第三节(泰勒级数展开)

1泰勒级数节第3幂级数之和在收敛圆内部为解析函数.在实数域中，任意阶导数都存在的实变函数可以展开为泰勒级数，而解析函数的任意阶导数都存在，自然可以期望把解析函数展开为复变项的泰勒级数。定理：设f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析，则对圆内的任意z点f(z)可展为幂级数00)()(kkkzzazf其中1!)()()(210)(10RCkkkkzfdzfia1RC为圆CR内包含z且与CR同心的圆。一、解析函数以幂级数展开问题2RC1RC0zzz0z证明：如图，为避免涉及在圆周CR上级数的收敛或者发散问题，作比CR小，但包含z且与CR同心的圆周1RC应用柯西公式得1)(21)(RCdzfizf下面我们把展开为幂级数，且展开式以z0为中心，)/(1z00000111)()(11zzzzzzzz右边第二个式子可得)1|(|11......12tttttk1...111002000000zzzzzzzzzzzz代入（1）可得（1）301000000)()()()(11kkkkkkzzzzzzzz1)(21)(RCdzfizf代入然后逐项积分可得01001)()(21)()(kCkkRdzfizzzf根据柯西公式lndzfinzf1(n))()(2!)(上式就是以z0为中心的泰勒级数)()(!)()(0000)(Rzzzzkzfzfkkk下面证明以上得到的泰勒级数是唯一的4如果另有一个以z0为中心的不同于上面的泰勒级数zzazfkkk00)()(则有...)(!2)()(!1)()(...)()(200000202010zzzfzzzfzfzzazzaa令z＝z0，得)(00zfa然后求导一次，令z＝z0，可得!1)(01zfa然后求导一次，令z＝z0，可得!2)(02zfa依次进行下去，可得到与前完全一样的展开式，这样就证明了解析函数可以展开为唯一的泰勒级数，泰勒级数与解析函数有密切的关系。5例1在z0＝0的邻域上把展开zezf)(解：zezf)(函数的各阶导数zkezf)()(并且有1)0()()(0)(kkfzf由此可以写出在z0＝0的邻域上的泰勒级数ze032!...!...!3!2!11kkkzkzkzzzze||lim1kkkaaR由可知泰勒级数的收敛半径为无限大，只要z是有限的，则泰勒级数就是收敛的！例2在z0＝0的邻域上把展开zzfzzfcos)(,sin)(21解：zzfsin)(1的前四阶导数是zzfzzfsin)(,cos)(11)(sin)(,cos1)4(1)3(1zfzzfzf往后依次重复二、解析函数展为泰勒级数举例：6在z0＝0处，f1(z)和前四阶导数的值是1)0(,0)0(11ff0)0(,1)0(,0)0()4(1)3(11fff由此可以写出sinz在z0＝0的邻域上的泰勒级数...!7!5!3!1sin753zzzzz同样也可求得其收敛半径为无限大！同理可求得cosz在z0＝0的邻域上的泰勒级数为...!6!4!21cos642zzzz可求得其收敛半径为无限大！7例3在z0＝1的邻域上把展开zzfln)(解：多值函数f(z)＝lnz的支点在,0z而现在的展开中心z0＝1不是支点，在它的邻域上，各个单值分支相互独立，各自是一个单值函数，可按照单值函数的展开方法加以展开。展开系数计算如下：fzzffzzffzzffzzfZninfzzf!3)1(,!3)(!2)1(,!2)(1)1(!1)(1)1(,1)()(21ln)1(,ln)()4(4)4()3(3)3(2，由泰勒展开的公式我们可以写出lnz在z0＝1的邻域上的泰勒级数如下：8...4)1(3)1(2)1()1(2...)1(!4!3)1(!3!2)1(!2!1)1(!111lnln432432zzzzinzzzzz同时可求得其收敛半径为1，则有11-z...4)1(3)1(2)1()1(2ln432zzzzinz在上述展开式中，n＝0的那个单值分支叫做lnz的主值例4在z0＝0的邻域上把展开mzzf)1()(解：（m不是整数）先计算展开系数mmmmmfzfzmzmzffzzf1)0(),(1)1()(1)0(,)1()(19mmmmfzfzmmxmmzf1)1()0()()1()1()1)(1()(21，......1)2)(1()0()()1()2)(1()()3(3)3(mmmfzfzmmmzfm，由此我们可以写出在z0＝0的邻域上的泰勒级数mz)1(...!3)2)(1(!2)1(!111...1!3)2)(1(1!2)1(1!11)1(3232zmmmzmmzmzmmmzmmzmzmmmmmm可求得收敛半径为1，由此可得1...!3)2)(1(!2)1(!111)1(32zzmmmzmmzmzmm101...!3)2)(1(!2)1(!111)1(32zzmmmzmmzmzmm其中)()(122Zneeimnminm这许多单值分支中，n＝0，即1m＝1的这个分支叫做主值同时也是指数为非整数的二项式定理11zsinieeiziz20021nnnn!niz!nizi!nz!z!zznn121531253.112的幂级数展开成把函数例zz解,zzz11112上有一个奇点在.z内处处解析而它在1.zz的幂级数内可展开成它在1111121z,zzzznn:上式逐项求导11321111122z,nzzzznn12.01ln处的泰勒展开式在求对数函数的主值例zz解,z1奇点.zz的幂级数内可展开成它在10111Rxy,zzln111111121z,zzzznn,z内在此展开式的收敛圆1,Cz的积分路线到一条从0:上式逐项积分dzzZ011ZnnZZdzzzdzdz00011311143211432z,nzzzzzzlnnndzzZ011ZnnZZdzzzdzdz0001复变函数的泰勒级数和实变函数的运算法则一样，但要注意复数运算和实数运算的异同，在计算的时候，考虑全面！14展开公式!nz!z!zzenz32132!nz!z!zzzsinnn121531253!nz!z!zzcosnn214212421143211432nzzzzzzlnnn)z(1211211{12!3!11},(1)!zzznzn平面z111121z,zzzznn15•解析函数的一个等价命题函数f(z)在B内解析的充分必要条件为f(z)在B内任一点的邻域内可展成幂级数