高中数学人教A版选修1-1-2.2.2-双曲线的简单几何性质

2.2.2双曲线的简单几何性质学习目标思维脉络1.掌握双曲线的范围、对称性、中心、顶点、轴、渐近线、离心率等几何性质;2.能够应用双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质;3.掌握根据双曲线的几何性质解决有关问题的方法.双曲线的几何性质范围对称性顶点渐近线离心率→应用双曲线的简单几何性质中心在原点,焦点在x轴上中心在原点,焦点在y轴上标准方程x2a2−y2b2=1(a0,b0)y2a2−x2b2=1(a0,b0)性质图形焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距|F1F2|=2c(c0)范围x≤-a或x≥a,y∈Ry≤-a或y≥a,x∈R中心在原点,焦点在x轴上中心在原点,焦点在y轴上标准方程x2a2−y2b2=1(a0,b0)y2a2−x2b2=1(a0,b0)性质对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b;实半轴长:a,虚半轴长:b离心率e=𝑐𝑎∈(1,+∞)渐近线y=±𝑏𝑎xy=±𝑎𝑏xa,b,c的关系c2=a2+b2名师点拨1.双曲线有“四点”(两个焦点、两个顶点),“四线”(两条对称轴、两条渐近线),椭圆是封闭型曲线,而双曲线是开放型的;双曲线有两支,故在应用时要注意点在哪一支上;根据方程判定焦点的位置时,注意双曲线与椭圆的差异性.2.如果双曲线的方程确定,那么其渐近线的方程是唯一的,但如果双曲线的渐近线确定,那么其对应的双曲线有无数条,具有共同渐近线的双曲线方程可设为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=λ(λ≠0),当λ0时,对应的双曲线焦点在x轴上,当λ0时,对应的双曲线焦点在y轴上.3.由于e=𝑐𝑎=𝑎2+𝑏2𝑎2=1+𝑏𝑎2,所以𝑏𝑎=𝑒2-1,因此离心率的大小决定了渐近线斜率的大小,从而决定了双曲线开口的大小,离心率越大,开口越开阔,离心率越小,开口越扁狭.4.等轴双曲线是指实轴长与虚轴长相等的双曲线,其标准方程为x2-y2=a2,渐近线方程为y=±x,离心率一定等于2.【做一做1】双曲线𝑦212−𝑥224=1的实轴长等于,虚轴长等于,渐近线方程为.解析:双曲线焦点在y轴上,a2=12,b2=24,所以a=23,b=26,于是实轴长和虚轴长分别为2a=43,2b=46,渐近线方程为y=±2326x,即y=±22x.答案:4346y=±22x【做一做2】若点M(x0,y0)是双曲线𝑥216−𝑦225=1上任意一点,则x0的取值范围是,y0的取值范围是.解析:由于a2=16,b2=25,所以a=4,b=5,因此y0∈R,x0≥4或x0≤-4.答案:(-∞,-4]∪[4,+∞)(-∞,+∞)【做一做3】双曲线4x2-2y2=1的离心率等于.解析:双曲线方程化为𝑥214−𝑦212=1,于是a2=14,b2=12,从而c=32,故离心率e=3212=3.答案:3思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“×”.(1)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上.()(2)若两条双曲线的焦点相同,则其渐近线也一定相同.()(3)焦点在x轴上的双曲线的离心率越大,其渐近线斜率的绝对值就越大.()(4)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线.()(5)等轴双曲线的离心率等于.()答案:(1)(2)×(3)(4)×(5)2探究一探究二探究三思维辨析根据双曲线的标准方程研究其几何性质【例1】若点是双曲线my2-4x2+4m=0上的一点,试求该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.思路点拨:先根据题意求出m的值,然后将双曲线方程化为标准方程,再写出其各个几何性质.A(10,23)自主解答:由于点A(10,23)在双曲线my2-4x2+4m=0上,所以m(23)2-4·102+4m=0,解得m=25,于是双曲线方程为25y2-4x2+100=0,即𝑥225−𝑦24=1.所以双曲线的焦点在x轴上,且a2=25,b2=4,c2=25+4=29.因此实轴长2a=10,虚轴长2b=4,焦距为2c=229,焦点坐标为(29,0),(-29,0),顶点坐标为(-5,0),(5,0).离心率e=𝑐𝑎=295,渐近线方程y=±25x.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.已知双曲线的方程研究其几何性质时,若不是标准方程,应先化为标准方程,确定方程中a,b的值,利用c2=a2+b2得到c,然后确定双曲线的焦点位置,从而写出双曲线的几何性质.2.求双曲线的渐近线方程时,要特别注意焦点在x轴上还是在y轴上,以免写错.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1(1)双曲线2x2-y2=-8的实轴长是()A.2B.22C.4D.42(2)双曲线𝑥24−𝑦29=1的渐近线方程是()A.y=±23xB.y=±49xC.y=±32xD.y=±94x解析:(1)双曲线方程可化为𝑦28−𝑥24=1,所以a2=8,a=22,故实轴2a=42.(2)a2=4,b2=9,焦点在x轴上,所以渐近线方程为y=±𝑏𝑎x=±32x.答案:(1)D(2)C探究一探究二探究三思维辨析根据双曲线的几何性质求其标准方程【例2】求解下列各题:(1)已知双曲线的右焦点为F(3,0),离心率等于32,求双曲线的标准方程;(2)已知双曲线的焦点在y轴上,实轴长与虚轴长之比为2∶3,且经过点P(6,2),求双曲线的标准方程;(3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6,求双曲线的标准方程;(4)与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2),求双曲线的标准方程.思路点拨:对于(1)和(2),可直接设出双曲线方程,根据条件求出参数a,b的值,即得方程;对于(3)和(4),焦点位置不确定,应分类讨论,也可直接利用共渐近线的双曲线方程之间的关系求解.探究一探究二探究三思维辨析自主解答:(1)依题意,双曲线焦点在x轴上,设其方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0),则c=3,𝑐𝑎=32,所以a=2,b2=c2-a2=5,故所求双曲线的标准方程为𝑥24−𝑦25=1.