2016届二轮--统计、概率、算法、复数、推理与证明-阶段检测试题(全国通用)

第1页共18页阶段检测试题(六)(时间:120分钟满分:150分)【选题明细表】知识点、方法题号统计3,7,11统计案例4,6概率2,9,16算法5,8,15复数1,13推理与证明10,12,14,17,22综合问题18,19,20,21一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.复数m2-1+(m+1)i是纯虚数,则实数m的值为(B)(A)-1(B)1(C)±1(D)±2解析:若复数m2-1+(m+1)i是纯虚数,则m2-1=0且m+1≠0,解得m=±1且m≠-1,解得m=1,故选B.2.从3个红球、2个白球中随机取出2个球,则取出的2个球不全是红球的概率是(C)(A)(B)(C)(D)第2页共18页解析:“取出的2个球全是红球”记为事件A,则P(A)=.因为“取出的2个球不全是红球”为事件A的对立事件,所以其概率为P()=1-P(A)=1-=.故选C.3.(2016常德一模)现有某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别有150件、120件、180件、150件.为了调查产品的情况,需从这600件产品中抽取一个容量为100的样本,若采用分层抽样,设甲产品中应抽取产品件数为x,且此次抽样中,某件产品A被抽到的概率为y,则x,y的值分别为(D)(A)25,(B)20,(C)25,(D)25,解析:根据题意得=,解得x=25.由于分层抽样的每个个体被抽到的概率相等,所以y==.故选D.4.(2016高安市校级一模)为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算χ2=8.01,则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为(C)(A)0.1%(B)1%(C)99%(D)99.9%第3页共18页P(χ2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828解析:因为χ2=8.016.635,对照表格可知,有99%的把握说“喜欢乡村音乐与性别有关系”.故选C.5.(2016开封二模)给出一个如图所示的流程图,若要使输入的x值与输出的y值相等,则这样的x值的个数是(C)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:当x≤2时,由x2=x得x=0,1满足条件;当2x≤5时,由2x-3=x得x=3满足条件;当x5时,由=x得x=±1,不满足条件,所以这样的x值有3个.故选C.6.(2016济南一模)某餐厅的原料费支出x与销售额y(单位:万元)之间有如下数据,根据表中提供的全部数据,用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为y=8.5x+7.5,则表中的m的值为(C)第4页共18页x24568y2535m5575(A)50(B)55(C)60(D)65解析:由题意,==5,==38+.因为y关于x的线性回归方程为y=8.5x+7.5,根据线性回归方程必过样本点的中心,得38+=8.5×5+7.5,所以m=60.故选C.7.(2016福州一模)如图是某篮球联赛中,甲、乙两名运动员12个场次得分的茎叶图.设甲、乙两人得分的平均数分别为,,中位数分别为m甲,m乙,则(C)(A),m甲m乙(B),m甲m乙(C),m甲m乙(D),m甲m乙解析:由题意,=(8+10+15+16+23+25+26+27+27+28+31+32)≈22.3,=(8+12+14+14+17+17+18+19+21+27+28+29)≈18.7,第5页共18页中位数分别为m甲=25.5,m乙=17.5,所以,m甲m乙,故选C.8.(2016重庆模拟)如图给出的是计算+++…+的值的一个程序框图,则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是(C)(A)i100,n=n+1(B)i100,n=n+2(C)i50,n=n+2(D)i≤50,n=n+2解析:经第一次循环得到的结果是经第二次循环得到的结果是经第三次循环得到的结果是据观察S中最后一项的分母与i的关系是分母=2(i-1),令2(i-1)=100,解得i=51,即需要i=51时输出,故图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句分别是i50,n=n+2.故选C.9.(2016赤峰模拟)抛掷两枚质地均匀的骰子,向上的点数之差的绝对值为3的概率是(A)第6页共18页(A)(B)(C)(D)解析:抛掷两枚质地均匀的骰子的基本事件共36个:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6);而向上的点数之差的绝对值为3的基本事件有6个:(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3),所以向上的点数之差的绝对值为3的概率是=.10.在R上定义运算:=ad-bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为(D)(A)-(B)-(C)(D)解析:据已知定义可得不等式x2-x-a2+a+1≥0恒成立,故Δ=1-4(-a2+a+1)≤0,解得-≤a≤,故a的最大值为.11.(2016黄冈模拟)一组数据中的每一个数据都乘以2,再都减去80,得一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是(A)第7页共18页(A)40.6,1.1(B)48.8,4.4(C)81.2,44.4(D)78.8,75.6解析:记原数据依次为x1,x2,x3,…,xn,则新数据依次为2x1-80,2x2-80,2x3-80,…,2xn-80,且=1.2,因此有==40.6,结合各选项知正确选项为A.12.(2016漳州二模)对于定义域为D的函数y=f(x)和常数C,若对任意正实数ξ,存在x∈D,使得0|f(x)-C|ξ恒成立,则称函数y=f(x)为“敛C函数”.现给出如下函数:①f(x)=x(x∈Z);②f(x)=()x+1(x∈Z);③f(x)=log2x;④f(x)=.