理论力学(第9章)

第9章动量矩定理第9章动量矩定理理论力学第9章动量矩定理9.2动量矩9.3动量矩定理的推导和举例9.4刚体定轴转动微分方程第9章动量矩定理9.5相对质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程动力学9.1刚体对轴的转动惯量第9章动量矩定理9.1刚体对轴的转动惯量9.1.1转动惯量的一般公式如图所示，已知刚体上任一点的质量为mi，与轴z的距离为ri，则各点质量mi与ri2的乘积之和定义为刚体对轴的转动惯量，记为Jz。即2iizrmJ对于质量连续体，可写成积分形式，即mrJizd2转动惯量是一恒为正值的标量，单位：kgm2。1.转动惯量第9章动量矩定理9.1刚体对轴的转动惯量9.1.1转动惯量的一般公式2.回转半径（或称惯性半径）刚体对任一轴z的回转半径或惯性半径为mJzz若已知刚体对某轴z的回转半径ρz和刚体的质量m，则其转动惯量可按下式计算2zzmJ第9章动量矩定理北京建筑工程学院唐晓雯3.简单形体绕质心轴的转动惯量均质细圆环均质薄圆盘均质细长杆CmrCmrCml2mrJC221mrJC2121mlJC9.1刚体对轴的转动惯量9.1.1转动惯量的一般公式第9章动量矩定理9.1刚体对轴的转动惯量9.1.2转动惯量的平行移轴定理刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。即式中，Jz—表示刚体对任一轴z的转动惯量；JzC—为刚体对通过质心C且与z轴平行的轴zC的转动惯量；m—为刚体的质量；d—为z与zC轴之间的距离。2mdJJzCz第9章动量矩定理9.1刚体对轴的转动惯量例9-1均质细圆环质量为m1，半径为r，其上固结一质量为m2的均质细杆AB，系统在铅垂面内以角速度，绕过点O并垂直于图面的z轴转动。已知∠C1AB=60，求系统对z轴的转动惯量。第9章动量矩定理9.1刚体对轴的转动惯量1.圆环对z轴的转动惯量解：2221mrmrJJzCOz环2.杆对z轴的转动惯量22222)3611()23(12mrrrmmrmdJJzCOz杆3.系统对z轴的转动惯量2)3623(mrJJJOZOzOz环杆第9章动量矩定理9.2动量矩质点Q的动量mv对点O的矩，定义为质点Q对点O的动量矩。即上式投影到各坐标轴可得动量mv对各坐标轴的矩。9.2.1质点的动量矩1.对点的动量矩2.对轴的动量矩)()()]([)()()]([)()()]([xyzzOzxyyOyzxxOyvxvmmMmxvzvmmMmzvyvmmMmvvMvvMvvMvrvMmmO)(第9章动量矩定理LO=∑MO(mv)=∑rmv类似的可得质点系对各坐标轴的动量矩表达式质点系内各质点对某点O的动量矩的矢量和，称为这质点系对该点O的动量主矩或动量矩。用LO表示，有1.对点的动量矩2.对轴的动量矩9.2.2质点系的动量矩Lx=∑Mx(mv)=∑m(yvzzvy)Ly=∑My(mv)=∑m(zvxxvz)Lz=∑Mz(mv)=∑m(xvyyvx)9.2动量矩第9章动量矩定理平动刚体对质心的为动量矩LC=0，故由1.平动刚体CCmvrLOCCCmLvrLO得9.2.3刚体的动量矩即，平动刚体任一点的动量矩，等于将其质量集中在质心时，质心的动量对该点的矩。9.2动量矩第9章动量矩定理iiiiOmvrLCmixzyOviriCmr)(COOmvMLrCCiiiOmvrL)(CivvCCOmvrLmCv1.平动刚体9.2.3刚体的动量矩9.2动量矩第9章动量矩定理设刚体以角速度绕固定轴z转动，刚体内任一点A的质量为m，转动半径为ri，则刚体对轴z的动量矩为即可见，作定轴转动的刚体对转轴的动量矩，等于该刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。