2012届高考数学二轮复习精品课件(江苏专用)专题13 数列通项及求和

专题十三数列通项及求和专题十四等差、等比数列的性质专题十五数列中的等量关系专题十六数列中的不等关系第三单元数列第三单元数列知识网络构建第三单元│知识网络构建考情分析预测第三单元│考情分析预测考向预测回顾2008～2011年的高考题中，数列作为有2个C级要求的章节，是每一年必考的．其中在填空题中，会出现等差、等比数列的基本量的求解问题．在解答题中主要考查等差，等比数列的性质论证问题，只有2009年难度为中档题，其余三年皆为难题．预计在2012年的高考题中，数列的考查变化不大：(1)填空题依然是考查等差、等比数列的基本性质．(2)在解答题中，依然是考查等差、等比数列的综合问题，可能会涉及恒等关系论证和不等关系的论证．第三单元│考情分析预测备考策略数列问题历来是江苏卷压轴题的必考内容，解答题中难度很大，填空题基本上为基础题，所以在今后的复习中需要关注以下几点：1．等差、等比数列的基本量的求解．2．等差、等比数列的性质如等差(比)中项．3．多采取从特殊到一般研究问题的角度．4．恒等问题和不等关系基本论证的训练．第三单元│考情分析预测专题十三数列的通项及求和专题十三数列通项及求和主干知识整合专题十三│主干知识整合1．数列通项求解的方法(1)公式法；(2)根据递推关系求通项公式有：①叠加法；②叠乘法；③转化法．(3)不完全归纳法即从特殊到一般的归纳法；(4)用an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2求解．2．数列求和的基本方法：(1)公式法；(2)分组法；(3)裂项相消法；(4)错位相减法；(5)倒序相加法．要点热点探究专题十三│要点热点探究►探究点一公式法如果所给数列满足等差或者等比数列的定义，则可以求出a1，d或q后，直接代入公式求出an或Sn.专题十三│要点热点探究例1(1)已知正数数列{an}对任意p，q∈N*，都有ap＋q＝ap·aq，若a2＝4，则an＝________.,(2)数列{an}为正项等比数列，若a2＝1，且an＋an＋1＝6an－1(n∈N，n≥2)，则此数列的前n项和Sn＝________.专题十三│要点热点探究(1)2n(2)2n－1－12【解析】(1)由ap＋q＝ap·aq，a2＝4，可得a2＝a21＝4⇒a1＝2，所以ap＋1＝ap·a1，即ap＋1ap＝a1＝2，即数列{an}为等比数列，所以an＝a1·qn－1＝2·2n－1＝2n.(2)设等比数列的公比为q，由an＋an＋1＝6an－1知，当n＝2时，a2＋a3＝6a1.再由数列{an}为正项等比数列，a2＝1，得1＋q＝6q，化简得q2＋q－6＝0，解得q＝－3或q＝2.∵q0，∴q＝2，∴a1＝12，∴Sn＝121－2n1－2＝2n－1－12.专题十三│要点热点探究【点评】这两题都是由“ap＋q＝ap·aq”和“an＋an＋1＝6an－1”推出其他条件来确定基本量，不过第(1)小问中首先要确定该数列的特征，而第(2)小问已经明确是等比数列，代入公式列方程求解即可．专题十三│要点热点探究已知{an}是等差数列，a10＝10，前10项和S10＝70，则其公差d＝________.23【解析】方法一：因为S10＝70，所以10a1＋a102＝70，即a1＋a10＝14.又a10＝10，所以a1＝4，故9d＝10－4＝6，所以d＝23.方法二：由题意得a1＋9d＝10，10a1＋45d＝70，解得a1＝4，d＝23.专题十三│要点热点探究►探究点二根据递推关系式求通项公式如果所给数列递推关系式，不可以用叠加法或叠乘法，在填空题中可以用不完全归纳法进行研究．例2(1)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝5an－133an－7(n∈N*)，则数列{an}的前100项的和为________．(2)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，a2＝2，b1＝2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i＋j＝k＋l时，都有ai＋bj＝ak＋bl，则12010i＝12010(ai＋bi)的值是________．专题十三│要点热点探究(1)200(2)2012【解析】(1)由a1＝2，an＋1＝5an－133an－7(n∈N*)得a2＝5×2－133×2－7＝3，a3＝5×3－133×3－7＝1，a4＝5×1－133×1－7＝2，则{an}是周期为3的数列，所以S100＝(2＋3＋1)×33＋2＝200.(2)由题意得a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5；b1＝2，b2＝3，b3＝4，b4＝5，b5＝6.归纳得an＝n，bn＝n＋1；设cn＝an＋bn，cn＝an＋bn＝n＋n＋1＝2n＋1，则数列{cn}是首项为c1＝3，公差为2的等差数列，问题转化为求数列{cn}的前2010项和的平均数．所以12010i＝12010(ai＋bi)＝12010×2010×3＋40212＝2012.