max{f(x)-g(x)}型min{f(x)-g(x)}型函数例析

maxminfxgxfxgx、与、型函数例析宁夏西吉中学韩世强例12009宁夏理科数学（12）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x,x+2,10-x}(x0),则f（x）的最大值为（A）4（B）5（C）6（D）7【解析】画出y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x的图象，如右图，观察图象可知，当0≤x≤2时，f（x）＝2x，当2≤x≤3时，f（x）＝x＋2，当x＞4时，f（x）＝10－x，f（x）的最大值在x＝4时取得为6，故选C。.例2例2.定义新运算例如则函数的值域为()A.［-1,22］B.［0,22］C.［-1,2］D.［22,22］解析:方法一:当sinx≤cosx,即432k≤x≤42k(k∈Z)时,f(x)=sinx∈［-1,22］;当sinx＞cosx,即42k＜x＜432k(k∈Z)时,f(x)=cosx∈［-1,22］.∴函数f(x)的值域为［-1,22］.方法二:作出y=sinx,y=cosx的图象观察便知.答案:A例3.（06浙江卷）对a,bR,记max|a,b|=babbaa＜,,函数f（x）＝max||x+1|,|x-2||(xR)的最小值是.【考点分析】本题考查新定义函数的理解、解绝对值不等式，中档题。1xy2xy解一：由21212122xxxxx，故212211xxxxxf，其图象如右，则2312121minfxf。解二：当x－1时，|x＋1|＝－x－1，|x－2|＝2－x，因为（－x－1）－（2－x）＝－30，所以2－x－x－1；当－1x12时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝2－x，因为（x＋1）－（2－x）＝2x－10，x＋12－x；当12x2时，x＋12－x；当x2时，|x＋1|＝x＋1，|x－2|＝x－2，显然x＋1x－2；故2((,1)12([1,))2()11([,2))21([2,))xxxxfxxxxx据此求得最小值为32。选C【名师点拔】数学中考查创新思维，要求必须要有良好的数学素养。练习1：2011天津理科8．对实数a和b，定义运算“”：,1,,1.aababbab设函数222fxxxx，xR．若函数yfxc的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()．A．3,21,2B．3,21,4C．111,,44D．311,,44【解】由题设2232,1,23,12xxfxxxxx或画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为1,1A，31,24D，1,2B，33,24C，从图象中可以看出，直线yc穿过点C，点A之间时，直线yc与图象有且只有两个公共点，同时，直线yc穿过点B及其下方时，直线yc与图象有且只有两个公共点，所以实数c的取值范围是3,21,4．故选Ｂ．2．(2010·青岛模拟题)已知函数f(x)＝2－x2，g(x)＝x.若f(x)*g(x)＝min{f(x)，g(x)}，那么f(x)*g(x)的最大值是________．(注意：min表示最小值)解析：画出示意图(如图)．f(x)*g(x)＝2－x2(x≤－2)，x(－2x1)，2－x2(x≥1)，其最大值为1.答案：14．(2010年枣庄第一次质检)对任意实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝a(a≤b)b(ab)，则函数f(x)＝log12(3x－2)*log2x的值域为________．解析：在同一直角坐标系中画出y＝log12(3x－2)和y＝log2x两个函数的图象，由图象可得f(x)＝log2x(0x≤1)log12(3x－2)(x1)，值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0]5.（2009湖南卷文）设函数()yfx在(,)内有定义，对于给定的正数K，定义函数(),(),(),().KfxfxKfxKfxK取函数()2xfx。当K=12时，函数()Kfx的单调递增区间为【C】A．(,0)B．(0,)C．(,1)D．(1,)解:函数1()2()2xxfx，作图易知1()2fxK(,1][1,)x，故在(,1)上是单调递增的，选C.