北师大版初三数学《一元二次方程》复习教案

第1页共13页《一元二次方程》【求根公式】一元二次方程20(0)axbxca，用配方法将其变形为：2224()24bbacxaa①当240bac时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242bbacxa②当240bac时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22bxa③当240bac时，右端是负数．因此，方程没有实根。【一元二次方程的根与系数的关系】一元二次方程20(0)axbxca的两个根为：221244,22bbacbbacxxaa所以：22124422bbacbbacbxxaaa，22222122244()(4)422(2)4bbacbbacbbacaccxxaaaaa韦达定理：如果一元二次方程20(0)axbxca的两个根为12,xx，那么：1212,bcxxxxaa常用变形：222121212()2xxxxxx，12121211xxxxxx，22121212()()4xxxxxx，2121212||()4xxxxxx，2212121212()xxxxxxxx，22221121212121212()2xxxxxxxxxxxxxx第2页共13页二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式cbxax2的因式时，如果可用公式求出方程)0(02acbxax的两个根21xx和，那么))((212xxxxacbxax．如果方程)0(02acbxax无根，则此二次三项式cbxax2不能分解。【基础训练】一、选择题1．下面关于x的方程中①ax2+bx+c=0；②3(x﹣9)2﹣(x+1)2=1；③x+3=1x；④（a2+a+1）x2﹣a=0；⑤1x=x﹣1．一元二次方程的个数是（）A．1B．2C．3D．42．要使方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则（）A．a≠0B．a≠3C．a≠1且b≠﹣1D．a≠3且b≠﹣1且c≠03．若（x+y）（1﹣x﹣y）+6=0，则x+y的值是（）A．2B．3C．﹣2或3D．2或﹣34．若关于x的一元二次方程3x2+k=0有实数根，则（）A．k0B．k0C．k≥0D．k≤05．下面对于二次三项式﹣x2+4x﹣5的值的判断正确的是（）A．恒大于0B．恒小于0C．不小于0D．可能为06．下面是某同学在九年级期中测试中解答的几道填空题：（1）若x2=a2，则x=a；（2）方程2x（x﹣1）=x﹣1的根是x=0；（3）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为5．其中答案完全正确的题目个数为（）A．0B．1C．2D．37．某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，将赔25元，而按原定价的九折出售，将赚20元，则这种商品的原价是（）A．500元B．400元C．300元D．200元8．利华机械厂四月份生产零件50万个，若五、六月份平均每月的增长率是20%，则第二季度共生产零件（）A．100万个B．160万个C．180万个D．182万个第3页共13页二、填空题9．若ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则不等式3a+60的解集是________．10．已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是﹣1，则k=_______．11．若x=2﹣10，则x2﹣4x+8=________．12．若（m+1）(2)1mmx+2mx﹣1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．13．若a+b+c=0，且a≠0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个定根，它是_______．14．若矩形的长是6cm，宽为3cm，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是_______．15．若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是__________．三、计算题16．按要求解方程：（1）4x2﹣3x﹣1=0（用配方法）；（2）5x2﹣5x﹣6=0（精确到0．1）17．用适当的方法解方程：（1）（2x﹣1）2﹣7=3（x+1）；（2）（2x+1）（x﹣4）=5；（3）（x2﹣3）2﹣3（3﹣x2）+2=0．第4页共13页【能力提升】18．若方程x2﹣2x+3（2﹣3）=0的两根是a和b（ab），方程x﹣4=0的正根是c，试判断以a、b、c为边的三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由．19．已知关于x的方程（a+c）x2+2bx﹣（c﹣a）=0的两根之和为﹣1，两根之差为1，其中a，b，c是△ABC的三边长．（1）求方程的根；（2）试判断△ABC的形状．20．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几?第5页共13页21．李先生乘出租车去某公司办事，下午时，打出的电子收费单为“里程11公里，应收29.10元”．出租车司机说：“请付29.10元．”该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出起步价N（N12）是多少元?【聚焦中考】22.方程(2)0xx的根是（）A、2xB、0xC、120,2xxD、120,2xx23.某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81％，则平均每次降价（）A．10％B．19％C．9.5％D．20％24.关于x的一元二次方程220xmxm的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定25．