两条直线的交点坐标

§3.3.1两直线的交点坐标?,0:0:22221111的坐标如何求这两条直线交点相交已知两条直线CyBxAlCyBxAl平行重合相交无解无穷多解唯一解解方程组直线21212121,,,,llllllll问题1：方程组解的情况与方程组所表示的两条直线的位置关系有何对应关系？问题2：如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？11111112222222:00,0:0lAxByCABCABClAxByC212121CCBBAA212121CCBBAA2121BBAA重合与21ll平行与21ll相交与21ll判断两直线的位置关系例1:分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.思维突破：可依据方程组解的情况来判断两直线的位置关系．因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．这表明直线l1和l2重合．这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.解：(1)方程组2x－y－7＝03x＋2y－7＝0的解为x＝3y＝－1，(2)方程组2x－6y＋4＝04x－12y＋8＝0有无数组解，(3)方程组4x＋2y＋4＝02x＋y－3＝0无解，1－1.求直线l1：3x＋4y－5＝0与直线l2：2x－3y＋8＝0的交点M的坐标．解：由l1与l2的方程联立方程组3x＋4y－5＝02x－3y＋8＝0，解得x＝－1y＝2.∴点M的坐标为(－1,2)．证明：应用过两直线交点的直线系方程，将方程整理为a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0.直线3x－y＝0与x－2y＋1＝0的交点15，35，∴直线系恒过的定点为15，35.∴无论a为何值时直线总经过定点15，35.直线恒过定点问题例2：已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1.求证：无论a为何值直线总经过一定点．(1)曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次幂的系数为0，从而可求出定点．(2)分别令参数为两个特殊值，得方程组，求出点的坐标代入原方程，若满足，则此点为定点．2－1.已知直线方程为(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0.求证：不论λ取何实数值，此直线必过定点．即点(－1，－2)适合方程2x＋y＋4＋λ(x－2y－3)＝0，也就是适合方程(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0.所以，不论λ取何实数值，直线(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0必过定点(－1，－2)．证明：把直线方程整理为2x＋y＋4＋λ(x－2y－3)＝0.解方程组2x＋y＋4＝0x－2y－3＝0，得x＝－1y＝－2.例3.已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得：(1)l1和l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1和l2重合.解：(1)l1和l2相交⇔1×3－(m－2)m≠0，∴m2－2m－3≠0⇔m≠－1，或m≠3，∴当m≠－1且m≠3时，l1和l2相交．(2)l1⊥l2⇔1×(m－2)＋m×3＝0⇔m＝12，∴当m＝12时，l1⊥l2.讨论两直线的位置关系(3)∵m＝0时，l1不平行l2，(4)∵m＝0时，l1与l2不重合，∴l1∥l2⇔m－21＝3m≠2m6，解得m＝－1.∴l1与l2重合时，有m－21＝3m＝2m6，解得m＝3.正解：由题意可得两直线平行，当a＝0时，直线x＋6＝0和－2x＝0平行，没有公共点；当a＝－1时，直线x＋y＋6＝0和－3x－3y－2＝0平行，没有公共点，当a＝3时，直线x＋9y＋6＝0和x＋9y＋6＝0重合，有无数个公共点，不满足题意，应舍去．综上，a的值为0或－1.当a≠0时，由a－21＝3aa2得，a＝－1或a＝3.例4：若直线x＋a2y＋6＝0和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是__________．4－1.若三条直线l1：x－y＝0；l2：x＋y－2＝0；l3：5x－ky－15＝0围成一个三角形，则k的取值范围是()BA．k∈R且k≠±5且k≠1B．k∈R且k≠±5且k≠－10C．k∈R且k≠±1且k≠0D．k∈R且k≠±5解析：三条直线如果有两条平行或三条直线交于一点时就不能围成三角形．1．直线3x＋5y－1＝0与直线4x＋3y－5＝0的交点是()CA．(－2,1)C．(2，－1)B．(－3,2)D．(2，－2)2．两条直线2x＋3y－k＝0与直线x－ky＋12＝0的交点在)y轴上，那么k的值是(A．－24C．±6B．6D．以上都不对C练习:3．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，那么)B系数a为(A．－3B．－6C．－32D.234．过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为()AA．2x＋y－1＝0C．x＋2y－5＝0B．2x＋y－5＝0D．x－2y＋7＝0已知两直线l1：mx＋y－(m＋1)＝0和l2：x＋my－2＝0，问实数m取何值时，l1与l2分别是下列位置关系：(1)相交；(2)平行；(3)重合；(4)垂直；(5)交点在第一象限．思维突破：可由方程中的未知数的系数取值决定直线的位置关系．①×m－②得(m2－1)x＝m2－m③.解：(1)由方程组mx＋y－m＋1＝0①x＋my－2m＝0②，备用:小结:1.如何求两直线的交点.2.两直线方程组成的方程组的系数与直线的位置关系.3.直线恒过定点的问题.作业:P471—8,11.代入方程组得y＝2m＋1m＋1，方程组有唯一的解．因此，当且仅当m≠±1时，l1与l2相交．(2)由(1)中的方程③知，m＝－1时得0＝2方程无解，即方程组无解，两直线平行．因此，当且仅当m＝－1时，l1与l2平行．(3)由(1)中的方程③知，m＝1时得0＝0，方程有无数多解，即方程组有无数多解，两直线重合．因此，当且仅当m＝1时，l1与l2重合．当m2－1≠0，即m≠±1时，x＝m2－mm2－1＝mm＋1，(4)因为m≠±1时，l1与l2相交；当m＝0时，l1的斜率为0，l2的斜率不存在，l1⊥l2；因此，当且仅当m＝0时，l1⊥l2.当m≠0时，l1、l2的斜率分别为－m、－1m，因为(－m)·－1m≠－1，故l1与l2不垂直．(5)由(1)知，方程组的唯一解为x＝mm＋1y＝2m＋1m＋1(m≠±1)，(1)用方程组思想解决两直线平行、垂直问题时，应分有斜率和没有斜率两种情况来解决，不要漏解．(2)讨论交点位置时要注意方程组有唯一解的条件，如(5)中，易漏掉m≠±1这一条件．本题也可把方程向斜截式转化再进行讨论．即l1与l2的交点坐标为mm＋1，2m＋1m＋1.由题意mm＋102m＋1m＋10，得m－1或m0且m≠1.因此，m－1或m0且m≠1时，交点在第一象限．