初高中数学衔接：第三讲--含绝对值的不等式的解法

第三讲含绝对值的不等式的解法一、基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。（一）、公式法：即利用ax与ax的解集求解。主要知识：1、绝对值的几何意义：x是指数轴上点x到原点的距离；21xx是指数轴上1x，2x两点间的距离.。2、ax与ax型的不等式的解法。当0a时，不等式x的解集是axaxx或,不等式ax的解集是axax;当0a时，不等式ax的解集是Rxx不等式ax的解集是;3．cbax与cbax型的不等式的解法。把bax看作一个整体时，可化为ax与ax型的不等式来求解。当0c时，不等式cbax的解集是cbaxcbaxx或,不等式cbax的解集是cbaxcx;当0c时，不等式cbax的解集是Rxx不等式cbxa的解集是;例1解不等式32x分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“2x”看着一个整体。答案为51xx。(解略)（二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).aaaaaa去掉绝对值再解。例2．解不等式22xxxx。分析:由绝对值的意义知，aaa≥0，aaa≤0。解:原不等式等价于2xx＜0x(x+2)＜0-2＜x＜0。（三）、平方法:解()()fxgx型不等式。例3、解不等式123xx。二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。例4解不等式125xx。分析:由01x，02x，得1x和2x。2和1把实数集合分成三个区间，即2x，12x，1x，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集;(2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值。三、几何法：即转化为几何知识求解。例5对任何实数x，若不等式12xxk恒成立，则实数k的取值范围为()(A)k3(B)k-3(C)k≤3(D)k≤-3分析:设12yxx，则原式对任意实数x恒成立的充要条件是minky，于是题转化为求y的最小值。解:1x、2x的几何意义分别为数轴上点x到-1和2的距离1x-2x的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3，故选（B）。四、典型题型1、解关于x的不等式10832xx解：原不等式等价于1083102xx，即1083108322xxxx3621xxx或∴原不等式的解集为)3,1()2,6(2、解关于x的不等式2321x解：原不等式等价于2132032xx474523xx3、解关于x的不等式212xx4、解关于x的不等式1212mx)(Rm解：⑴当012m时，即21m，因012x，故原不等式的解集是空集。⑵当012m时，即21m，原不等式等价于1212)12(mxm解得：mxm1综上，当21m时，原不等式解集为空集;当21m时，不等式解集为mxmx15、解关于x的不等式1312xxx6、解关于x的不等式521xx（答案：),2[]3,(）五、巩固练习1、设函数)2(,312)(fxxxf则＝;若2)(xf，则x的取值范围是.2、已知aR，若关于x的方程2104xxaa有实根，则a的取值范围是．3、不等式121xx的实数解为．4、解下列不等式⑴4321xx；⑵|2||1|xx；⑶|21||2|4xx；⑷4|23|7x；⑸241x；⑹aax2（aR）5、若不等式62ax的解集为1,2，则实数a等于（）.A8.B2.C4.D86、若xR，则110xx的解集是（）.A01xx.B{0xx且1}x.C11xx.D{1xx且1}x7、1对任意实数x，|1||2|xxa恒成立，则a的取值范围是；2对任意实数x，|1||3|xxa恒成立，则a的取值范围是；3若关于x的不等式|4||3|xxa的解集不是空集，则a的取值范围是；8、不等式xx3102的解集为（）.A|210xx.B|25xx.C|25xx.D|105xx9、解不等式：221xx10、方程xxxxxx323222的解集为，不等式xxxx22的解集是；11、不等式3529x的解集是.A,27,.B1,4.C2,14,7.D2,14,712、已知不等式ax2)0(a的解集为cxRx1|，求ca2的值13、解关于x的不等式：①解关于x的不等式31mx；②ax132)(Ra14、不等式1|1|3x的解集为（）..A(0,2).B(2,0)(2,4).C(4,0).D(4,2)(0,2)15、设集合22,AxxxR，21,2xxyyB，则RCAB等于().AR.B,0xxRx.C0.D16、不等式211xx的解集是．17、设全集UR，解关于x的不等式：110xaxR（参考答案）1、6；；2、]4,0[3、)23,2()2,(4、⑴231xxx或⑵21xx⑶121xxx或⑷527212xxx或⑸7315xxx或⑹当0a时，axax22；当0a时，不等式的解集为5、C6、D7、⑴3a；⑵4a；⑶7a；8、C9、2521xaxx或10、023xxx或；02xxx或11、D12、1514、D15、B16、0(，)217、当01a，即1a时，不等式的解集为axaxx2或；当01a，即1a时，不等式的解集为1xx；当01a，即1a时，不等式的解集为R；