2实际问题与二元一次方程组

2实际问题与二元一次方程组（二）（基础）主讲沈老师【学习目标】1．熟悉行程、方案、数字等问题的解决方法；2.进一步研究用二元一次方程组解决实际问题．【要点梳理】要点一、常见的一些等量关系（二）1.行程问题速度×时间=路程.顺水速度=静水速度+水流速度.逆水速度=静水速度-水流速度.2．存贷款问题利息=本金×利率×期数.本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数).年利率＝月利率×12.月利率＝年利率×121.3.数字问题已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．4．方案问题在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．要点诠释：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案．要点二、实际问题与二元一次方程组1.列方程组解应用题的基本思路2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.【典型例题】类型一、行程问题1.A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出．(1)如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿BA方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度；(2)如果慢车先开出l小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?【思路点拨】这两个问题均可以利用路程、速度和时间之间的关系列方程(组)求解．(1)“同时开出相向而行”可用下图表示．“同时开出同向而行”可用下图表示．(2)慢车先开出1小时，两车相向而行，仿照（1）用示意图表示出来，并用等式表示出来．【答案与解析】解：(1)设快车和慢车的速度分别为x千米/时和y千米/时．根据题意，得334801212480xyxy，解得10060xy答：快车和慢车的速度分别为100千米/时和60千米/时．(2)设快车开出x小时可与慢车相遇，则此时慢车开出(x+1)小时，根据题意，得60(x+1)+100x＝480．解得528x．答：快车开出528小时两车相遇．【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、相向、同向等关键词．【实际问题与二元一次方程组（二）例6】举一反三：【变式】两列火车从相距810km的两城同时出发，出发后10h相遇；若第一列火车比第二列火车先出发9h，则第二列火车出发5h后相遇，问这两列火车的速度分别是多少？【答案】解：设这两列火车的速度分别为xkm/h，ykm/m．由题意得，答：这两列火车的速度分别为45km/h和36km/h．类型二、存贷款问题2.蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共13万元，徐先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少元？【思路点拨】本题的等量关系：甲种贷款+乙种贷款＝13万元；甲种贷款的年利息+乙种贷款的年利息＝6075元.【答案与解析】解：设甲，乙两种贷款分别是x，y元，根据题意得：1300006%3.5%6075xyxy解得：6100069000xy答：甲，乙两种贷款分别是61000元和69000元．【总结升华】利息＝贷款金额×利息率.类型三、数字问题3.有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数．【思路点拨】本题中的等量关系：①个位上的数－十位上的数＝5；②原数+新数＝143．【答案与解析】解：设原来的两位数中，个位上的数字为x，十位上的数字为y．则原数为10y+x，把这两个数的位置对换后，所得的新数为10x+y，根据题意，得：51010143xyyxxy，解方程组，得94xy．故这个两位数为10y+x＝10×4+9＝49．答：这个两位数为49．【总结升华】对于两位数、三位数的数字问题，关键是明确它们与各数位上的数字之间的关系：两位数＝十位数字×10+个位数字；三位数＝百位数字×100+十位数字×10+个位数字．举一反三：1081095810xyxxy4536xy【变式】一个两位数，个位数字和十位数字之和为8，个位与十位互换后，所得的新数比原数小18，则这个两位数是．【答案】53类型四、方案选择问题4.聪聪暑期在一家商场参加社会实践活动，商场老板想要购进A、B两种新型节能台灯共50盏，只给了聪聪2500元进货款和一份价目表，这两种台灯的进价、标价如下表所示．类型价格A型B型进价（元/盏）4065标价（元/盏）60100(1)同学们，你知道聪聪购买了这两种台灯各多少盏吗?(2)在每种台灯销售利润不变的情况下，若老板要求：计划销售这批台灯的总利润达到1405元，问至少需购进B型台灯多少盏?【思路点拨】(1)两种灯的总数为50，两种灯的进货款总和为2500元，列出二元一次方程组，求出两种灯的数量．再利用B型灯的数量设参，根据两种灯的总利润达到1405元列方程，即可求出B型灯的数量．【答案与解析】解：(1)设A型台灯购进x盏，B型台灯购进y盏．根据题意，得5040652500xyxy，解得：3020xy．(2)设购进B型台灯m盏，根据题意，得35m+20(50-m)＝1405，解得m＝27．答：(1)A型台灯购进30盏，B型台灯购进20盏；(2)要使销售这批台灯的总利润达到1405元，至少需购进B种台灯27盏．【总结升华】本例为直接设元，利用表格进行分析、判断，这种方法值得学习和借鉴．