8.5-隐函数的求导公式

8.5隐函数的求导公式1隐函数在实际问题中是常见的.平面曲线方程空间曲面方程空间曲线方程下面讨论如何由隐函数方程0),(yxF0),,(zyxF0),,(0),,(zyxGzyxF如求偏导数.8.5隐函数的求导公式2一个方程的情形方程组的情形小结思考题作业implicitfunction8.5隐函数的求导公式第8章多元函数微分法及其应用8.5隐函数的求导公式3一、一个方程的情形在一元函数微分学中,现在利用复合函数的链导法则给出隐函数)1(0),(yxF的求导法.并指出:曾介绍过隐函数(1)的求导公式,隐函数存在的一个充分条件..ddxz求1.由二元方程F(x,y)=0确定一元隐函数y=f(x),8.5隐函数的求导公式4隐函数存在定理1设二元函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内满足:,0),(00yxFy;0),(00yxF并有),(),(ddyxFyxFxyyx(1)具有连续偏导数;它满足条件y0=f(x0),则方程F(x,y)=0在点P(x0,y0)的某一邻域内恒隐函数的求导公式(2)(3)能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(证明从略)仅推导公式.将恒等式两边关于x求导,),(xF由链导法则,得)(xf0y=f(x),8.5隐函数的求导公式5,),(连续由于yxFy,0),(00yxFy且,0),(yxFy),(),(ddyxFyxFxyyx或简写:.ddyxFFxy于是得所以存在(x0,y0)的一个邻域,在这个邻域内),(yxFx),(yxFyxydd0),(xF)(xf08.5隐函数的求导公式6证记,ee),(yxxyyxF;0)0,0(F(1)xxyyxFe),(yyxyxFe),(与)0,0(在点的邻域内连续;,01)0,0(yF所以方程在点(0,0)附近确定一个有连续导数、且yxFFxydd.eeyxxy的隐函数y=f(x),00yx时当则(2)(3)例证明方程,0eeyxxy一个隐函数y=f(x),在(0,0)点附近确定.ddxy并求隐函数存在定理18.5隐函数的求导公式7先变形方程方程两边对x求导,arctan)ln(2122xyyx,)(1122212222xyxyxyyxyyxyxyyyx.ddxyyxxy例.dd,arctanln22xyxyyx求已知法一推导法解（即一元隐函数求导法）8.5隐函数的求导公式8解令则,arctanln),(22xyyxyxF,),(22yxyxyxFx,),(22yxxyyxFyyxFFxydd.xyyx例.dd,arctanln22xyxyyx求已知),(),(ddyxFyxFxyyx隐函数的求导公式法二公式法8.5隐函数的求导公式9,0),,(000zyxFz则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内;0),,(000zyxF),,(000yxfz恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数并有若三元函数F(x,y,z)满足:它满足条件在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续2.由三元方程F(x,y,z)=0确定二元隐函数.,yzxz求隐函数存在定理2,zxFFxz.zyFFyz(1)(2)(3)z=f(x,y),z=f(x,y),偏导数;8.5隐函数的求导公式10(证明从略)仅推导公式.将恒等式两边分别关于x和y求导,),,(yxF应用复合函数求导法得),(yxf0xFzFxz,0,zxFFxz.zyFFyz设z=f(x,y)是方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数,则yFzFyz.0zF,0),,(000zyxFz且,0zF所以存在点(x0,y0,z0)的一个邻域,在这个邻域内因为连续,于是得8.5隐函数的求导公式11例,1222222czbyax已知.,2yxzyzxz及求解),,(zyxF1222222czbyax则,22axFx,22byFy22czFzxz,22zaxcyzzbyc22令)0(z,zxFFxzzyFFyz法一公式法x,y,z的三个自变量的函数.在求Fx,Fy,Fz时,将F(x,y,z)看作是8.5隐函数的求导公式12方程确定了一个二元函数z=f(x,y),方程两边对x求导：(y看作常数)02222xzczaxxzzaxc22方程两边对y求导:(x看作常数)02222yzczbyyzzbyc22法二推导法例,1222222czbyax已知.,2yxzyzxz及求解8.5隐函数的求导公式13xzyz将隐函数方程两边取全微分)1(dd222222czbyax0d2d2d2222zczybyxaxyzbycxzaxczddd2222yyzxxzzddd)(x,yfz法三全微分法例,1222222czbyax已知.,2yxzyzxz及求8.5隐函数的求导公式14将xzzaxc22yxz222axc22222)]([zazbycxc3224zbaxycyzzbyc22注再一次对y求偏导数,得对复合函数求高阶偏导数时,需注意:导函数仍是复合函数.