一轮复习--定积分与微积分基本定理

定积分与微积分基本定理1．定积分的定义一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式i＝1nf(ξi)Δx＝i＝1nb－anf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作_______.abf(x)dx2．定积分的相关概念在abf(x)dx中，a与b分别叫做与，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做，x叫做积分变量，________叫做被积式．3．定积分的性质(1)abkf(x)dx＝_________(k为常数)；(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝；(3)abf(x)dx＝(其中acb)．积分下限积分上限被积函数f(x)dxkabf(x)dxabf1(x)dx±abf2(x)dxacf(x)dx＋cbf(x)dx•(3)定积分的几何意义：f(x)abf(x)dx的几何意义f(x)≥0表示由直线__________，__________，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积f(x)0表示由直线__________，__________，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x)在[a，b]上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积x＝ax＝bx＝ax＝b•3．定积分的应用•(1)定积分与曲边梯形面积的关系：设阴影部分的面积为S.①S＝abf(x)dx.②S＝_____________.③S＝___________________.④S＝abf(x)dx－abg(x)dx＝ab[f(x)－g(x)]dx.－abf(x)dxacf(x)dx－cbf(x)dx4．微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，我们常常把记为F(x)|ba，即abf(x)dx＝F(x)|ba＝.F(b)－F(a)F(b)－F(a)F(b)－F(a)利用微积分基本定理求定积分[例1]计算下列定积分：(1)01(－x2＋2x)dx；(2)0π(sinx－cosx)dx；[解](1)01(－x2＋2x)dx＝01(－x2)dx＋012xdx＝－13x310＋x2|10＝－13＋1＝23.(2)0π(sinx－cosx)dx＝0πsinxdx－0πcosxdx＝(－cosx)|π0－sinx|π0＝2.3．定积分01(2x＋ex)dx的值为()A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1C[解析]01(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)10＝(1＋e)－(0＋e0)＝e.因此选C．4．已知f(x)＝x3＋sinx，则－11f(x)dx的值为()A．2(1＋sin1)B．－2－2sin1C．0D．2[解析]∵f(x)为奇函数，∴－11f(x)dx＝0.C[解]201－sin2xdx＝20|sinx－cosx|dx＝40(cosx－sinx)dx＋24(sinx－cosx)dx＝(sinx＋cosx)π400＋(－cosx－sinx)π2π4＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.(4)201－sin2xdx.[方法技巧]利用微积分基本定理求定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分．(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值．(5)计算原始定积分的值．1．20sin2x2dx＝()A．0B．π4－12C．π4－14D．π4－1解析：20sin2x2dx＝201－cosx2dx＝12x－12sinxπ20＝π4－12.答案：B对应演练2.设f(x)＝x2，x∈[0，1]，1x，x∈1，e](其中e为自然对数的底数)，则0ef(x)dx的值为()A.43B．2C．1D.23解析：根据定积分的性质，可知0ef(x)dx可以分为两段，则0ef(x)dx＝01x2dx＋1e1xdx＝13x310＋lnxe0＝13＋1＝43.答案：A利用定积分的几何意义求定积分[例2]利用定积分的几何意义计算下列定积分：(1)011－x－12dx；[解]根据定积分的几何意义，可知011－x－12dx表示的是圆(x－1)2＋y2＝1的面积的14(如图所示的阴影部分)．故011－x－12dx＝π4.[解]5－5(3x3＋4sinx)dx表示直线x＝－5，x＝5，y＝0和曲线y＝3x3＋4sinx所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号．设y＝f(x)＝3x3＋4sinx，则f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)＝－(3x3＋4sinx)＝－f(x)，又f(0)＝0，所以f(x)＝3x3＋4sinx在[－5,5]上是奇函数，所以0－5(3x3＋4sinx)dx＝－05(3x3＋4sinx)dx，所以5－5(3x3＋4sinx)dx＝0－5(3x3＋4sinx)dx＋05(3x3＋4sinx)dx＝0.(2)5－5(3x3＋4sinx)dx.[方法技巧]1．利用定积分几何意义求定积分的策略当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，利用定积分的几何意义求定积分．2．两个常用结论设函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则由定积分的几何意义和奇、偶函数图象的对称性可得两个结论：(1)若f(x)是偶函数，则a－af(x)dx＝20af(x)dx；(2)若f(x)是奇函数，则a－af(x)dx＝0.1.12－x2＋4x－3dx＝________.解析：根据定积分的几何意义，可知12－x2＋4x－3dx表示圆(x－2)2＋y2＝1与x＝1，x＝2及y＝0所围成的圆的面积的14，即12－x2＋4x－3dx＝π4.答案：π4对应演练2.－11[1－x2－sinx]dx＝________.解析：令1－x2＝y，则x2＋y2＝1(y≥0)，该方程表示以(0,0)为圆心，1为半径的圆的一半．所以－111－x2dx表示圆x2＋y2＝1与x轴所围成的上半圆的面积，因此－11－11－x2dx＝π2.又因为－11sinxdx＝(－cosx)1－1＝－cos1－[－cos(－1)]＝0，所以1－1[1－x2－sinx]dx＝π2.答案：π2突破点(二)定积分的应用利用定积分求平面图形的面积[例1]由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A.103B．4C.163D．6[解析]作出曲线y＝x和直线y＝x－2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由y＝x，y＝x－2得交点A(4,2)．因此y＝x与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为04x－x－2dx＝04x－x＋2dx＝23x32－12x2＋2x40＝23×8－12×16＋2×4＝163.[答案]C[方法技巧]利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案．解析：如图所示，由x2－1＝0，得抛物线与x轴的交点分别为(－1，0)和(1,0)．所以S＝02|x2－1|dx＝01(1－x2)dx＋12(x2－1)dx＝x－x3310＋x33－x21＝1－13＋83－2－13－1＝2.答案：21．由抛物线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2及x轴围成的图形面积为________．对应演练2.求曲线y＝x－2与x＝y2围成的平面区域的面积．【思路点拨】先将区域面积表示成若干个定积分的和或差，再运用牛顿—莱布尼兹公式计算．对应演练3.在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定点t的值，使图4－5－4中阴影部分的面积S1与S2之和最小．图4－5－4解：S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－0tx2dx＝23t3.S2的面积等于曲线y＝x2与x轴、x＝t，x＝1围成的面积减去矩形面积，矩形边长分别为t2、(1－t)，即S2＝1tx2dx－t2(1－t)＝23t3－t2＋13.所以阴影部分的面积S为S＝S1＋S2＝43t3－t2＋13(0≤t≤1)．∵S′(t)＝4t2－2t＝4tt－12＝0时，得t＝0或t＝12.当t＝12时，S最小，∴最小值为S12＝14.