26极限计算方法总结

1极限计算方法总结《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：)0,(0limabaanbn为常数且；5)13(lim2xx；时当不存在，时当，1||1||0limqqqnn；等等（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2．极限运算法则定理1已知)(limxf，)(limxg都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）BAxgxf)]()(lim[（2）BAxgxf)()(lim（3）)0(,)()(lim成立此时需BBAxgxf说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3．两个重要极限（1）1sinlim0xxx（2）exxx10)1(lim；exxx)11(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，2作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。例如：133sinlim0xxx，exxx210)21(lim，exxx3)31(lim；等等。4．等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3当0x时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x～xsin～xtan～xarcsin～xarctan～)1ln(x～1xe。说明：当上面每个函数中的自变量x换成)(xg时（0)(xg），仍有上面的等价关系成立，例如：当0x时，13xe～x3；)1ln(2x～2x。定理4如果函数)(),(),(),(11xgxfxgxf都是0xx时的无穷小，且)(xf～)(1xf，)(xg～)(1xg，则当)()(lim110xgxfxx存在时，)()(lim0xgxfxx也存在且等于)(xf)()(lim110xgxfxx，即)()(lim0xgxfxx=)()(lim110xgxfxx。5．洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(xf和)(xg满足：（1）)(xf和)(xg的极限都是0或都是无穷大；（2）)(xf和)(xg都可导，且)(xg的导数不为0；（3）)()(limxgxf存在（或是无穷大）；则极限)()(limxgxf也一定存在，且等于)()(limxgxf，即)()(limxgxf=)()(limxgxf。说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“00”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。6．连续性3定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果0x是函数)(xf的定义去间内的一点，则有)()(lim00xfxfxx。7．极限存在准则定理7（准则1）单调有界数列必有极限。定理8（准则2）已知}{,}{,}{nnnzyx为三个数列，且满足：（1）),3,2,1(,nzxynnn（2）aynnlim，aznnlim则极限nnxlim一定存在，且极限值也是a，即axnnlim。二、求极限方法举例1．用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例11213lim1xxx解：原式=43)213)(1(33lim)213)(1(2)13(lim1221xxxxxxxx。注：本题也可以用洛比达法则。例2)12(limnnnn解：原式=2311213lim12)]1()2[(limnnnnnnnnnn分子分母同除以。例3nnnnn323)1(lim解：原式11)32(1)31(lim3nnnn上下同除以。2．利用函数的连续性（定理6）求极限例4xxex122lim4解：因为20x是函数xexxf12)(的一个连续点，所以原式=ee42212。3．利用两个重要极限求极限例5203cos1limxxx解：原式=61)2(122sin2lim32sin2lim220220xxxxxx。注：本题也可以用洛比达法则。例6xxx20)sin31(lim解：原式=6sin6sin310sin6sin310])sin31[(lim)sin31(limexxxxxxxxxx。例7nnnn)12(lim解：原式=313311331])131[(lim)131(limennnnnnnnnn。4．利用定理2求极限例8xxx1sinlim20解：原式=0（定理2的结果）。5．利用等价无穷小代换（定理4）求极限例9)arctan()31ln(lim20xxxx解：)31ln(0xx时，～x3，)arctan(2x～2x，原式=33lim20xxxx。5例10xxeexxxsinlimsin0解：原式=1sin)sin(limsin)1(limsin0sinsin0xxxxexxeexxxxxx。注：下面的解法是错误的：原式=1sinsinlimsin)1()1(lim0sin0xxxxxxeexxxx。正如下面例题解法错误一样：0limsintanlim3030xxxxxxxx。例11xxxxsin)1sintan(lim20解：等价与是无穷小，时，当xxxxxxx1sin)1sintan(1sin0222，所以，原式=01sinlim1sinlim020xxxxxxx。（最后一步用到定理2）6．利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。例12203cos1limxxx（例4）解：原式=616sinlim0xxx。（最后一步用到了重要极限）例1312coslim1xxx解：原式=212sin2lim1xx。6例1430sinlimxxxx解：原式=203cos1limxxx=616sinlim0xxx。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）例15xxxxxxsincossinlim20解：313sinlim3)sin(coscoslimcossinlim202020xxxxxxxxxxxxxxxx原式例18])1ln(11[lim0xxx解：错误解法：原式=0]11[lim0xxx。正确解法：。原式21)1(2lim2111lim)1ln(lim)1ln()1ln(lim0000xxxxxxxxxxxxxxxxx应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19xxxxxcos3sin2lim解：易见：该极限是“00”型，但用洛比达法则后得到：xxxsin3cos21lim，此极限不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：原式=xxxxxcos3sin21lim（分子、分母同时除以x）=31（利用定理1和定理2）77．利用极限存在准则求极限例20已知),2,1(,2,211nxxxnn，求nnxlim解：易证：数列}{nx单调递增，且有界（0nx2），由准则1极限nnxlim存在，设axnnlim。对已知的递推公式nnxx21两边求极限，得：aa2，解得：2a或1a（不合题意，舍去）所以2limnnx。例21)12111(lim222nnnnn解：易见：11211122222nnnnnnnnn因为1lim2nnnn，11lim2nnn所以由准则2得：1)12111(lim222nnnnn。上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于不常用，这里不作介绍。极限与连续的62个典型习题习题1设miai,,2,1,0，求nnmnnnaaa121)(lim.解记},,,max{21maaaa，则有aaaaannnnmnn1121)()(，aanlim.另一方面nnnnnmnnmamaaaa11121)()()(.因为1)lim(lim11nnnnmm，故amann1lim.利用两边夹定理，知8aaaannmnnn121)(lim，其中},,max{21maaaa.例如9)9531(lim1nnnnn.习题2求)2211(lim222nnnnnnnnn.解nnnnnnnnnnnn22222211211212nnn,即nnnnnnnnnnnn22222211)2(2)1()1(2)1(2nnnn214211lim421lim)2(2)1(lim2nnnnnnnnnnn.2122211lim)1(2)1(lim22nnnnnnnnn.利用两边夹定理知21)2211(lim222nnnnnnnnn.习题3求nnnn))1(1321211(lim.解nnnn))1(1321211(limnnnn))111()3121()211((lim1)1()111(lim)111(limnnnnnn11)111()111(limnnnn11)1()111(lim]))1(11([limnnnnn111ee习题4求),(11lim1Nnmxxmnx.解（变量替换法）令mnxt，则当1x时，.1t于是,原式nmttttttttttnmtnmt)1)(1()1)(1(lim11lim121211.9习题5求xxxx)1(lim.解（变量替换法）令txtx,,，原式tttttttttt)11(lim)1(lim22tttt])11()11[(lim11ttttt)11()11(lim101eee.习题6求xxxxesin10)23(lim(1型)。为了利用重要极限，对原式变形xxxeexxxoxxxoxxxoxxxxexxexxxesin12112sin1sin1])211[(lim)212(lim)23(lim122sin1212])211[(limeexexxxxxexxxoxx习题7求20211limxxxx