高二数学上期末试题

第1页（共19页）高二数学（上）期末试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．给出的四个命题，其中正确的是（）A．∃x0∈R，x+2x0+2=0B．∀x∈N，x3＞c2C．若x＞1，则x2＞1D．若a＞b，则a2＞b22．命题p：若sinx＞siny，则x＞y；命题q：x2+y2≥2xy，下列命题为假命题的是（）A．p或qB．p且qC．qD．￢p3．已知{a，b，c}是空间一个基底，则下列向量可以与向量=+，=﹣构成空间的另一个基底的是（）A．B．C．D．+24．双曲线4x2﹣y2+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P到另一个焦点的距离等于（）A．17B．16C．15D．135．已知向量=（﹣2，x，1），=（4，﹣2，x），若⊥，则实数x的值为（）A．2B．﹣2C．8D．﹣86．方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（）A．0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D．0＜a≤1或a＜07．过焦点在x轴上的椭圆+=1的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，若△AF1B的周长为20，则实数m的值为（）A．5B．25C．10D．1008．若空间向量=（1，﹣2，1），=（1，0，2），则下列向量可作为向量，所在平面的一个法向量的是（）A．（4，﹣1，2）B．（﹣4，﹣1，2）C．（﹣4，1，2）D．（4，﹣1，﹣2）9．在直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AB=AC=2，AA′=3，AB⊥AC，E为棱B′C′的中点，F为侧棱CC′上一点，若CE⊥AF，则AF与平面ABB′A′所成的角的正切值为（）第2页（共19页）A．3B．C．D．10．已知椭圆C1：（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则椭圆C1的离心率为（）A．e2=B．e2=C．e2=D．e2=二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．命题“∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0”的否定是．12．方程（t﹣2）x2+（3﹣t）y2=（t﹣2）（3﹣t）（t∈R）表示双曲线的充要条件是．13．如图，点M是以F为焦点的抛物线x2=8y上一点，若∠MFy=60°，则|FM|=．14．给出下列四个命题：①如果两个命题互为逆否命题，那么它们的真假性相同；②命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题为真命题；③已知点A（﹣1，0），B（1，0），若|PA|﹣|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线的一支；④对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若=x+y+z，则x+y+z=1是四点P，A，B，C共面的充要条件．其中所有正确的命题的序号为．15．如图，P是二面角α﹣AB﹣β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式（）|x﹣1|≥a的解集为Ф，命题q：函数f（x）=的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q为假”，求a的取值范围．第3页（共19页）17．（12分）已知双曲线x2﹣=1，过点P（1，1）能否做一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？若能，求出直线l的方程，若不能，说明理由．18．（12分）如图所示的四面体OABC中，OA=OB=OC=a，∠AOB=90°，∠BOC=∠AOC=60°，点M，N分别是AB，OC的中点，点S是MN上靠近点N的三等分点．（1）试用，，表示；（2）求异面直线CM和BN所成角的余弦值．19．（12分）已知顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线C过点（2，﹣2）．（1）求抛物线C的方程；（2）若抛物线C与过点P（0，﹣1）的直线l相交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA和OB的斜率之和为2，求直线l的方程．20．（13分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，点E，F分别是棱BC，CD上的动点．（1）当BE=CF时，求证：B′F⊥D′E；（2）若点E为BC的中点，在棱CD上是否存在点F，使二面角C′﹣EF﹣C的余弦值为？若存在，请确定点F的位置，若不存在，说明理由．21．（14分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，点（0，）是椭圆与y轴的一个交点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于是第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点；第4页（共19页）①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的取值范围；②当点A，B在椭圆上运动，且满足∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由．第5页（共19页）高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．（2015秋•烟台期末）给出的四个命题，其中正确的是（）A．∃x0∈R，x+2x0+2=0B．∀x∈N，x3＞c2C．若x＞1，则x2＞1D．若a＞b，则a2＞b2【分析】分别判断选项，即可得到答案．【解答】解：对于A，△=4﹣4×2＜0，方程无解，故A不正确，对于B，当x=1，2时即不成立，故B不正确，对于C，若x＞1，则x2＞1，正确，故C正确，对于D，当a=1，b=﹣2时不成立，故D不正确，故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，属于基础题．2．（2016•武汉模拟）命题p：若sinx＞siny，则x＞y；命题q：x2+y2≥2xy，下列命题为假命题的是（）A．p或qB．p且qC．qD．