专题十三│要点热点探究【点评】根据数列的递推关系求数列的通项，除了常规的方法外，还可以用不完全归纳法进行研究，如数列周期性的研究．专题十三│要点热点探究►探究点三数阵问题数阵问题主要指的是不仅仅是将数排成一列的数列，而是既有行的排列也有列的排列的数字规律变换的研究．例3所有正奇数如下数表排列(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：第一行1第二行35第三行791113……则第6行中的第3个数是________．专题十三│要点热点探究67【解析】先计算第六行第三个数为正奇数排列的第几个数，由1＋2＋4＋8＋16＋3＝34得所求的数为第34个，所以2×34－1＝67.【点评】数阵问题中第m行的第n个数的研究，需要分两步研究，第一步研究每一行的数变换规律，第二步再研究列的变换规律．本题实为将一个等差数列分成了若干部分进行研究．专题十三│要点热点探究下面的数组均由三个数组成，它们是：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，…，(an，bn，cn)．(1)请写出cn的一个表达式，cn＝________；(2)若数列{cn}的前n项和为Mn，则M10＝________.(用数字作答)专题十三│要点热点探究cn＝n＋2n2101【解析】由1,2,3,4,5，…猜想an＝n；由2,4,8,16,32，…猜想bn＝2n；由每组数都是“前两个之和等于第三个”猜想cn＝n＋2n.从而M10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋22＋…＋210)＝10×10＋12＋2210－12－1＝2101.专题十三│要点热点探究►探究点四数列的特殊求和方法数列的特殊求和方法中以错位相减法较为难掌握，其中通项公式{anbn}的特征为{an}是等差数列，{bn}是等比数列．例4在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a2＝2a1＋3，且3a2，a4,5a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3an，求数列{anbn}的前n项和Sn.专题十三│要点热点探究【解答】(1)设{an}公比为q，由题意得q0，且a2＝2a1＋3，3a2＋5a3＝2a4，即a1q－2＝3，2q2－5q－3＝0，解得a1＝3，q＝3或a1＝－65，q＝－12(舍去)，所以数列{an}的通项公式为an＝3·3n－1＝3n，n∈N*.(2)由(1)可得bn＝log3an＝n，所以anbn＝n·3n.所以Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1.②②－①得，2Sn＝－3－(32＋33＋…＋3n)＋n·3n＋1＝－(3＋32＋33＋…＋3n)＋n·3n＋1，＝－31－3n1－3＋n·3n＋1＝32(1－3n)＋n·3n＋1＝32＋n－123n＋1.所以数列{anbn}的前n项和为Sn＝34＋2n－143n＋1.专题十三│要点热点探究【点评】本题考查等差数列、等比数列的基础知识，第(1)问求数列的通项公式，主要是用解方程组的方法求出首项和公比，注意取舍；第(2)问，求数列的前n项和，主要考查错位相减法．错位相减时要注意各项的位置要错开，还要注意2Sn的左边的系数要处理后，才算求出Sn，最后还需要用n＝1,2进行检验．规律技巧提炼专题十三│规律技巧提炼1．数列通项公式的研究主要是研究相邻项之间的关系，江苏卷对递推关系的考查不多，填空题中出现复杂递推关系时，可以用不完全归纳法研究．在解答题中主要是转化为等差、等比数列的基本量的求解．2．数列求和问题中特殊求和方法在江苏卷的考查也不多，主要还是利用公式法求数列的前n项和，再论证和的性质，故不过多涉及求和的技巧以及项的变形．专题十三│江苏真题剖析例[2008·江苏卷]将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________江苏真题剖析【分析】本题考查了推理能力，但其本质为分组求和．数阵问题中的某一项的求解，需要先求行的规律，再求列的规律．【答案】n2－n＋62【解析】前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即n2－n2个，因此第n行第3个数是全体正整数中第n2－n2＋3个，即为n2－n＋62.专题十三│江苏真题剖析[2010·江苏卷]函数y＝x2(x0)的图象在点(ak，a2k)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.专题十三│江苏真题剖析21【解析】本题考查了导数的几何意义，该知识点在高考考纲中为B级要求．函数y＝x2(x0)在点(16,256)处的切线方程为y－256＝32(x－16)．令y＝0得a2＝8；同理函数y＝x2(x0)在点(8,64)处的切线方程为y－64＝16(x－8)，令y＝0得a3＝4；依次同理求得a4＝2，a5＝1.所以a1＋a3＋a5＝21.