2012届高考数学二轮复习精品课件(江苏专用)专题27 函数与方程思想

专题二十七函数与方程思想专题二十八数形结合思想专题二十九分类与整合思想专题三十转化与化归思想第八单元数学思想方法第八单元数学思想方法知识网络构建第八单元│知识网络构建考情分析预测第八单元│考情分析预测考向预测对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，高考命题是通过数学知识的考查，来反映对数学思想方法的理解和掌握程度．四种数学思想方法是每年高考的必考内容，是高考考查的重点，各种题型都有，难度中等偏上．(1)与函数和方程思想有关的常见题型：①与不等式、方程有关的最值问题；②建立目标函数，求最值或最优解问题；③在含有多个变量的问题中，选择合适的自变量构造函数解题；④实际应用问题，建立函数关系，利用函数性质、导数、不等式性质等知识解答；⑤利用函数思想解决数列中的问题．第八单元│考情分析预测(2)与数形结合思想有关的常见题型：①集合间关系利用韦恩图求解；②以数学公式、数学概念的几何意义、函数图象为载体的综合题，如截距、斜率、距离、导数的几何意义，借助图象求解．(3)与分类与整合思想有关的常见题型：①含有参数的函数性质问题、交点问题；②对由数学概念引起的分类讨论问题，如对指数函数、对数函数的底数的讨论，对一元二次不等式的二次项系数的讨论；③由公式定理引起的讨论问题，如绝对值、等比数列前n项和的计算问题．第八单元│考情分析预测(4)与转化与化归思想有关的常见题型：①未知转化为已知(复杂转化为简单)；②函数与方程的相互转化；③正与反、一般与特殊的转化，即正难则反、特殊化原则；④空间与平面的相互转化；⑤常量与变量的转化；⑥数与形的转化；⑦相等与不等的相互转化；⑧实际问题与数学模型的转化．第八单元│考情分析预测备考策略二轮复习时，要有效地掌握以下几个方面：数学思想与方法是通过数学知识体现的，在复习中，要养成利用数学思想分析问题、思考问题、解答问题的习惯意识．(1)对于函数与方程思想，在解题中要善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数与方程的相互转化的关系是应用函数与方程思想解题的关键．(2)数形结合的实质是把抽象的数学语言和直观的图象语言结合起来，即将代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析问题时，要注意三点：①理解一些概念与运算法则的几何意义以及曲线的代数特征，对题目中的条件和结论既分析其几何意义，又分析其代数意义；②恰当设参、合理用参，建立关系，由形思数，以数想形，做好数形转化；③确定参数的取值范围，参数的范围决定图形的范围．第八单元│考情分析预测(3)分类与整合思想实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．利用好分类与整合思想可以优化解题思路，降低问题难度．复习中要养成分类与整合的习惯，常见的分类情形有：概念分类型，运算需要型，参数变化型，图形变动型．(4)转化与化归思想是高中数学学习中最基本、最重要的思想方法，它无处不在．比如：解不等式时，将分式不等式转化为整式不等式；处理立体几何问题时，将空间的问题转化到一个平面上解决；在解析几何中，通过建立坐标系将几何问题化归为代数问题；复数问题化归为实数问题等．第八单元│近年高考纵览《考试说明》对数学思想做了如下要求：突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查．对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点，注重知识内在联系的考查，注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查．在08－11年的江苏卷中，有着大量的对数学思想运用的考题如08年的填空题的第14题分类讨论及等价转化的思想的运用；09年的第17题的第(2)问函数与方程思想的运用.10年的第11题数形结合思想的运用；11年的第14题数形结合的思想的运用．专题二十七函数与方程思想专题二十七函数与方程思想主干知识整合专题二十七│主干知识整合函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的．函数与方程的思想是中学数学的基本思想，纵观近4年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一．在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题．函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多．专题二十七│主干知识整合函数与方程的思想主要体现在以下几个方面：1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．专题二十七│主干知识整合3.函数与方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0；(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图象与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及二次方程与二次函数的有关理论；(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．要点热点探究专题二十七│要点热点探究►探究点一函数思想的运用在方程、不等式、数列、向量、解析几何等数学问题中，经常会蕴涵着函数关系或比较大小、参数取值范围、最值等问题，此时可以构建函数，运用函数的知识或函数的方法解决问题．