211于是：AGGGEk21即：)1(EGGGAk211)2(1)2()1(AEEA化为施以同样的初等行变换式表示对，化为施以若干次初等行变换式表示对线性代数12).|()|()|(11AEAEEAEAEAA，即最终化为矩阵便是所化成的，同时右半边的化成将左半边的施行初等行变换，，然后对新矩阵充为阵将其扩，我们用一个同阶单位对于可逆矩阵.)|()|(1BABEEA＝，即：初等行变换线性代数13。，用初等行变换求：已知例题13431223211AA解：131232rrrr6205203211030120012123rrrr100520201111012011343122321)(3EA100010001线性代数1410001000111132312523)()1(2123rr111323125231A100020001111563231313225rrrr线性代数15的逆矩阵。练习：求矩阵814312201A解：814312201)(3EA100010001131242rrrr01011020110401200132rr010100201104116001线性代数16)1(2221rrr010100001104116221132rr100010001116104221111610422111A线性代数17阶子式）阶子行列式（或的一个阵阶行列式，称为矩不变，组成一个的相对位置个元素，保持它们原来处的列，位于这些行列相交行、中任取的矩阵，在是一个设定义kkAkkkkAnmA21线性代数181013312221111211103312211一个2阶子式一个3阶子式例2:线性代数191013312221111211103312211一个2阶子式一个3阶子式123:???问题该矩阵有多少个阶子式多少个阶子式多少个阶子式.个阶子式共有的矩阵一般的，knkmCCkAnm线性代数20..)(0102等于零并规定零矩阵的秩的秩，记作称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵，那末于）全等阶子式（如果存在的话，且所有式阶子的中有一个不等于设在矩阵定义ARArADrDkA.)(子式的最高阶数中不等于零的是的秩矩阵AARAnm，对于TA).()(ARART显有线性代数21例3.174532321的秩求矩阵A解中，在A，阶子式只有一个的又AA3.03221，且0A.2)(AR线性代数22例4求矩阵的秩。解因为所以，矩阵A不为零子式的最高阶数至少是2。101331222111A042211线性代数23而A的所有4个三阶子式均为零，即于是，R(A)=2。由定义知，如果矩阵A的秩是R，则A至少有一个r阶子式不为零，而A的所有高于r阶的子式均为零。0013122111011332221101033122110101312211线性代数24定义满足下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵：(1)如果该矩阵有零行，则它们位于矩阵的最下方；(2)非零行的第1个不为零的元素的列标随着行标的递增而严格增大。线性代数25下列矩阵都是阶梯形矩阵：下列矩阵都不是阶梯形矩阵：00000320001032052201A500003002101B520013002011C010000032D显然，阶梯形矩阵的秩等于该矩阵非零行的行数。线性代数26例5.00000340005213023012的秩求矩阵B解行，其非零行有是一个行阶梯形矩阵，3B.4阶子式全为零的所有B,0400230312而.3)(BR线性代数27初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例6．的一个最高阶非零子式秩，并求的求矩阵设AAA,41461351021632305023阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行对A解线性代数2841461351021632305023A0502335102163234146141rr线性代数2941461351021632305023A050233510211340414614241rrrr线性代数30128121601179120113404146141461351021632305023A4241rrrr141332rrrr线性代数318400084000113404146100000840001134041461由阶梯形矩阵有三个非零行可知.3)(AR233rr244rr34rr线性代数32，阶可逆矩阵设An,0A,AA的最高阶非零子式为,)(nAR.,EAEA的标准形为单位阵故.为满秩矩阵，故称可逆矩阵可逆矩阵的秩等于阶数.奇异矩阵为降秩矩阵线性代数33结小.)|()|(1BABEEA＝则，：用初等行变换求逆矩阵.1秩：用初等行变换求矩阵的.2对矩阵施行初等行变换，使之成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.线性代数34