因式分解在实际生活中的应用

1/3因式分解在实际生活中的应用因式分解是把一个多项式写成几个整式乘积的形式，如果从运算角度上考虑，也就是把一个和在保持大小不变的条件下，写成一个乘积的形式，而有些运算积比和算起来要简单，因此因式分解在解决实际问题中有着重要应用．一、提取公因式法的应用例1某市为适应经济的快速发展，现需要将一条长3300m的道路重新拓宽，预计3个月完成，已知第一个月完成34%，第二月完成36%，问这两个月共完成多少米的拓宽任务？分析：总共有3300m的道路，第一个月完成了34%，即完成了3300×34%第二月完成了36%，即完成了3300×36%，两个月共完成了3300×34%+3300×36%，如果直接运算的话，显然麻烦些，如果将3300×34%+3300×36%提取公因式，就简单多了．解：3300×34%+3300×36%=3300（34%×36%）=3300×70%=2310所以这两个月共完成2310m拓宽任务．例2在电学公式：U=IR1+IR2+IR3，当R1=12.9R2=18.5R3=18.6，I=2时，求U的值分析：直接代入数值，U=IR1+IR2+IR3=2×12.9+2×18.5+2×18.6，如果直接计算，太麻烦，不妨提取公因式解：当R1=12.9R2=18.5R3=18.6，I=2时U=IR1+IR2+IR3=2×12.9+2×18.5+2×18.6=2×（12.9+18.5+18.6）=2×50=100评注：某些实际问题，如果列出代数式中，含有公因式，而且提取公因式后，另一因式能够凑整，用提取公因式计算较简单．二、平方差公式的应用例3学校在一块边长为13.2m的正方形场地，准备在四个角落各建一个边长为3.4m的正方形喷水池，剩余的部分修成绿地，若购买130m2的草坪，够不够铺绿地？2/3分析：原有的面积为13.22，四个正方形水池的面积为4×3.42，剩余部分的面积为13.22-4×3.42，如果先乘方，再减法，运算量较大，如果按照平方差公式分解因式，较简单解：依题意得13.22-4×3.42=13.22-（2×3.4）2=13.22-6.82=（13.2+6.8）（13.2-6.8）=20×6.4=128因为130128所以购买130m2的草坪，够铺绿地．例4一种圆筒状包装的保鲜膜，如下图所示，其规格为“2060cmm”，经测量这筒保鲜膜的内径φ1、外径φ的长分别为cm6.3、cm4.4，则该种保鲜膜的厚度约为_____cm（取3.14，结果保留两位有效数字）．分析：圆筒状包装的保鲜膜展开与未展开体积是相同的．设厚度为xcm，展开时体积为x×20×6000(cm3)未展开的体积为20×3.14×2)24.4(-20×3.14×2)26.3(解：设设厚度为xcm，依题意得x×20×6000=20×3.14×2)24.4(-20×3.14×2)26.3(x×20×6000=20×3.14×（2.22-1.82）6000x=3.14×（2.2+1.8）（2.2-1.8）6000x=5.024解之得x=8.4×10-4评注：如果由实际问题得到的代数式，满足平方差公式的结构特点，而且分解后，两个数的和或两个数的差运算较简单，通常应用平方差公式．三、完全平方公式的应用例5达活泉公园有一块长为51.2m的正方形绿地，为了便于游人通行，决定修两条互相垂直的小路，如图小路宽1.2m，问剩余绿地的面积是多少？分析：用整块绿地的面积减去小路的面积就是剩余绿地的面积解：51.22-（2×1.2×51.2-1.22）3/3=51.22-2×1.2×51.2+1.22=（51.2-1.2）2=502=2500所以剩余绿地的面积为2500m2评注：由实际问题列出的代数式满足完全平方公式的结构特点，且写成两个数和或两个数的差的平方又容易计算，通常应用完全平方公式．四、因式分解的综合应用例6（05年浙江）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式44yx，因式分解的结果是))()((22yxyxyx，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x－y)=0，(x+y)=18，(x2+y2)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式234xyx，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是：(写出一个即可)．分析：按照原理，需把4x3y-xy3分解因式，再代入求值，就可以产生密码解：4x3y-xy3=x(4x2-y2)=x(2x+y)(2x-y)当x=10，y=10，各因式的值是：x=10，(2x+y)=30，(2x-y)=10又因为这六个数字不考虑顺序，所以产生的密码为103010；101030；301010评注：在进行因式分解时，首先提取公因式，然后再考虑用公式，注意每一个因式要分解彻底．