￢p【分析】根据正弦函数的图象即可判断出sinx＞siny时，不一定得到x＞y，所以说命题p是假命题，而根据基本不等式即可判断出命题q为真命题，然后根据￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系即可找出正确选项．【解答】解：x=，y=π，满足sinx＞siny，但x＜y；∴命题p是假命题；x2+y2≥2xy，这是基本不等式；∴命题q是真命题；∴p或q为真命题，p且q为假命题，q是真命题，￢p是真命题；∴是假命题的是B．故选B．【点评】考查正弦函数的图象，能够取特殊角以说明命题p是假命题，熟悉基本不等式：a2+b2≥2ab，a=b时取“=”，以及￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系．3．（2015秋•烟台期末）已知{a，b，c}是空间一个基底，则下列向量可以与向量=+，=﹣构成空间的另一个基底的是（）A．B．C．D．+2【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可判断出结论．第6页（共19页）【解答】解：由题意和空间向量的共面定理，结合向量+=（+）+（﹣）=2，得与、是共面向量，同理与、是共面向量，所以与不能与、构成空间的一个基底；又与和不共面，所以与、构成空间的一个基底．故选：C．【点评】本题考查了空间向量的共面定理与应用问题，是基础题．4．（2015秋•烟台期末）双曲线4x2﹣y2+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P到另一个焦点的距离等于（）A．17B．16C．15D．13【分析】先把双曲线方程转化为标准方程，求出a，再由已知条件，利用双曲线的定义能求出结果．【解答】解：∵双曲线4x2﹣y2+64=0，∴双曲线的标准方程是，∴a=8，c=4，双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于1，设点P到另一个焦点的距离为x，则由双曲线定义知：|x﹣1|=16，解得x=17，或x=﹣15（舍）．∴点P到另一个焦点的距离是17．故选：A．【点评】本题考查双曲线上一点到焦点距离的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线性质．5．（2015秋•烟台期末）已知向量=（﹣2，x，1），=（4，﹣2，x），若⊥，则实数x的值为（）A．2B．﹣2C．8D．﹣8【分析】根据向量⊥，得出•=0，列出方程求出x的值．【解答】解：向量=（﹣2，x，1），=（4，﹣2，x），且⊥，第7页（共19页）所以•=﹣2×4﹣2x+x=0，解得x=﹣8．故选：D．【点评】本题考查了两向量垂直，它们的数量积等于0的应用问题，是基础题．6．（2011•振兴区校级模拟）方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（）A．0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D．0＜a≤1或a＜0【分析】首先，对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，然后在二次项系数不为0时，分两根一正一负和两根均为负值两种情况，最后将两种情况综合在一起找到a所满足的条件a≤1，再利用上述过程可逆，就可以下结论充要条件是a≤1．【解答】解：①a≠0时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则由两根之积小于0可得a＜0；若方程有两个负的实根，则必有，故0＜a≤1．②若a=0时，可得x=﹣也适合题意．综上知，若方程至少有一个负实根，则a≤1．反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一负的实根的充要条件是a≤1．故选C．【点评】本题主要考查一个一元二次根的分布问题，属于中档题．在二次项系数不确定的情况下，注意一定要分二次项系数分为0和不为0两种情况讨论．7．（2015秋•烟台期末）过焦点在x轴上的椭圆+=1的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，若△AF1B的周长为20，则实数m的值为（）A．5B．25C．10D．100【分析】由题意可得椭圆的a=，由椭圆的定义可得AF1+AF2=BF1+BF2=2a，可得△AF1B的周长为4a，解方程可得m．【解答】解：由题意可得椭圆+=1的a=，b=4，由椭圆的定义可得AF1+AF2=BF1+BF2=2a，即有△AF1B的周长为AB+AF1+AF2=AF1+AF2+BF1+BF2=4a，由4=20，解得m=25．故选：B．【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆定义法的运用，考查运算能力，属于基础题．第8页（共19页）8．（2015秋•烟台期末）若空间向量=（1，﹣2，1），=（1，0，2），则下列向量可作为向量，所在平面的一个法向量的是（）A．（4，﹣1，2）B．（﹣4，﹣1，2）C．（﹣4，1，2）D．（4，﹣1，﹣2）【分析】设向量，所在平面的一个法向量为，则，列出方程组求出的一个值即可判断出结果．【解答】解：设向量，所在平面的一个法向量为=（x，y，z），则，即；令z=2，则x=﹣4，y=﹣1，∴=（﹣4，﹣1，2）．故选：B．【点评】本题考查了求空间平面的法向量的应用问题，是基础题目．9．（2015秋•烟台期末）在直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AB=AC=2，AA′=3，AB⊥AC，E为棱B′C′的中点，F为侧棱CC′上一点，若CE⊥AF，则AF与平面ABB′A′所成的角的正切值为（）A．3B．C．D．【分析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AF与平面ABB′A′所成的角的正切值．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=AC=2，AA′=3，AB⊥AC，E为棱B′C′的中点，F为侧棱CC′上一点，CE⊥AF，∴B′（2，0，3），C′（0，2，3），E（1，1，3），C（0，2，0），设F（0，2，t），0＜t＜3，则=（1，﹣1，3），=（0，2，t），第9页（共19页）∵CE⊥AF，∴=﹣2+3t=0，解得t=．∴=（0，2，），∵平面ABB′A′的法向量=（0，1，0），设AF与平面ABB′A′所成的角为θ，则sinθ===，∴cos=，tanθ==3．∴AF与平面ABB′A′所成的角的正切值为3．故选：A．【点评】本题考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．10．（2015秋•烟台期末）已知椭圆C1：（a＞b＞0）