故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法.2zyz8.5隐函数的求导公式152),(222zyxxyzyxf是由方程设函数yxd2d解法一用公式2),,(222zyxxyzzyxF设,22222zyxxyzxF,22222zyxyxzyF.22222zyxzxyzF,1)1,0,1(xz,2)1,0,1(yz).(d)1,0,1(,zz处的全微分在点则确定的.d2dd)1,0,1(yxz8.5隐函数的求导公式16法二用全微分xyzd得2222zyxxyzyxzdzxyd2222d2d2d2zyxzzyyxx0,)1,0,1(代入上式将点.d2dd)1,0,1(yxz8.5隐函数的求导公式17例设有隐函数,其中F的偏导数连续,0),(zyzxF求,xz.yz解令),,(zyxGxGyGzGzxGGxzzyGGyz用多元复合函数求导法)(22yzF法一由公式.zxGGxz1F1z2F1z)(21xzF,211yFxFzF212yFxFzF,00),(zyzxF8.5隐函数的求导公式18将隐函数方程两边取全微分,zxFd1即1F故2121dddyFxFyzFxzFz从而,211yFxFzFxz此法步骤清楚法二利用全微分..212yFxFzFyz2F,0),(zyzxF求,xz.yzzyFd202ddzzxxz2ddzzyyz0得2dddvvuuvvu8.5隐函数的求导公式19将方程两边求导(推导法).对x求偏导:uvuF即zuF1vFyuFxuFzxz自己练习z是x,y的函数!0),(zyzxF法三.212yFxFzFyz012xzzyvFvF0xuxvxz21zx8.5隐函数的求导公式20二、方程组的情形(隐函数组)下面讨论由联立方程组所确定的隐函数的0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF确定两个二元函数u=u(x,y),v=v(x,y),.,,,yvxvyuxu求故由方程组求导方法.两个方程,四个变量8.5隐函数的求导公式21,0),,,(0000vuyxF则方程组F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0在点(x0,y0)v0=v(x0,y0)的单值连续函数u=u(x,y),v=v(x,y),且有偏导数公式:的某一邻域内可唯一确定一组满足条件u0=u(x0,y0),0),(),(PPvuGFJ;0),,,(0000vuyxG隐函数存在定理3若函数F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)满足:在点P(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内具有对各个(1)变量的连续偏导数;(2)(3)8.5隐函数的求导公式),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyvvvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1xxGFyyGFxxGFyyGF22(证明从略)仅推导公式.8.5隐函数的求导公式23将恒等式0)),(),,(,,(0)),(),,(,,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF两边关于x求偏导,xu0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF解这个以,xuxv为未知量的线性方程组,由链导法则得:xGxFuFvFxv0uGxuvGxv0,xu,yu求,xv.yv8.5隐函数的求导公式24解得00xvvGxuuGxGxvvFxuuFxF当系数行列式不为零时,即vGuGvFuF),(),(vuGFJ雅可比行列式.0Jacobi,C.G.j.(德)1804-1851xuvGuGvFuFvGxGvFxFxvvGuGvFuFxGuGxFuF,),(),(1vxGFJ.),(),(1xuGFJ8.5隐函数的求导公式25同理,vGuGvFuFvGyGvFyFyuvGuGvFuFyGuGyFuFyv,),(),(1vyGFJ.),(),(1yuGFJ0)),(),,(,,(0)),(),,(,,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF00yvvGyuuGyGyvvFyuuFyF两边关于y求偏导,得,xu,yu求,xv.yv8.5隐函数的求导公式26特,0),,(0),,(时vuxGvuxF如果方程组它可能确定两个现假定它确定),(),(xvvxuu且两个函数则求xvxudddd与的方法同前面求xvxu与的方法相同.0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF为都可微,别一元函数,两个方程,三个变量8.5隐函数的求导公式27例)0,0(,212222zyzyxzyx设及求xzxydd,dd.dd,dd11xxxzxy解分析),(xyy).(xzz直接代入公式；法一令,2),,(zyxzyxF.21),,(222zyxzyxG0),,(0),,(zyxGzyxF),(),(),(),(ddzyGFzxGFxy),(),(),(),(ddzyGFxyGFxz,1xF,1yF,1zF,2xxG,2yyG,zzGvGuGvFuFvuGF),(),(8.5隐函数的求导公式28),(),(zyGFJ,1