2.定轴转动刚体9.2动量矩ziiiiiiizzJrmrvmmML2)(vzzJL9.2.3刚体的动量矩第9章动量矩定理设平面运动刚体具有质量对称平面Cx'y'，且该对称平面在固定平面Oxy内运动，则刚体对点O动量矩的动量矩等于对轴z的动量矩。由其中LC=JC，最后可得3.平面运动刚体CCCmLvrLO可得CCOOL)(mvMLωJ)(mvMLCCOO13.1动量矩9.2.3刚体的动量矩第9章动量矩定理例9-2如图所示，系统由滑轮A、B及物块C组成。已知：滑轮A的质量为m1、半径为R、转动惯量为J1，滑轮B的质量为m2、半径为r、转动惯量为J2，且R=2r，物块C的质量为m3、速度为v，绳与滑轮之间不打滑。求图示瞬时系统对O轴的动量矩。9.2动量矩第9章动量矩定理解：9.2动量矩滑轮A绕O做定轴转动，其动量矩为：11JLAO滑轮B做平面运动，其动量矩为：rvmJLOBO1222物块C做平动，其动量矩为：vrmLCO31225.05.01RRrvvO所以，系统对O轴的动量矩为：rvmmrJJLLLLCOOAOO32221B因为：第9章动量矩定理9.3动量矩定理9.3.1质点的动量矩定理右边=将其两端用质点的矢径r作矢积，得Frvr)(ddmt)(iOFMFv)(ddmt左边可改写为vrvrvrmtmtmtdd)(dd)(ddvrvΜmtmtOdd)]([dd第9章动量矩定理9.3动量矩定理9.3.1质点的动量矩定理因而上式第二项等于零，于是得到vrvrvrmtmtmtdd)(dd)(ddvrvΜmtmtOdd)]([ddvrtdd当矩心O固定时)()]([ddFMvΜOOmt第9章动量矩定理9.3动量矩定理9.3.1质点的动量矩定理)()]([dd)()]([dd)()]([ddFvFvFvzzyyxxMmMtMmMtMmMt将上式投影到固定坐标轴系上，则得结论质点对某固定点（或固定轴）的动量矩对时间的导数,等于作用于质点的力对该点（或该轴）的矩。—质点的动量矩定理。)()]([ddFMvΜOOmt第9章动量矩定理对于质点系有其中可分为外力对O点的矩和内力对O点的矩二项)(FMO即)()()(ie）（）（iOiOiOFMFMFM而内力对O点的矩0)()i(iOFM所以有)()]([ddiOiiOmtFMvΜ)()]([dd)e(iOiiOmtFMvΜ9.3动量矩定理9.3.2质点系的动量矩定理第9章动量矩定理9.3动量矩定理)()]([dd)e(iOiiOmtFMvΜtmtmtOOdd)]([dd)]([ddOLvΜvΜ注意到所以有)(dd)e(iOtFMLO)(dd)(dd)(dd)e()e()e(izziyyixxMtLMtLMtLFFF将上式投影到固定坐标轴系上，则得9.3.2质点系的动量矩定理第9章动量矩定理13.2动量矩定理的推导和举例)(dd)e(iOtFMLO)(dd)(dd)(dd)e()e()e(izziyyixxMtLMtLMtLFFF结论质点系对某固定点（或固定轴）的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的全部外力对该点（或该轴）的矩的矢量和（或代数和）——质点系的动量矩定理。9.3.2质点系的动量矩定理第9章动量矩定理北京建筑工程学院唐晓雯则常量常矢)()(vvMmMmxO若作用于质点上的力对某定点(或某定轴）的矩为零，则质点对该点（或轴）的动量矩保持不变——质点动量矩守恒定律。1.质点动量矩守恒定理0)(FMO0)(FxM或若9.3动量矩定理9.3.3动量矩守恒定理结论第9章动量矩定理9.3动量矩定理(1)如果∑MO(Fi（e))0，则由上面第一式可知，LO=常矢量。(2)如果∑Mz(Fi（e）)0，则由上面第二式可知，Lz=常量。)