其中为“敛1函数”的有(C)(A)①②(B)③④(C)②③④(D)①②③解析:对于函数①,取ξ=,因为x∈Z,找不到x,使得0|x-1|成立,所以函数①不是“敛1函数”;对于函数②,当x→+∞时,()x→0,所以()x+1→1,所以对任意的正数ξ,总能找到一个足够大的正整数x,使得0|f(x)-1|ξ成立,第8页共18页故函数②是“敛1函数”;对于函数③,当x→2时,log2x→log22=1,所以对于无论多大或多小的正数ξ,总会找到一个x,使得0|f(x)-1|ξ成立,故函数③是“敛1函数”;对于函数④,函数式可化为y=1-,所以当x→+∞时,→0,即1-→1,所以对于无论多小的正数ξ,总会找到一个足够大的正数x,使得0|f(x)-1|ξ成立,故故函数④是“敛1函数”.故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若复数z=(m-1)+(m-2)i(m∈R)是纯虚数,则复数z在复平面内对应的点的坐标为.解析:因为z=(m-1)+(m-2)i(m∈R)是纯虚数,所以解得m=1.所以z=-i,则复数z在复平面内对应的点的坐标为(0,-1),答案:(0,-1)14.(2016南昌二模)观察下面数表:第9页共18页1357911131517192123252729……设1027是该表第m行的第n个数,则m+n等于.解析:根据上面数表的数的排列规律,1,3,5,7,9…都是连续奇数,第一行1个数,第二行2=21个数,且第1个数是3=22-1,第三行4=22个数,且第1个数是7=23-1,第四行8=23个数,且第1个数是15=24-1,…第10行有29个数,且第1个数是210-1=1023,第2个数为1025,第3个数为1027,所以1027是第10行的第3个数,所以m=10,n=3,所以m+n=13.答案:1315.执行如图所示的程序框图,输入l=2,m=3,n=5,则输出的y的值是.第10页共18页解析:由输入l=2,m=3,n=5,计算得出y=278105,由此得到y=173105,再循环一次得到y=68105,所以输出68.答案:6816.(2016宣武模拟)曲线C的方程为+=1,其中m,n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数,事件A=“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”,那么P(A)=.解析:试验中所含基本事件个数为36;若想表示椭圆,则先后两次的骰子点数不能相同,则去掉6种可能,又椭圆焦点在x轴上,故mn,故只剩下一半情况,即有15种,因此P(A)==.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分)第11页共18页17.(本小题满分10分)先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:已知a1,a2∈R,a1+a2=1,求证:+≥.证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,f(x)=2x2-2(a1+a2)x++=2x2-2x++.因为对一切x∈R,恒有f(x)≥0,所以Δ=4-8(+)≤0,从而得+≥.(1)若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,请写出上述问题的推广式;(2)参考上述证法,对你推广的问题加以证明.(1)解:若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1.求证:++…+≥.(2)证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2=nx2-2(a1+a2+…+an)x+++…+=nx2-2x+++…+.因为对一切x∈R,都有f(x)≥0,所以Δ=4-4n(++…+)≤0,从而证得++…+≥.18.(本小题满分12分)(2016南昌市一模)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况,在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取50个进行调研,按成绩分组:第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第12页共18页第5组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示,若要在成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查.(1)已知学生甲和学生乙的成绩均在第5组,求学生甲或学生乙被选中复查的概率;(2)在已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受篮球项目的考核,求其中一人在第3组,另一人在第4组的概率.解:(1)设“学生甲或学生乙被选中复查”为事件A,第3组人数为50×0.06×5=15,第4组人数为50×0.04×5=10,第5组人数为50×0.02×5=5,根据分层抽样知,第3组应抽取3人,第4组应抽取2人,第5组应抽取1人,所以P(A)=.(2)记第3组选中的三人分别是A1,A2,A3,第4组选中的二人分别为B1,B2,第5组选中的人为C,从这六人中选出两人,有以下基本事件:A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A1C,A2A3,A2B1,A2B2,A2C,A3B1,A3B2,A3C,B1B2,B1C,B2C,共15个基本事件,第13页共18页符合一人在第3组,另一人在第4组的基本事件有A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,共6个,所以所求概率P==.19.(本小题满分12分)某游艇制造厂研发了一种新游艇,今年前5个月的产量如下:月份x12345游艇数y(艘)23578(1)设y关于x的回归直线方程为y=bx+a.现根据表中数据已经正确计算出了b的值为1.6,试求a的值,并估计该厂6月份的产量;(计算结果精确到1)(2)质检部门发现该厂1月份生产的游艇存在质量问题,要求厂家召回;现有一旅游公司曾向该厂购买了今年前两个月生产的游艇2艘,求该旅游公司有游艇被召回的概率.解:(1)==3,==5.因为回归直线y=bx+a过点(,),所以a=-a=5-1.6×3=0.2,所以y=1.6x+0.2,当x=