一节基于合作探究的《正弦定理》教学案例

龙源期刊网一节基于合作探究的《正弦定理》教学案例作者：龚亮亮来源：《中小学教学研究》2013年第08期笔者于2013年3月5日面向南京市全体高一教师开设了一节公开课《正弦定理》，这是一节为后续内容作知识和方法准备的单元起始课。笔者通过研读教材，并在结合教材的基础上，从实际问题出发，引出数学问题，采用了实验探究、自主学习、合作交流的研究性学习方式，将教学重点放在定理的形成，证明的探究及定理的基本应用上，努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值。以下是笔者本节课的教学实录及一些思考，愿与同行磋商。一、教学过程实录（一）创设情境，激发热情教师：请同学们看……（ppt给出材料，学生思考）某游览风景区，欲在两山之间架设一观光索道，需要测量两山之间A，B两点的距离，现在已选定1km的基线AC，并在A点处测得∠BAC=28°，在C点处测得∠ACB=100°，如何求得A，B两点间的距离？教师：这个实际问题可以转为怎样的数学问题？学生：可以转化为解三角形问题，已知三角形的两角一边，求另一边。即在△ABC中，已知∠A=28°，∠C=100°，b=1，求AB=？教师：根据我们已有的知识，这个问题能不能解决？学生：可以的，过点C作CD⊥AB，在Rt△ACD中求出CD和AD，再在Rt△BCD中求出BD，从而求出AB。（二）回顾知识，夯实双基教师：很好.三角形中已知边和角求未知的边和角，你们是有基础的.可以转为我们初中学过的直角三角形中去解决。龙源期刊网那么请问：直角三角形中有哪些边角关系？如图，在Rt△ABC中，设C=90°，三条边分别是a，b，c，三个角分别是A，B，C，那么边角之间有哪些关系？学生：sinA=■，sinB=■，sinC=1（板书），cosA=■，cosB=■教师：角A的余弦值其实就是角B的正弦值，因此余弦可以转为正弦。学生：tanA=■，tanB=■。教师：正切可以用正弦和余弦来表示。教师：请大家观察sinA=■，sinB=■，sinC=1这3个式子，从数学美观角度来看，你觉得应该怎么操作？学生：应该把角C的正弦值1改写成■，这样我们就可以得到c=■，c=■，c=■，从而就有■=■=■。教师：很好，我们在直角三角形中找到了■=■=■这样一个关系式，这个式子在任意三角形中成立吗？如何去验证？（三）实验验证，完善猜想学生1：我们可以画一个三角形，度量它的三边和三角，再去计算。学生2：找个特殊三角形去验证，比如等边三角形，发现它是成立的。教师：下面我们借助几何画板一起进行验证。■教师：我们通过改变三角形的形状，你能发现什么？能得到什么猜想？学生：于是我们猜想：对于任意三角形ABC，都有■=■=■。（四）证明探究，得出定理龙源期刊网教师：这就是我们这堂课要研究的正弦定理：对于任意三角形ABC，都有■=■=■（板书）.那么刚才我们进行了验证，但验证不能代替证明，如何证明正弦定理呢？大家可以相互之间讨论讨论。学生进行充分讨论思考（5分钟），教师请4位学生上黑板写出证明过程（10分钟）。4位学生分别通过以下途径证明：学生1：转化为直角三角形的边角关系；学生2：借助于三角形面积公式；学生3：通过三角形外接圆，将任意三角形问题转化为直角三角形问题；学生4：利用向量的数量积。4位学生结合自己的板书分别讲解证明思路.教师进行追问。与学生1对话：教师：你解题的思路是什么？学生1：转化，转化为直角三角形（板书）中去解决。教师：为什么要分3种情况进行讨论？学生1：通过作高转为直角三角形时，发现垂足位置可以有3种不同情况，因此要进行讨论。与学生2对话：教师：你的思路是什么？学生2：借助于三角形的面积公式证得结论。教师：三角形面积公式是底乘高除以2，现在高怎么得到？学生2：任意三角形可以去作高，最终转为直角三角形。与学生3对话：龙源期刊网教师：借助于三角形的外接圆证得结论，仍然是需要将其转化为直角三角形来解决。同时，通过这个证明思路，你能否发现■=■=■的比值是什么？学生3：比值是2R（R是外接圆的半径）。与学生4对话：教师：你怎么想到用向量方法去证明的？学生4：我们所学的知识中向量可以同时刻画长度和角度。