(2)设双曲线方程为𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1(a0,b0).∵双曲线过点P(6,2),∴4𝑎2−6𝑏2=1.依题意可得𝑎𝑏=23,4𝑎2-6𝑏2=1,解得𝑎2=43,𝑏2=3.故所求双曲线的标准方程为𝑦243−𝑥23=1.探究一探究二探究三思维辨析(3)设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),即𝑥2𝜆4−𝑦2𝜆9=1(λ≠0),由题意得a=3.当λ0时,𝜆4=9,λ=36,双曲线的标准方程为𝑥29−𝑦24=1;当λ0时,-𝜆9=9,λ=-81,双曲线方程为𝑦29−4𝑥281=1.故所求双曲线的标准方程为𝑥29−𝑦24=1或𝑦29−4𝑥281=1.(4)双曲线方程可化为𝑥22-y2=1,依题意设所求双曲线的方程为𝑥22-y2=k,将点M(2,-2)代入,得k=222-(-2)2=-2,因此双曲线方程为𝑥22-y2=-2,即𝑦22−𝑥24=1.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟求双曲线标准方程的两种方法1.根据双曲线的几何性质求其标准方程时,常用的方法是先定型(确定焦点在哪个轴上),后计算(确定a2,b2的值),要特别注意c2=a2+b2的应用,不要与椭圆中的关系混淆.2.求双曲线标准方程,主要采用待定系数法,常用以下方法巧设双曲线方程进行求解:(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0);(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1(a0,b0);探究一探究二探究三思维辨析(3)与双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)共焦点的双曲线的方程可设为𝑥2𝑎2-𝜆−𝑦2𝑏2+𝜆=1(-b2λa2,λ≠0);(4)与双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)具有共同渐近线的双曲线的方程可设为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=λ(λ≠0);(5)渐近线为y=kx的双曲线的方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0);(6)渐近线为ax±by=0的双曲线的方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).探究一探究二探究三思维辨析变式训练2求下列双曲线的标准方程:(1)虚轴长为12,离心率为54;(2)双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍,且一个顶点的坐标为(0,2).解:(1)依题意有2𝑏=12,𝑐𝑎=54,解得a=8,b=6,故所求双曲线的标准方程为𝑥264−𝑦236=1或𝑦264−𝑥236=1.(2)由题可知双曲线的焦点在y轴上,设其方程为𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1(a0,b0),则2a+2b=22c,即a+b=2c.又a=2,且a2+b2=c2,所以a=2,b=2,因此双曲线的标准方程为𝑦24−𝑥24=1.探究一探究二探究三思维辨析双曲线的离心率与渐近线问题【例3】(1)设F1和F2为双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的两个焦点,若F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率等于()A.32B.2C.52D.3(2)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的离心率等于5,则其渐近线方程为.思路点拨:(1)根据已知条件建立参数a,b,c的等式,结合c2=a2+b2和e=𝑐𝑎求解;(2)可利用关系𝑏𝑎=𝑒2-1求解,但要注意对双曲线焦点位置的分类讨论.探究一探究二探究三思维辨析自主解答:(1)设O为原点,则有PO=2b,OF2=c,又因为三角形PF1F2为等边三角形,所以PF1=2c.而PO⊥F1F2,所以c2+(2b)2=(2c)2,即4b2=3c2,即4c2-4a2=3c2,于是c2=4a2,因此e2=𝑐2𝑎2=4,故e=2.(2)依题意得e=𝑐𝑎=5,所以𝑐2𝑎2=5,即𝑎2+𝑏2𝑎2=5,解得𝑏𝑎=2.若双曲线焦点在x轴上,则其渐近线方程为y=±𝑏𝑎x,即y=±2x;若双曲线焦点在y轴上,则其渐近线方程为y=±𝑎𝑏x,即y=±12x.答案:(1)B(2)y=±2x或y=±12x探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.求双曲线的离心率时,可以求出a与c的值,然后根据离心率的定义求得.但在多数情况下,由于受到题目已知条件的限制,很难或不可能求出a和c的值,只能根据题目条件获得关于a和c的关系式,进而求得𝑐𝑎,这时关键是利用图形中的几何关系来建立关于参数a,b,c的关系式,再结合c2=a2+b2,化简为参数a,c的关系式进行求解.2.双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系,可以借助𝑏𝑎=𝑒2-1进行互求.一般地,如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程,或者已知渐近线方程(或其斜率),求离心率的值,都会有两解(焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况),不能忘记分类讨论.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3(1)过双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线FM,垂足为M,并且交y轴于E,若M为EF的中点,则该双曲线的离心率为()A.2B.3C.3D.2(2)已知直线2x-y+6=0过双曲线𝑥2𝑚−𝑦28=1(m0)的一个焦点,则双曲线的渐近线方程为.探究一探究二探究三思维辨析解析:(1)由已知不妨令F(c,0),渐近线方程为y=𝑏𝑎x,所以FM的方程为y=-𝑎𝑏(x-c),由𝑦=-𝑎𝑏(𝑥-𝑐),𝑦=𝑏𝑎𝑥,解得M𝑎2𝑐,𝑎𝑏𝑐.又E0,𝑎𝑐𝑏,M为EF的中点,所以𝑎2𝑐=𝑐2,得c2=2a2,e=2.(2)双曲线焦点在x轴上,因此可知双曲线的一个焦点为(-3,0),于是m+8=9,解得m=1,此时a=1,c=