【实际问题与二元一次方程组（二）例1】举一反三：【变式】某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.【答案】解：(1)设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供y名学生就餐.则根据题意可得：解得：960360xy答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐.259602360552053002168022280xyxy∴能供全校的5300名学生就餐.【巩固练习】一、选择题1．甲、乙两人骑自行车同时从相距65km的两地相向而行，2h相遇，若甲比乙每小时多骑2.5km，则乙的速度是每小时（）．A．12.5kmB．15kmC．17.5kmD．20km2.已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数所列的方程组正确的是（）．Ａ．1()()9xyxyyx，Ｂ．110()9xyxyyx，Ｃ．110109xyxyyx，Ｄ．110109xyxyyx，3.甲、乙二人按2：5的比例投资开办了一家公司，约定除去各项开支外，所得利润按投资比例分成．若第一年赢利14000元，那么甲、乙二人分别应分得（）．A．2000元，5000元B．5000元，2000元C．4000元，10000元D．10000元，4000元4．今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求2年前哥哥和妹妹的年龄，设2年前哥哥x岁，妹妹y岁，依题意，得到的方程组是（）．A．23(2),2xyxyB．23(2),2xyxyC．22(2),3xyxyD．23(2),3xyxy5.爸爸将3000元工资的40%存到银行，整存整取二年，年利率2.79%，到期后，他可能取出本金和利息共（）元．A．3000×40%×2.79%B．3000×40%×2.79%×2C．3000×40%×2.79%×2+3000D．3000×40%×2.79%×2+3000×40%6.为了参加威海国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟．设自行车路段的长度为x米，长跑路段的长度y米．则方程组正确的是（）A.B.C.D.二、填空题7.甲、乙两人速度之比是2：3，则他们在相同时间内走过的路程之比是，他们在走相同路程所需时间之比是．8.小张以两种形式储蓄了500元，第一种储蓄的年利率为3.7%，第二种储蓄的年利率为2.25%，一年后得到利息和为15.6元，那么小张以这两种形式储蓄的钱数分别是元和元．9.大数和小数的差为12，这两个数的和为60，则大数是，小数是．10.甲、乙两人开车，同时从相距105千米的两城市相向而行，2小时后相遇．已知甲每小时比乙多行驶2.5千米，则甲的速度千米/小时，乙的速度千米/小时．11.小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子”．小刚却说：“只要把你珠子的13给我，我就有10颗”，那么小刚的弹珠颗数是颗．12.学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大时，你刚1岁；你到我这么大时，我已37岁了”．那么老师现在的年龄是岁．三、解答题13．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多10．求原来的两位数．14.A、B两地相距20km，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，2小时后在途中相遇，然后甲返回A地，乙仍继续前进，当甲回到A地时，乙离A地还有4km，求甲、乙的速度．15.某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同．随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价是书包单价的4倍少8元．(1)求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元?(2)某假期该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购满100元返购物券30元(销售不足100元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说出他可以选择在哪一家购买吗?若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱?【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】本题中的两个等量关系为：甲速度=乙速度+2.5；2×甲速度+2×乙速度=65．2.【答案】D；3.【答案】C；【解析】解：设甲、乙可获得利润分别是2x元、5x元，2x+5x=14000，解得x=2000．即甲、乙可获得利润分别是4000元、10000元．4.【答案】C；5.【答案】D；【解析】先求出存款额（即本金），再根据求利息的计算公式，利息=本金×年利率×时间，求出利息加上本金即可．6.【答案】A；【解析】根据题意可得等量关系：①自行车路段的长度为x米+长跑路段的长度y米=5000米；②骑自行车所用时间+跑步所用时间=15分钟，根据等量关系可得方程组.二、填空题7.【答案】2：3，3：2；【解析】根据路程=速度×时间，得当时间一定时，则路程之比等于速度之比；当路程一定时，时间之比和速度之比成反比．8.【答案】300，200；【解析】可以设第一种储蓄的钱数为x元，