全国高中文科数学基础知识汇总

1高中文科数学基础知识一、集合与简易逻辑1．元素与集合的关系：)(AaAa或。2．集合的元素具有：确定性、无序性、互异性。如若2,,1aaA，则01aa且。3．集合常用的表示方法：列举法、描述法、图示法。其中要特别注意用描述法表示的集合，要弄清楚集合元素的属性，如若A={椭圆}，B={直线}，则BA，又若)0(1|),(2222babyaxyxA，0|),(CByAxyxB，则BA可能有0个或1个或2个元素，再如)23(log|22xxyxA，)23(log|22xxyyB，)23(log|),(22xxyyxC,A表示函数的定义域，B表示函数的值域，C表示函数图象上的点集。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。注意：若RxxxA,1|，RyyyB,1|，则BA。4．常见数集：R．表示实数集；N．表示自然数集；)(*NN或表示正整数集；Q．表示有理数集；Z表示整数集。5．空集是任何集合的子集，记作：A，空集是任何非空集合的真子集；记作：A，任何一个集合是它本身的子集，记作：AA。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。6．包含关系：ABAABBUUABCBCA（U为全集）。注意：当ABA或BBA时，要注意考虑A与A的情况。7．要证明集合A=B，则须证明：ABBA且。8．集合12{,,,}naaa的子集个数共有2n个；真子集有12n个；非空子集有12n个；非空的真子集有22n个。9．判断命题的真假要以真值表（p与非p：真假相对；qp或：一真必真；qp且：一假必假）为依据。原命题与其逆否命题是等价命题，逆命题与其否命题是等价命题，当一2个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。10．命题的否定：条件不变，否定结论。否命题：条件与结论均否定。其中常见的否定词有：词语是一定都是大于小于且任意至多1个唯一词语的否定不是不一定不都是小于或等于大于或等于或存在至少两个不唯一11.若qp⇒，那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。（或p的必要条件是q，q的充分条件是p。）12.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法：qp。（2）利用集合间的包含关系判断，若BA，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。（3）等价法：即利用等价关系判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法。二、函数1.以x为自变量的函数=y)(xf是集合A到集合B的一种对应，其中A和B都是非空的数集．．．．．，对于A中的每一个．．．x，B中都有唯一确定的．．．．．y和它对应。自变量x取值的集合A就是函数=y)(xf的定义域，和x对应的y的值就是函数值，函数值的集合C就是函数的值域(BC)。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。注：集合A中有n个元素，集合B中有m个元素，则A到B的映射有nm个，而B到A的映射有mn个。2.求函数定义域需要考虑:分母、根号、零次幂的底、对数的真数、对数与指数的底、正余切及复合函数求定义域的两种类型。求函数值域的方法要掌握：配方法，观察法，换元法（整体换元、三角换元），单调性法，反函数法，判别式法，三角函数的有界性，基本不等式法，利用两点间的距离公式法。定义域及值域都必须写成集合．．的形式。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。3.若=y)(xf有反函数)(xfy-1=，则=y)(xf是)(xfy-1=的反函数。反函数)(xfy-1=的定义域、值域分别是函数=y)(xf的值域、定义域。函数=y)(xf和它的反函数)(xfy-1=的图象关于xy对称。（若baf)(,则abf)(1即若点),(ba在)(xfy的图象上，则点),(ab必在反函数3的图象上）注意：○1)1(1xfy是)1(xfy的反函数吗？（不是，)1(xfy和1)(1xfy互为反函数。）○2)(xfy与它的反函数)(1xfy的交点必在直线xy上吗？（若)(xf为增函数则一定，否则无法判断）如函数1()16xy与116logyx的交点为1111(,),(,)2442，交点不在直线yx上。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。4.设2121,,,xxbaxx那么1212()()()0xxfxfx1212()()0(),fxfxfxabxx在上是增函数；1212()()()0xxfxfx1212()()0(),fxfxfxabxx在上是减函数。设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数。5.定义域关于原点对称是)(xf具有奇偶性的必要不充分条件．．．．．．．。（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(xfxf，奇函数：)()(xfxf）。例如：xytan是奇函数，)31tan(xy是非奇非偶。（定义域不关于原点对称）。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。奇函数特有性质：若x0的定义域，则)(xf一定有0)0(f（0不在函数的定义域内，则无此性质）。注意：○1奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称；○2奇函数关于原点对称的区间单调性相同，偶函数关于原点对称的区间单调性相反，简称：奇同偶反。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。6.函数()yfx的图象的对称性(1)函数()yfx的图象关于直线xa对称()()faxfax(2)()faxfx。