高中数学二项式定理题型总结

二项式定理知识点归纳新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆1．二项式定理及其特例：（1）01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN，（2）1(1)1nrrnnnxCxCxx奎屯王新敞新疆2．二项展开式的通项公式：rrnrnrbaCT1)210(nr，，，奎屯王新敞新疆3．常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性奎屯王新敞新疆4奎屯王新敞新疆二项式系数表（杨辉三角）()nab展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和奎屯王新敞新疆5．二项式系数的性质：()nab展开式的二项式系数是0nC，1nC，2nC，…，nnC．rnC可以看成以r为自变量的函数()fr，定义域是{0,1,2,,}n，例当6n时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（mnmnnCC）直线2nr是图象的对称轴奎屯王新敞新疆（2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项2nnC取得最大值；当n是奇数时，中间两项12nnC，12nnC取得最大值奎屯王新敞新疆（3）各二项式系数和：∵1(1)1nrrnnnxCxCxx，令1x，则0122nrnnnnnnCCCCC奎屯王新敞新疆题型讲解新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆例1如果在（x+421x）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：展开式中前三项的系数分别为1，2n，8)1(nn，由题意得2×2n=1+8)1(nn，得n=8新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆设第r+1项为有理项，T1r=Cr8·r21·x4316r，则r是4的倍数，所以r=0，4，8新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆，有理项为T1=x4，T5=835x，T9=22561x新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆例2求式子（｜x｜+||1x－2）3的展开式中的常数项新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解法一：（｜x｜+||1x－2）3=（｜x｜+||1x－2）（｜x｜+||1x－2）（｜x｜+||1x－2）得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x｜，一个括号取||1x，一个括号取－2，得C13C12（－2）=－12，∴常数项为（－2）3+（－12）=－20新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解法二：（|x|+||1x－2）3=（||x－||1x）6新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆设第r+1项为常数项，则T1r=Cr6·（－1）r·（||1x）r·|x|r6=（－1）6·Cr6·|x|r26，得6－2r=0，r=3新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆∴T3+1=（－1）3·C36=－20新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆例3⑴求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展开式中x4的系数；⑵求（x+x4－4）4的展开式中的常数项；⑶求（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50的展开式中x3的系数新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：⑴原式=xx114（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展开式中x4的系数为（－1）4C46－1=14新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆⑵（x+x4－4）4=442)44(xxx=48)2(xx，展开式中的常数项为C4482·（－1）4=1120新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆⑶方法一：原式=1)1(]1)1[()1(483xxx=xxx351)1()1(新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆展开式中x3的系数为C451新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆方法二：原展开式中x3的系数为C33+C34+C35+…+C350=C44+C34+…+C350=C45+C35+…+C350=…=C451新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆例4求9221xx展开式中9x的系数解：rrrrrrrrrrrxCxxCxxCT318921899291212121令22121C:,3,93183399＝－的系数为故则xrr点评：①rrnrnbaC是nba展开式中的第1r项，nr,2,1,0②注意二项式系数与某项系数的区别新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆在本题中，第4项的二项式系数是39C，第4项9x的系数为33921C，二者并不相同新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆例5求100323x展开所得x的多项式中，系数为有理数的项数解：32100100100310010012323rrrrrrrrxCxCT依题意：Zrr3,2100，r为3和2的倍数，即为6的倍数，又1000r，Nr，96,,6,0r，构成首项为0，公差为6，末项为96的等差数列，由6)1(096n得17n，故系数为有理数的项共有17项新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆点评：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆例6求5223xx展开式中x的系数解法一：55523212xxxx0514450514445555555555222CxCxCxCCxCxCxC故展开式中含x的项为xxCCCxC240224455555545，故展开式中x的系数为240新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆，解法二：52523223xxxxNrrxxCTrrrr,50325251，要使x指数为1，只有1r才有可能，即424684215228446241532xxxxxxxCT，故x的系数为2402154，解法三：5232xx222223232323232xxxxxxxxxx，由多项式的乘法法则，从以上5个括号中，一个括号内出现x，其它四个括号出现常数项，则积为x的一次项，此时系数为2402344415CC点评：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综