(dd)e(izzMtLF对定点的动量矩定理)(dd)e(iOOMtFL对定轴的动量矩定理结论当作用于质点系的所有外力对某固定点(或固定轴)的主矩始终等于零,则质点系对该点(或该轴)的动量矩保持不变——质点系的动量矩守恒定理。9.3.3动量矩守恒定理2.质点系动量矩守恒定理第9章动量矩定理9.3动量矩定理例9-3半径为r的定滑轮可绕过质心的固定轴O(z)转动，该轮对轴O(z)的转动惯量为Jz。在滑轮上绕一柔软的绳子，其两端各系一重为W1和W2的重物A和B，且WlW2，如图所示。求此两重物的加速度和滑轮的角加速度。第9章动量矩定理9.3动量矩定理解:取滑轮、重物A、B和绳索为研究对象,受力如图。对滑轮的转轴O应用动量矩定理，有)(dd)e(iOOtFML系统的动量矩由三部分组成：)(2121grWgrWrJvvrgWvrgWrvJLOOOrWWMiO)()(21)e(F系统的外力主矩为(1)(2)(3)第9章动量矩定理9.3动量矩定理)2()(21grWgrWrJvLOO)3()()(21)e(rWWMiOFrWWgrWgrWrJtvtLOOz)()(dddd2121由动量矩定理得)(dd)e(iOOMtLF两重物的加速度为：21221)(ddWWrgJgWWtvaO滑轮的角加速度为：rgWWrgJWWraO21221)(第9章动量矩定理9.3动量矩定理例9-4如图所示，已知主动力偶矩为M，求：（1）例9-2中物块C的加速度，（2）AB段绳索的拉力。第9章动量矩定理9.3动量矩定理解：（1）例9-2中物块C的加速度。取系统为研究对象，受力如图所示，其外力对轴O的力矩为:grmmMMiO)()(32)e(F在例9-2中已求出系统的动量矩为：rvmmrJJLLLLCOOAOO32221BgrmmMtvrmmrJJLO)(dddtd3232221代入动量矩定理，得)(dd)e(iOOtFML第9章动量矩定理9.3动量矩定理解：（1）例9-2中物块C的加速度。2322123232222132)()()(ddrmmJJgrmmMrrmrmrJJgrmmMatvgrmmMtvrmmrJJLO)(dddtd3232221物块C的加速度为:第9章动量矩定理9.3动量矩定理解：（2）AB段绳索的拉力。取滑轮A为研究对象，受力如图所示,其外力对轴O的力矩为ABiOrFMMT)e()(F而滑轮A对轴O的动量矩为RvJJLAO2111据得AB段绳索的拉力为：)(dd)e(iOOtFML232213211T)()()(22RrmmRJJgrmmMJrMRraJrMFAB第9章动量矩定理设刚体在主动力F1,F2,···,Fn作用下绕定轴z转动，与此同时，轴承上产生了约束力FA和FB。用Mz=∑Mz(F(e))表示作用在刚体上的外力对转轴z的主矩(约束力FA,FB自动消去)。刚体对转轴z的动量矩Lz=JzωzzMtJddzzMtLdd于是根据动量矩定理可得9.4刚体定轴转动微分方程第9章动量矩定理考虑到22ddddtt则上式可写成)(dd)e(22izzMtJF或zzMJ即，定轴转动刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积,等于作用于刚体的外力对转轴的主矩——刚体定轴转动微分方程。zzMtJdd9.4刚体定轴转动微分方程第9章动量矩定理9.4刚体定轴转动微分方程例9-5已知定滑轮半径为R，转动惯量为JO，带动定滑轮的胶带拉力为FT1和FT2。求定滑轮的角加速度。解：RFFJO)(2T1TOJRFF)(2T1T（2）根据刚体定轴转动微分方程有所以（1）定滑轮受力如图（b）第9章动量矩定理9.4刚体定轴转动微分方程例9-6图示一质量为m的物理摆(也称复摆)在铅垂平面内摆动，点C为其质心，质心C到