基本和常用逻辑运算

1.1.1基本和常用逻辑运算一、三种基本逻辑运算1.与逻辑：当决定一事件的所有条件都具备时，事件才发生的逻辑关系。功能表1.1基本概念、公式和定理灭灭灭亮断断断合合断合合与逻辑关系开关A开关B灯Y电源ABY真值表（Truthtable）逻辑函数式与门（ANDgate)逻辑符号与逻辑的表示方法：ABY&000100011011ABBAY功能表灭灭灭亮断断断合合断合合ABYABY2.或逻辑：决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，事件就会发生的逻辑关系。BAY或门（ORgate)或逻辑关系开关A开关B灯Y电源真值表逻辑函数式逻辑符号011100011011ABYABY≥13.非逻辑：只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备，事件一定发生的逻辑关系。真值表逻辑函数式AY逻辑符号非门（NOTgate)非逻辑关系1001AY1开关A灯Y电源RAY二、逻辑变量与逻辑函数及常用复合逻辑运算1.逻辑变量与逻辑函数在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值不是1就是0。逻辑函数：如果输入逻辑变量A、B、C∙∙∙的取值确定之后，输出逻辑变量Y的值也被唯一确定，则称Y是A、B、C∙∙∙的逻辑函数。并记作CBAFY,,原变量和反变量：字母上面无反号的称为原变量，有反号的叫做反变量。逻辑变量：(1)与非逻辑(NAND)(2)或非逻辑(NOR)(3)与或非逻辑(AND–OR–INVERT)(真值表略)1110ABY100011011CDABY3AB&1YBAY210002.几种常用复合逻辑运算ABY1Y2Y1、Y2的真值表AB2Y≥1AB&CD3Y≥1(4)异或逻辑(Exclusive—OR)(5)同或逻辑(Exclusive—NOR)(异或非)AB=14YBABABAY4011000011011AB=15YBAY5=A⊙BABY4ABBA100100011011ABY53.逻辑符号对照曾用符号美国符号ABYABYABYAYAY国标符号AB&BAYA1AYABYABBAY≥1国标符号曾用符号美国符号AB&BAYABYABYABYAB=1BAYABYABYABYABBAY≥1或：0+0=01+0=11+1=1与：0·0=00·1=01·1=1非：1001二、变量和常量的关系(变量：A、B、C…)或：A+0=AA+1=1与:A·0=0A·1=A非：0AAAA11.1.2公式和定理一、常量之间的关系(常量：0和1)三、与普通代数相似的定理交换律ABBAABBA结合律)()(CBACBA)()(CBACBA分配律ACABCBA)()()(CABABCA[例1.1.1]证明公式))((CABABCA[解]方法一：公式法CBBACAAACABA))((右式BCABACABCBCA)1(左式BCA证明公式))((CABABCA方法二：真值表法(将变量的各种取值代入等式两边，进行计算并填入表中)ABCCBBCABACA))((CABA0000010100111001011101110001000100011111000111110011111101011111相等四、逻辑代数的一些特殊定理BABABABA同一律A+A=AA·A=A还原律AA[例1.1.2]证明：德摩根定理AB00011011BABA00011110ABBA110010101110BABABA011110001000相等相等德摩根定理将Y式中“.‖换成“+‖,―+‖换成“.‖―0‖换成“1‖,―1‖换成“0‖原变量换成反变量，反变量换成原变量五、关于等式的三个规则1.代入规则：等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。例如，已知BABA(用函数A+C代替A)则BCABCABCA)(2.反演规则：不属于单个变量上的反号应保留不变运算顺序：括号乘加注意:Y例如：已知)(1CDCBAY)()(1DCCBAYCDCBAY2CDCBAY)(2反演规则的应用：求逻辑函数的反函数则将Y式中“.‖换成“+‖,―+‖换成“.‖―0‖换成“1‖,―1‖换成“0‖原变量换成反变量，反变量换成原变量已知则运算顺序：括号与或不属于单个变量上的反号应保留不变Y3.对偶规则：如果两个表达式相等，则它们的对偶式也一定相等。将Y中“.‖换成“+‖,―+‖换成“.‖―0‖换成“1‖,―1‖换成“0‖)()(1DCBCAY)(1CDCBAYCDCBAY2CDCBAY)(2例如对偶规则的应用：证明等式成立0·0=01+1=10AAAA1)(对偶式Y运算顺序：括号与或六、若干常用公式BAAB(1)ABA(2)BAA(3)CAABBCCAAB(4)ABBABABA(5)CAAB(6)AAA)()(BBA)1(BA))((BAAA))((CABAAABACABA推广BCAACAAB)(左BCAABCCAABCAAB公式(4)证明：CAABBCDCAAB推论ABBABABABABA左)()(BABABBABBAAAABBA公式(5)证明：即BA=A⊙B同理可证CAABBCCAABAABABAA⊙B七、关于异或运算的一些公式异或同或BABABABAABA⊙B(1)交换律ABBA(2)结合律)()(CBACBA(3)分配律)(ACABCBA(4)常量和变量的异或运算AA1AA00AA1AA(5)因果互换律如果CBABCA则有ACBBA=A⊙BBAA⊙B