已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a+b)x2+2cx+(a+b)＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根26．关于x的一元二次方程022mmxx的一个根为1，则方程的另一根为.27.小华在解一元二次方程x2﹣4x=0时．只得出一个根是x=4,则被他漏掉的一个根是x=_____．里程（公里）0x≤33x≤6x6价格（元）N22N25N第6页共13页28．在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长．29．阅读材料：如果1x，2x是一元二次方程20axbxc的两根，那么有1212,bcxxxxaa.这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题:设12,xx是方程2630xx的两根，求2212xx的值.解法可以这样：126,xx123,xx则222212112()2xxxxxx2(6)2(3)42.请你根据以上解法解答下题：已知12,xx是方程2420xx的两根，求：（1）1211xx的值；（2）212()xx的值.一元二次方程双基演练答案一、1．B点拨：方程①与a的取值有关；方程②经过整理后，二次项系数为2，是一元二次方程；方程③是分式方程；方程④的二次项系数经过配方后可化为（a+12）2+34．不论a取何值，都不为0，所以方程④是一元二次方程；方程⑤不是整式方程．也可排除，故一元二次方程仅有2个．2．B点拨：由a﹣3≠0，得a≠3．第7页共13页3．C点拨：用换元法求值，可设x+y=a，原式可化为a（1﹣a）+6=0，解得a1=3，a2=﹣2．4．D点拨：把原方程移项，变形为：x2=﹣3k．由于实数的平方均为非负数，故﹣3k≥0，则k≤0．5．B点拨：﹣x2+4x﹣5=﹣（x2﹣4x+5）=﹣（x2﹣4x+4+1）=﹣（x﹣2）2=﹣1．由于不论x取何值，﹣（x﹣2）2≤0，所以﹣x2+4x﹣50．6．A点拨：第（1）题的正确答案应是x=±a；第（2）题的正确答案应是x1=1，x2=12．第（3）题的正确答案是5或7．7．C点拨：设商品的原价是x元．则0.75x+25=0.9x﹣20．解之得x=300．8．D点拨：五月份生产零件：50（1+20%）=60（万个）六月份生产零件50（1+20%）2=72（万个）所以第二季度共生产零件50+60+72=182（万个），故选D．二、9．a﹣2且a≠0点拨：不可忘记a≠0．10．±2点拨：把﹣1代入方程：（﹣1）2+3×（﹣1）+k2=0，则k2=2，所以k=±2．11．14点拨：由x=2﹣10，得x﹣2=﹣10．两边同时平方，得（x﹣2）2=10，即x2﹣4x+4=10，所以x2﹣4x+8=14．注意整体代入思想的运用．12．﹣3或1点拨：由(2)12,10.mmm解得m=﹣3或m=1．13．1点拨：由a+b+c=0，得b=﹣（a+c），原方程可化为ax﹣（a+c）x+c=0，解得x1=1，x2=ca．14．32cm点拨：设正方形的边长为xcm，则x2=6×3，解之得x=±32，由于边长不能为负，故x=﹣32舍去，故正方形的边长为32cm．15．30或﹣30点拨：设其中的一个偶数为x，则x（x+2）=224．解得x1=14，x2=﹣16，则另一个偶数为16，﹣14．这两数的和是30或﹣30．三、16．解：（1）4x2﹣3x﹣1=0，称，得4x2﹣3x=1，二次项系数化为1，得x2﹣34x=14，配方，得x2﹣34x+（38）2=14+（38）2，（x﹣38）2=2564，x﹣38=±58，x=38±58，所以x1=38+58=1，x2=38﹣58=14．第8页共13页（2）5x2﹣5x﹣6=0原方程可化为（5x+2）（5x﹣3）=0，5+2=0或5﹣3=0，所以x1=255≈=0.9，x2=355≈1.3．17．解：（1）（2x﹣1）2﹣7=3（x+1）整理，得4x2﹣7x﹣9=0，因为a=4，b=﹣7，c=﹣9．所以x=2(7)(7)44(9)7193248．即x1=71938，x2=71938．（2）（2x+1）（x﹣4）=5，整理，得2x2﹣7x﹣9=0，（x+1）（2x﹣9）=0，即x+1=0或2x﹣9=0，所以x1=﹣1，x2=92．（3）设x2﹣3=y，则原方程可化为y2+3y+2=0．解这个方程，得y1=﹣1，y2=﹣2．当y1=﹣1时，x2﹣3=﹣1．x2=2，x1=2，x2=﹣2．当y2=﹣2时，x2﹣3=﹣2，x2=1，x3=1，x4=﹣1．点拨：在解方程时，一定要认真分析，选择恰当的方法，若遇到比较复杂的方程，审题就显得更重要了．方程（3）采用了换元法，使解题变得简单．18．解：解方程x2﹣2x+3（2﹣3）=0，得x1=3，x2=2﹣3．方程x2﹣4=0的两根是x1=2，x2=﹣2．所以a、b、c的值分别是3，2﹣3，2．因为3+2﹣3=2，所以以a、b、c为边的三角形不存在．点拨：先解这两个方程，求出方程的根，再用两边的和与第三边相比较等来判断．19．解：（1）设方程的两根为x1，x2（x1x2），则x1+x1=﹣1，x1﹣x2=1，解得x1=0，x2=﹣1．（2）当x=0时，（a+c）×02+2b×0﹣（c﹣a）=0．所以c=a．当x=﹣1时，（a+c）×（﹣1）2+2b×（﹣1）﹣（c﹣a）=0．a+c﹣2b﹣c+a=0，所以a=b．即a=b=c，△ABC为等边三角形．点拨：先根据题意，列出关于x，x的二元一次方程组，可以求出方程的两个根0和﹣1．进而把这两个根代入原方程，判断a、b、c的关系，确定三角形的形状．20．解：设该产品的成本价平均每月应降低x．625（1﹣20%）（1+6%）﹣500（1﹣x）2=625﹣500整理，得500（1﹣x）2=405，（1﹣x）2=0.81．1﹣x=±0.9，x=1±0.9，x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%．答：该产品的成本价平均每月应降低10%．点拨：题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，