杨洪高等数学竞赛培训

2012年大学生数学竞赛培训之一第一讲函数、极限和连续主讲杨洪一、求极限问题二、导数、高阶导数的计算三、导数的应用四、微分中值定理一、求极限问题1、函数极限2、数列极限◆L-Hospital法则◆Heine原理-将数列极限转换为函数极限◆等价无穷小替换及Taylor公式◆两个重要极限◆其它：利用导数的定义、微分中值定理等◆极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理◆利用定积分的概念◆利用收敛级数的性质1、函数极限◆L-Hospital法则型00,1,0型型0型00型0101000000取对数xexxx10)1(lim●xxy1)1()1ln(1lnxxy2)1ln(11xxxxyy2)1ln()1(1xxxx])1ln()1(1[)1(lim210xxxxxxx])1ln()1(1[lim20xxxxex)1()1ln()1(lim20xxxxxex22)1ln(lim0exxex1再次使用洛必达法则是求不定型的一种有效方法,但要注意：1、求极限过程中，若某个因子的极限已知，则可先提出已知极限；2、求极限过程中，可以与其他方法如等价无穷小替换、Taylor公式结合使用，效果更好，但小心使用；3、求极限过程中，可连续使用洛必达法则，直至求出不定型的极限；4、后面将有例题说明在求不定型过程中，不是必须使用洛必达法则才行。)]11ln([lim2xxxx●,1xt0tx])1ln(1[lim20tttt20)1ln(limtttt21ttt2111lim0)1(21lim0ttxxxex110])1([lim●exxxx10)1(ln1lim211)1ln(1lim0xxxx故原式21e先取对数◆等价无穷小替换及Taylor公式)(!!212nnxxonxxxe0,~1xxex)()!12()1(!5!3sin121253nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx常用的带Peano型余项Taylor公式)(1)1(32)1ln(1132nnnxonxxxxx)(!)1()1(!2)1(1)1(2nnxoxnnxxx)(1112nnxoxxxx,0时当x221~cos1,~sinxxxx,~arcsinxx,~arctanxx,~tanxxxxxx~1)1(,~)1ln()cos1(tansintanxxxx321~x常见的等价无穷小替换难点：Taylor公式展开的阶数与等价无穷小替换的条件xexxx10)1(lim●xeexxx)1ln(10limxeexxx]1[lim1)1ln(10xxxex1)1ln(1lim020)1ln(limxxxex2220)(2limxxxoxxex2e3330)(!3lim2xxxoxxxxxxxcos110)sin(lim●xxxxsinlncos11lim02)]1sin(1ln[lim20xxxx原式31e21sinlim20xxxx3130sinlim2xxxx掌握等价无穷小替换与Taylor公式的使用220cos1sin)1ln(limxxxxx●)(2)1ln(22xoxxx另一方面)(!3sin33xoxxx)(2sin)1ln(22xoxxx)(!2)121(212114422xoxxx)(!21cos442xoxx)(2cos12222xoxxx原式1)(2)(2lim22220xoxxoxx)211(lim23xxxxx●xxx111))1(1!2)121(211211(22xoxxxxxx111))1(1!2)121(211211(22xoxxx原式)1(1412112323xoxxxx41)]1(141[lim232323xoxxx●____0tannxeexnxx则是同阶无穷小，与时，设xxeeeexxxxxtan~]1[tantan提示：,0x)cos(sinsectanxxxxxx)(!3cossin33xoxxxxx)](!21[22xoxx1sinlim0xxxexxx)11(limexxx10)1(lim◆两个重要极限111202)sin1(limxxxxe提示：1212sin22])sin1[()sin1(sin121112xxxexxexxxxexe注意到221lim11sinlim220220xxexxexxxx●2e原式◆其它：利用导数的定义、微分中值定理等●则处可导，且在若函数,1)1(1)(fxxfxxxxxxffffxxfexxfx10310))(1(lim)2();0(),0(),0()1(,0)(,))(1lim求的邻域内有二阶导数在且（已知极限●xxfxfxfx)tan31(2)sin21()1(lim0●xxxxxxffffxxfexxfx10310))(1(lim)2();0(),0(),0()1(,0)(,))(1lim求的邻域内有二阶导数在且（已知极限分析：利用重要极限可知0))((lim0xxfxx0)0(,0)0(ff0)(lim)(lim00xxfxxfxx220)(lim3xxfxxxxfxx2)(2lim0xxxfxxfxxxxxfxe1)()(20322))(1(lim4)0(fxxxfxfxxxxxxfxxf1)()(010))(1(lim))(1(lim2e22)(lim0xxfx●xxxxsin)sin2()tan2(lim10100,)2(10)(,)2()(910xxfxxf设利用Lagrange中值定理知1010)sin2()tan2(xx)sin(tan)2(109xxx故原式xxxxxsin)sin(tan)2(10lim90102102、数列极限◆极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理◆利用定积分的概念◆利用收敛级数的性质◆Heine原理-将数列极限转换为函数极限◆Heine原理.)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax则有时的一个子列当是数列若2)1tan(limnnnn●21)tan(lim0xxxx21tan])tan1(lim[tan0xxxxxxxxxxx30tanlimxxxx31故原式31e)121ln(1lim0xxxbaxnnnnba)2(lim●xxxxba10)2(lim2ln1lim0xxxbax故原式先取对数221lim0xxxbax2lnlnlim0bbaaxxxablnab洛必达法则}{na讨论数列的敛散性，并且如果收敛的话，求极限值(1)设11a2,1,111naann(2)设0na2,1,3421naann●◆极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理11a,212a分析:(1),323a,534a,323a,534a,855a,1386a猜测本身不具有单调性，但易知}{na}{}{1-22单减单增，nnaa12211nnaa221111na222221nnaa,212a,534a42aa则有假设对某个,,222kkaak2222221kkkaaakkkaaa222221单增结合函数xx21222kkaa有由数学归纳法知单增，}{2na}{1-2单减同理：na由此可见和都存在，nna2lim12limnna且极限值是方程的正根xxx21215limnna2143nnaa分析:(2))422(31121nnnaaa321422nnnaaa3212nnaa单增，}{na30na且根据单调有界原理知数列有极限，不妨设}{naaannlim两边取极限对2143nnaa243aa2422aaa3422332aaa，等号成立当且仅当242aa2a的连续性讨论的表达式；求)()2()()1()0()ln(lim)(xfxfxnxexfnnnnnnnexeeex20时，当nnnxenn2ln)ln(1nnnnexee2ln)ln(ln●nnnnxxexex2时，当nxnnxexnnln2ln)ln(lnnnnnxxex2ln)ln(lnexxexxf,ln0,1)(◆利用定积分的概念iinibaxfdxxf)(lim)(101,1,0,,2,1,,－或等分，即通常情况下，积分区间ninabianinabianabxiii特别地nnifdxxfnin1)(lim)(110限值。化为定积分，并求该极将和式极限)1()21()11(lnlim222nnnnnn10)1ln(2dxx原式nninin2)1ln(lim1nnnnnnnn222)1()21()11ln(lim22ln4●).12111(lim222nnnnn求,11112222nnnnnnnn由夹逼定理得.1)12111(lim222nnnnnknnkn211lim●●______11lim,11sin)2(11sin}{1nkknnnxnnnxnnx则满足设11sin)2(11sinnnxnnnnkknnkknnkknxnxnnnxn1111lim11lim11limnnxlim11sin)1(1211sin)1(1nnnnxnnnnn1由Stolz定理的推论◆利用收敛级数的性质1nnu收敛.0limnnu级数收敛的必要条件:●nnnn!lim提示：考虑级数1!nnnn利用比值判别法可知该级数收敛211sin)1(lim)1(nknknkn首届全国大学生数学竞赛决赛试题一、计算下列各题（共20分，每题各5分，要求写出重要步骤）abV（3）现要设计一个容积为的一个圆柱体的容器。已知上下两底的材料费为单位面积元，而侧面的材料费为单位面积元。试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少。))11((lim)1(ennnn二、（10分）求下列极限0,0,0,)3(lim)2(111cbacbannnnn其中xxxxxfffxxxfxtan)cos(sinlim,2)1(,0)1(11)(10220求可导，点点附近有定义，且在在分）设三、（))11((lim)1(ennnn法一：))11((limennnnnennn1)11(limxexxx10)1(lim2e法二：nn)11()11(lnnne)]1()1(211[22nonnne)]1(211none