专题二十七│要点热点探究例1设数列{an}的前n项积为Tn，Tn＝1－an；数列{bn}的前n项和为Sn，Sn＝1－bn.(1)设cn＝1Tn.①证明数列{cn}为等差数列；②求数列{an}的通项公式；(2)若Tn(nbn＋n－2)≤kn对n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．专题二十七│要点热点探究【解答】(1)①证明：由Tn＝1－an得：Tn＝1－TnTn－1(n≥2)，Tn·Tn－1＝Tn－1－Tn,1＝Tn－1－TnTn·Tn－1＝1Tn－1Tn－1，即cn－cn－1＝1.又T1＝1－a1＝a1，a1＝12，c1＝1T1＝2，所以数列{cn}是以2为首项，1为公差的等差数列．②cn＝c1＋n－1＝2＋n－1＝n＋1，Tn＝1n＋1，an＝TnTn－1＝nn＋1(n≥2)，当n＝1时也符合，故an＝nn＋1.专题二十七│要点热点探究(2)因为Sn＝1－bn，S1＝1－b1＝b1，所以b1＝12，Sn－1＝1－bn－1(n≥2)，Sn－Sn－1＝bn－1－bn,2bn＝bn－1(n≥2)．所以数列{bn}是以12为首项，12为公比的等比数列．所以bn＝b112n－1＝12n.因为Tn(nbn＋n－2)≤kn对n∈N*恒成立，所以Tnbn＋n－2n≤k对n∈N*恒成立，即1n＋1·12n＋n－2nn＋1≤k对n∈N*恒成立．设f(n)＝1n＋1·12n，则f(n＋1)＝1n＋2·12n＋1.专题二十七│要点热点探究因为1n＋1＞1n＋2＞0，12n＞12n＋1＞0，所以f(n)＞f(n＋1)，所以当n∈N*时，f(n)单调递减．设g(n)＝n－2nn＋1，则g(n＋1)＝n－1n＋1n＋2，g(n＋1)－g(n)＝4－nnn＋1n＋2.所以当1≤n＜4时，g(n)单调递增；g(4)＝g(5)；当n≥5时，g(n)单调递减．设L(n)＝f(n)＋g(n)，则L(1)＜L(2)＜L(3)，L(3)＞L(4)＞L(5)＞L(6)＞….所以L(3)最大，且L(3)＝1196.所以实数k的取值范围为1196，＋∞.专题二十七│要点热点探究【点评】数列是定义在N*或其子集上的特殊函数，数列的通项公式和其前n项和都可以构造为关于n的函数，从而用函数思想或函数方法研究、解决问题．本题中将所得函数分成两个部分研究，当n≥5时，f(n)、g(n)均递减，则L(n)递减，前几项只需要一一代入即可明确大小关系．专题二十七│要点热点探究►探究点二方程思想的运用方程思想的运用包含以下几个问题：一将题干中所给的方程进行转化，凸显其隐含条件，从而利用方程的性质解决问题；二是根据题目所给未知量，根据条件列出关于未知数的方程(组)，求出未知数，解决问题．专题二十七│要点热点探究例2设数列{an}的前n项和Sn＝n2，数列{bn}满足bn＝anan＋m(m∈N*)．(1)若b1，b2，b8成等比数列，试求m的值；(2)是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1，b4，bt(t∈N*，t≥5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由．专题二十七│要点热点探究【解答】(1)因为Sn＝n2，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，又当n＝1时，a1＝S1＝1，适合上式，所以an＝2n－1(n∈N*)，所以bn＝2n－12n－1＋m，则b1＝11＋m，b2＝33＋m，b8＝1515＋m，由b22＝b1b8，得33＋m2＝11＋m·1515＋m，解得m＝0(舍)或m＝9，所以m＝9.(2)假设存在m，使得b1，b4，bt(t∈N*，t≥5)成等差数列，即2b4＝b1＋bt，则2×77＋m＝11＋m＋2t－12t－1＋m，化简得t＝7＋36m－5，所以当m－5＝1,2,3,4,6,9,12,18,36时，分别存在t＝43,25,19,16,13,11,10,9,8适合题意，即存在这样的m，且符合题意的m共有9个．专题二十七│要点热点探究【点评】数列中的通项公式和前n项和公式都是方程．三项b1，b2，b8成等比数列，其本质还是求方程b22＝b1b8的解．第二小问中b1，b4，bt是否成等差数列，其本质还是论证二元方程的整数解问题，可以利用整除性来考虑，这在数列问题中屡见不鲜．专题二十七│要点热点探究►探究点三联用函数与方程的思想函数与方程有着密不可分的关系，在解综合问题中，解决一个问题常常不只需要一种数学思想，而是多种思想的联用．它们相互转化使得问题一步步清晰化，常见转化途径有“函数＋方程＋函数”．专题二十七│要点热点探究例3已知函数f(x)＝x2＋ax－lnx，a∈R.(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围；(3)令g(x)＝f(x)－x2，是否存在实数a，当x∈(0，e](e是自然对数的底数)时，函数g(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．专题二十七│要点热点探究【解答】(1)当a＝0时，f(x)＝x2－lnx，所以f′(x)＝2x－1x⇒f′(1)＝1，又f(1)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x－y＝0.(2)因为函数在[1,2]上是减函数，所以f′(x)＝2x＋a－1x＝2x2＋ax－1x≤0在[1,2]上恒成立，令h(x)＝2x2＋ax－1，有h1≤0，h2≤0，得a≤－1，a≤－72，所以a≤－72.专题二十七│要点热点探究(3)假设存在实数a，使g(x)＝ax－lnx在(0，e]上有最小值3，g′(x)＝a－1x＝ax－1x.①当a≤0时，g′(x)0，所以g(