教师：你怎么想到在向量式■=■+■的两边同时点乘■？学生4：向量式转为数量式想到数量积.我要证的式子■=■中没有边a，而边a与向量■有联系，为了消去■，想到与■垂直的向量，所以作BC边上的高。教师：要证的式子中是角B和角C的正弦，而数量积得到的是余弦，怎么办？学生4：通过诱导公式化余弦为正弦。（五）理解定理，基本应用教师：这样，我们对正弦定理进行了证明.那么我们回到本节课一开始提出来的问题，能用今天的正弦定理解决吗？学生：直接利用■=■求得。教师：已知角B，C和边b，可以求出另一边c.正弦定理还能解决什么问题？学生：已知两边一对角，求其余的边和角。教师：很好。请同学们课后自己出题尝试。（六）课堂小结，归纳提升教师：本节课我们有什么收获？学生：通过正弦定理的探索过程，学会了研究性学习的一般方法，能够运用正弦定理来解决一些简单的三角形度量问题，同时本节课对转化思想的重要性有了进一步的认识。二、案例分析龙源期刊网（一）创设有效的问题情境“以问题探究为中心”的课堂教学一改过去的教师讲、学生听的模式，教师不再是教教材，而是用教材来教，强调把学习设置到有意义的问题情境中，这就需要教师尽心设计问题情境。本节课采用了以问题激发兴趣的策略，将数学学习与日常生活中的实际问题联系起来，提供一种熟悉的问题情境，使学生感到学习数学是非常有趣的，同时也增强了学生“数学起源于生活，运用于生活”的思想意识。笔者认为，有效的问题情境应能吸引学生的注意力，激发学生学习兴趣的；能充分调动学生自主探究的积极性；能为学生创造乐于尝试、乐于探究讨论的学习氛围。教师在进行课堂教学设计和实施时，对创设有效的问题情境应多一些思考。（二）加强探究活动的教学传统的学习方式过分强调接受和掌握，忽略发现和探究，学生学习成了纯粹被动接受和记忆的过程。要转变这种学习状态，必须把学习过程中的猜测、发现、探究等活动凸显出来，即加强探究活动的教学，让学习过程更多地成为学生发现问题、提出问题、解决问题的过程。本节课教学重点即在对正弦定理的形成的探究上，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。当然本节课也有一些遗憾，在探究正弦定理的证明时，在学生给出用三角形的面积和三角形外接圆去证明正弦定理时，没有及时地指出csinB=bsinC表示的几何意义是三角形同一边上的高不变后，进而点明三角形中可以作为证明基础的等量关系①三角形的面积不变；②三角形外接圆直径不变.同时向量法证明正弦定理时教学时间略显仓促.（三）定理教学过程的分析定理教学属于命题教学的范畴，在学习命题时，往往可以将命题还原为一个具体的问题，然后以这个问题为逻辑起点引入命题，这种方式的本质是弱化抽象关系.在设计命题教学时应注意几个问题。其一，要认真分析证明思路，明确学生在理解证明时的难点。其二，充分揭示蕴含在数学证明中的数学思想方法，从某种程度上说，学生在经历证明的过程中所领悟的数学思想方法可能比他们掌握一个结论更重要。其三，对一些重要定理，宜采用多种不同的方法证明，当然命题应用是命题教学的一个重要环节。本节课的教学性质属于“命题教学”，具体采用了“命题形成”的方式，从教学内容组织层面将其分为五个阶段。第一阶段：创设情境，进行数学抽象，引入本课课题。第二阶段：从新的角度看过去的问题，进行知识回顾，寻找认知停靠点。第三阶段：数学实验走进课堂，培养探龙源期刊网究意识和动手实践能力。第四阶段：一题多证，领悟证明过程的数学思想方法。第五阶段：解决例题，课堂小结，深化对基本概念的理解。教师如何将课堂教学发挥到极致，不是三言两语就能说清楚的，它需要教师在日常教学中不断学习，不断思考，不断总结，不断改进，不断完善。最后以陶行知的“先生好学，唯有学而不厌的先生，才能教出学而不厌的学生”与大家共勉。[参考文献][1]吴永军.新课程备课新思维[M].北京：教育科学出版社，2004.[2]缪向光.例说高三数学复习的“有效教学”[J].宁德师专学报（自然科学版）.2007（5）.[3]宫前长.新教材中“探究”的思维历程及教学取向[J].中国数学教育（高中版），2011（1O）.[4]刘莉.“四步”备课扎实有效[J].中国数学教育（高中版），2010（12）.（责任编辑：张华伟）