中职数学立体几何部分重要题型练习

第1页共3页2020-3-21SZM立体几何重点例题例1：已知正三棱锥46ABCDABBC，，，E为CD中点①求证：CD平面ABE②求证：平面ACD平面ABE③求：二面角ACDB的余弦值④求：点A到平面BCD的距离⑤求：AB与平面BCD所成角的余弦值例2：在正三角形ABC中，ADBC于D，如图所示，沿AD折成二面角BADC后，12BCAB，求二面角BADC的大小.例3：已知SA正方形ABCD所在平面，O为AC与BD的交点，225ABSC，（1）求证：BDSCABCDEABCDABCDCDABSO第2页共3页2020-3-21SZM（2）求证：平面SBC平面SAB（3）求：点S到平面ABCD的距离（4）求：点S到直线BC的距离（5）求：直线SC与AB所成角的余弦值（6）求：直线SB与平面ABCD所成角的正切值（7）求：平面SAB与平面SAC所成的二面角的度数例4：已知正方体1111ABCDABCD中，E是AB的中点（1）求1BA与1CC夹角的度数；DABCD1A1B1C1E第3页共3页2020-3-21SZM（2）求1BA与1CB夹角的度数；（3）求1AE与1CB夹角的余弦例5：已知正方体1111ABCDABCD中，O是底面ABCD对角线的交点（1）求证：1//CO平面11ABD（2）求证：1AC平面11ABDCDBC1D1A1B1OA第4页共3页2020-3-21SZM立体几何重点例题答案例1：已知正三棱锥46ABCDABBC，，，E为CD中点①求证：CD平面ABE.证明：连接BEAE，，因为E为CD中点，在正三棱锥中ACADBCBD，所以AECDBECDAEBEE，且所以CD平面ABE.②求证：平面ACD平面ABE.证明：由上题可知，CD平面ABE又CD平面ACD所以平面ACD平面ABE.③求：二面角ACDB的余弦值.解：由AECDBECD，所以AEB即二面角ACDB的平面角在RtACE中，可求得221697AEACCE，在BCD中，可求得3363322BEBC所以2227271621cos272733AEBEABAEBAEBE所以所求二面角ACDB的余弦值为217.④求：点A到平面BCD的距离.解：过点A作AFBE于点F由CD平面ABE，得CDAF，又因为BECDE所以AF平面BCD所以AF即所求点A到平面BCD的距离由正三棱锥的定义可得，F是BCD的中心，也是重心可得22332333BFBE，2216122AFABBF所以所求点A到平面BCD的距离为2.⑤求：AB与平面BCD所成角的余弦值.解：由上题可知，AF平面BCD故BF为AB在平面BCD内的射影所以ABF即AB与平面BCD所成的角在ABF中，24AFAB，所以可知21sin42ABF所以30ABF，3coscos302ABF.例2：在正三角形ABC中，ADBC于D，如图所示，沿AD折成二面角BADC后，12BCAB，求二面角BADC的大小.解：由已知可得BDADCDAD，所以BDC即二面角BADC的平面角由正三角形ABC可得，12BDDCAB，又因为12BCAB所以BDDCBC，所以BDC为等边三角形故60BDC所以所求二面角BADC为60.例3：已知SA正方形ABCD所在平面，O为AC与BD的交点，225ABSC，（1）求证：BDSC.证明：因为SA正方形ABCD所在平面所以SABD又四边形ABCD为正方形所以BDAC，又SAACA所以BDSAC平面所以BDSC（2）求证：平面SBC平面SAB.证明：因为SA正方形ABCD所在平面ABCDEABCDABCDCDABSO第5页共3页2020-3-21SZM所以SABC，又因为BCAB，ABBCB所以BCSAB平面又BCSBC平面，所以平面SBC平面SAB.（3）求：点S到平面ABCD的距离.解：因为SA正方形ABCD所在平面所以SA即所求点S到平面ABCD的距离在RtSBC中，2225817SBSCBC所以在RtSAB中，221783SASBAB因此所求点S到平面ABCD的距离为3.（4）求：点S到直线BC的距离.解：由前面所证可知BCSAB平面，所以BCSB所以SB即所求点S到直线BC的距离由前可知17SB所以点S到直线BC的距离为17.（5）求：直线SC与AB所成角的余弦值.解：因为//ABCD所以SCD即SC与AB所成的角由前可知2232217SD所以2222581722cos252522SCCDSDSCDSCCD因此所求直线SC与AB所成角的余弦值为225.（6）求：直线SB与平面ABCD所成角的正切值.解：因为SA正方形ABCD所在平面所以AB即为SB在平面ABCD内的射影所以SBA即所求的直线SB与平面ABCD所成的角在RtSAB中，332tan422SASBAAB，即所求角的正切值为324.（7）求：平面SAB与平面SAC所成的二面角的度数.解：因为SA正方形ABCD所在平面所以SAACSAAB，所以CAB即二面角CSAB的平面角因为ABCD为正方形，所以45CAB即所求平面SAB与平面SAC所成的二面角的度数为45.例4：已知正方体1111ABCDABCD中，E是AB的中点（1）求1BA与1CC夹角的度数；（2）求1BA与1CB夹角的度数；（3）求1AE与1CB夹角的余弦.解：（1）因为11//BBCC所以11BBA即所求1BA与1CC的夹角因为四边形11BAAB为正方形所以1145BBA即所求1BA与1CC夹角的度数为45（2）连接111CDBD，因为1111//ADBCADBC且所以四边形11ADCB为平行四边形所以11//BACD所以11BCD即所求1BA与1CB所成的角易证1111BDCDBC所以1160BCD，即所求的1BA与1CB所成的角为60DABCD1A1B1C1E第6页共3页2020-3-21SZM（3）连接1ADED，，易证11//ADBC所以1DAE即所求的1AE与1CB所成的角设正方体的棱长为2则222222111252222125EDADAE，，所以2221111185510cos252225ADAEDEDAEADAE即所求角的余弦为105.例5：已知正方体1111ABCDABCD中，O是底面ABCD对角线的交点（1）求证：1//CO平面11ABD.（2）求证：1AC平面11ABD.证明：（1）连接11BCDC，因为1111//DDBBDDBB且所以四边形11BBDD为平行四边形所以11//DBDB又因为1111//DCABDCAB且所以四边形11ADCB为平行四边形所以11//ADBC所以可得平面11//ABD平面1BDC所以两平面没有公共点又因为11OCBDC平面所以111OCABD与平面没有公共点所以111OCABD//平面（2）连接1AD由已知可知正方形11ADDA中，11ADAD又因为CD平面11ADDA，所以1ADCD所以11ADADC平面，所以11ADAC同理，连接11AC可以证得1111111BDACBDCC，所以1111BDACC平面所以111BDAC所以111ACABD平面.CDBC1D1A1B1OA