高一数学第14课时：《直线与圆的位置关系》教案(苏教版)必修2

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\\\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓第二章平面解析几何初步第二节圆与方程第14课时直线与圆的位置关系【学习导航】知识网络学习要求1．依据直线和圆的方程，能熟练求出它们的交点坐标；2．能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系；3．理解直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系；4．会处理直线与圆相交时所得的弦长有关的问题；5．灵活处理与圆相交的问题．【课堂互动】自学评价1．直线与圆有一个交点称为相切，有两个交点称为相交，没有交点称为相离．2.设圆心到直线的距离为d，圆半径为r，当dr时，直线与圆相离，当dr时，直线与圆相切，当dr时，直线与圆相交．3.直线l与圆C的方程联立方程组，若方程组无解，则直线与圆相离，若方程组仅有一组解，则直线与圆相切，若方程组有两组不同的解，则直线与圆相交．【精典范例】例1：求直线4340xy和圆22100xy的公共点坐标，并判断它们的位置关系．分析：直线方程和圆的方程联立方程组即可【解】直线4340xy和圆22100xy的公共点坐标就是方程组224340100xyxy的解．解这个方程组，得1110,0,xy2214,548.5xy所以公共点坐标为1448(10,0),(,)55．直线4340xy和圆22100xy有两个公共点，所以直线和圆相交．听课随笔直线与圆的位置关系相离相切相交▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\\\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓例2：自点(1,4)A作圆22(2)(3)1xy的切线l,求切线l的方程．分析：根据点的坐标设出直线方程，再根据直线和圆相切求解．【解】法1：当直线l垂直于x轴时，直线:1lx与圆相离，不满足条件当直线l不垂直于x轴时，可设直线l的方程为4(1),ykx即(4)0kxyk如图，因为直线与圆相切，所以圆心(2,3)到直线l的距离等于圆的半径，故223(4)11kkk解得0k或34k．因此，所求直线l的方程是4y或34130xy法2：当直线l垂直于x轴时，直线:1lx与圆相离，不满足条件．当直线l不垂直于x轴时，可设直线l的方程为4(1),ykx由于直线l与圆相切，所以方程组224(1),(2)(3)1ykxxy仅有一组解．由方程组消去y，得关于x的一元二次方程2222(1)(224)240kxkkxkk，因为一元二次方程有两个相等实根，所以判别式2222(224)4(1)(24)0kkkkk解得0k或34k因此，所求直线l的方程是4y或34130xy．点评:该题用待定系数法先设直线方程，应注意直线的斜率是否存在的问题．本题给出了两种解法，可以看到用“几何法”来解题运算量要小的多．例3：求直线3230xy被圆224xy截得的弦长．分析：可利用圆心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的性质解题设直线3230xy与圆224xy交于【解】法1:如图，,AB两点，弦AB的中点为M，则OMAB（O为坐标原点），2200233,1(3)OM所以所以2222ABAMOAOM2222(3)2．法2:直线3230xy和圆224xy的公共点坐标就是方程组223230,4xyxy的解▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\\\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓解得113,1,xy220,2.xy所以公共点坐标为(3,1),(0,2),直线3230xy被圆224xy截得的弦长为22(30)(12)2追踪训练一1.求过圆224xy上一点(1,3)的圆的切线方程．答案：34xy．2.自点(2,2)A作圆22(2)(3)1xy的切线l,求切线l的方程．答案：2y．3.从圆22(1)(1)1xy外一点(2,3)P向圆引切线，求切线长．答案：2．【选修延伸】一、圆、切线、截距例4:已知圆22(2)(3)1xy，求该圆与x轴和y轴的截距相等的切线l的方程.分析：用待定系数法求解．【解】由题意设切线l与x轴和y轴的截距为a，b，则ab①0a时，设l的方程为1xyaa，即0xya，因为直线和圆相切，所以圆心(2,3)到直线l的距离等于圆的半径，故231,2a解得52a或52a所以l的方程为(52)0xy或(52)0xy②0a时，设l的方程为ykx，即0kxy所以22311kk，解得6233k或6233k所以l的方程为(6+23)30xy或(6-23)30xy综上所述：l的方程为(52)0xy或(52)0xy或(6+23)30xy或(6-23)30xy.点评:本题较为复杂，要讨论的情况比较多，解题过程中要注重分析．例5：若直线yxb与24xy恰有一个公共点，求实数b的取值范围.分析：由题意24xy可化为224xy(0)x表示一个右半圆，如图所示，对于yxb当b变化时所得的直线是互相平行的，由图可知1l与半圆有一个交点2l与半圆正好有两个交点，所以位于1l和2l之间的直线都与半圆只有一个交点，另外3l与半圆相切也符合题意听课随笔▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\\\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓24xy可化为224xy(0)x【解】由题意表示一个右半圆，如图所示直线1l的方程为：2yx，直线2l的方程为：2yx，因为直线3l与半圆相切，所以22b，解得22b所以直线3l的方程为：22yx，由图可知位于1l和2l之间的直线都与半圆只有一个交点，且3l与半圆相切，所以实数b的取值范围为：22b或22b点评:本题应用数形结合的方法去解题．思维点拔：在解决直线与圆的位置关系的问题时，我们通常采用“几何法”．例如，求与圆相切的直线方程时，先用待定系数法设出直线方程，然后根据dr即可求得．这种数形结合的思想贯穿了整个章节．追踪训练二1．已知圆222xy，求该圆与x轴和y轴的截距的绝对值相等的切线l的方程．答案：2yx或2yx．2．若直线yxb与24yx有两个不同的交点，求实数b的取值范围．答案：222b．学生质疑教师释疑