4(2)函数)(xfy的图象关于点)0,(a对称)2()(xafxf)()(xafxaf。(3)函数)(xfy满足)()(xbfxaf，则)(xfy的图象关于直线2abx对称。(4)若函数)(xfy对定义域中任意x均有0)()(cxbfxaf，则函数)(xfy的图象关于点(,)22abc成中心对称图形。7.两个函数图象的对称性（1）函数()yfx与函数()yfx的图象关于直线y轴对称。（2）函数()yfx与函数)(xfy的图象关于直线x轴对称。（3）函数()yfx与函数)(xfy的图象关于原点对称。（4）函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线xy对称。（5）函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线xy对称。（6）函数)(xafy与函数)(xbfy的图象关于直线2abx对称。注意对比：函数)(xfy满足)()(xbfxaf，则)(xfy的图象关于直线2abx对称。（7）函数)(wxafy与函数)(wxbfy的图象关于直线wabx2对称。8.曲线图象的对称问题：（1）曲线0),(yxf关于直线bx对称曲线为：0),2(yxbf。（2）曲线0),(yxf关于直线0cyx对称曲线为：0),(cxcyf。（3）曲线0),(yxf关于直线0cyx对称曲线为：0),(cxcyf。（4）曲线0),(yxf关于点),(baP对称曲线为：0)2,2(ybxaf。59.若将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图象；若将曲线0),(yxf的图象右移a、上移b个单位，得到曲线0),(byaxf的图象。即：○1函数)(xfy的图象按),(kha平移后的图象的表达式是：)(hxfky；○2曲线0),(yxf按),(kha平移后的曲线的关系式是：0),(kyhxf。10.分数指数幂nmnmaa（0,,amnN，且1n）。nmnmaa1（0,,amnN，且1n）。11.指数式与对数式的关系是：)1,0(logaabNNaab且12.对数的换底公式:aNNmmalogloglog。推论bmnbanamloglog，abbalog1log。13.指数运算性质：○1nmaanma；○2=nma)(mna；○3=nab)(nnba；),,0,0(Rnmba对数运算性质：○1=)(MNlogaNMaaloglog；○2=NMlogaNMaaloglog；○3=naMlogMnalog；○4=aloga1，01loga。)1,0,0,0(aaNM且。14.指数函数和对数函数指数函数对数函数)1,0(aaayx且)1,0(logaaxya且图象XYO11YXO6性质(1)定义域：R(2)值域：),0((3)过定点：)1,0(即当0=x时,1=y.(4)当1a时，在R上是:单调递增函数；当10a时，在R上是：单调递减函数。(1)定义域：),0((2)值域：R(3)过定点：)0,1(即当=x1时，=y0(4)当1a时，在(0，+∞)上是：单调递增函数；当10a时，在(O，+∞)上是：单调递减函数。15.二次函数的解析式的三种形式①一般式：2()(0)fxaxbxca②顶点式：2()()(0)fxaxhka③两根式（也称零点式）：12()()()(0)fxaxxxxa16.几个函数的周期(约定0a)：（1）)()(axfxf，则)(xf的周期aT。（2）)()(xfaxf或)0)(()(1)(xfxfaxf，或)(1)(xfaxf)0)((xf,或)()(axfaxf,则)(xf的周期aT2。（3）)0)(()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期aT3。（4）若)(xfy是偶函数，其图像又关于直线ax对称，则)(xf是周期为||2a的周期函数。（5）若)(xfy)奇函数，其图像又关于直线ax对称，则)(xf是周期为||4a的周期函数。（6）若)(xfy的图象关于直线ax,bx)(ba对称，则函数)(xfy是周期为ba2的周期函数。（7）若)(xfy的图象关于ax对称，同时关于点)0,(b对称，（ab），则函数)(xfy是周期为||4ab。（8）若)(xfy的图象关于)0,(a对称，同时关于点)0,(b对称，（ab），则函数7)(xfy是周期为||2ab。17.设函数)0)((log)(2acbxaxxfm,记acb42，则有：（1）若)(xf的定义域为R,则0a，且0。（2）若)(xf的值域为R,则0a，且0。注意：对函数)(log)(2cbxaxxfm的定义域或值域为R的问题，要注意考虑0a的情况。18.平均增长率的问题：如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有(1)xyNp。19.你知道函数xbaxy)0,0(ba的单调区间吗？（该函数在ab,(或),[ab上单调递增；在)0,[ab或],0(ab上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！20.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系。籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。21.解恒成立问题常用方法：①分离参数法；②数形结合法；③交换主元法。你能清楚何时用何种方法吗？常见题型：①若)(xfm在],[bax上恒成立，则max)(xfm；若)(xfm在],[bax上恒成立，则min)(xfm。②若)(xfm在],[bax上有解，则min)(xfm；若)(xfm在],[bax上无解，则min)(xfm。（注：m为常数。）③)()(xgxf在],[bax上恒成立，是对于任意的],[bax，min)(xf必须大于max)(xg吗？应该怎样解？（不是。通常移项，使0)()()(minxgxfxh即可；若)(xh的最值无法求出，则考虑数形结合，只需在],[bax上)(xf的图像