矩形-菱形-正方形联系与区别

1/2第2版：矩形，菱形，正方形的联系与区别一、矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，理清它们的区别与联系是本节的重点，也是本章的难点。看下面的从属关系并完成列表，可以帮你理清它们的区别与联系。（1）从属关系：（2）列表比较边角对角线对称性面积公式矩形菱形正方形二、例题剖析：[例1]已知矩形的两条对角线的一个交角为120°，一条对角线与较短边的和为12cm，求对角线的长。提示：利用矩形的对角线的性质以及∠AOD是△AOB的一个外角，得到△AOB是等边三角形等知识。分析与解：∵四边形ABCD为矩形∴AC=BDAO=DO=OC=OB∠BAD=90°（矩形的对角线互相平分且相等）∵∠AOD=120°∴∠OAB=∠ABO=60°∴△AOB是等边三角形∴AB=OA=OB∵AB+BD=12∴AB+OA+OB=12∴OA=OB=AB=4∴BD=AC=8（cm）答：对角线长为8cm。点拨：（1）找到BD与AB的关系是解决问题的关键（2）在特殊四边形中，相关的计算问题可放到特殊三角形中。[例2]已知：如图矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE∥BD，DE∥AC求证：四边形AODE是菱形提示：结合条件，要想证明四边形AODE是菱形，先证明四边形AODE是平行四边形，再证明有两条线段相等。分析与解：2/2证明：∵矩形ABCD中对角线AC、BD交于O∴AC=BD即AO=DO又∵AE∥BD、DE∥AC，∴四边形AODE是平行四边形∴四边形AODE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）点拨：（1）菱形判定方法要牢记。（2）特殊四边形的对角线所具有的性质异同点要很明确。[例3]如图，P是对角线为4的正方形ABCD的边AD上的一点，且PE⊥AC，PF⊥BD，则PE+PF=。提示：只要将△AOD分割成两个△AOP和△DOP，利用面积去做。分析与解：因为四边形ABCD是正方形,所以OA=OB=OC=OD=2,且OA⊥OD,因为S△AOD=S△AOP+S△POD,所以×2×2=(AO×PE+DO×PF2=×2×PE+×2×PF,所以PE+PF=2点拨:本题用到了分割法算面积,掌握这点是解决此题的关键.本题也可以通过证明四边形PEOF是矩形,得到PE=OF,再证明△PFD是等腰三角形,得到PF=FD,所以就把PE+PF转化成了线段OD的长了,所以PE+PF=2思维总结：学习矩形、菱形、正方形的区别和联系应注意把握以下两个方面：（1）转化的思想：在矩形、菱形、正方形中有许多相等的角，相等的边，要关注边、角的等量关系的相互转化。（2）多角度考虑的思想：在这部分内容的证明题中，往往有许多独特的做法。要注意证明方法的多样性，比较证明的方法的异同，提高自己的逻辑思维水平。O_F_B_A_C_P_E_D