理论力学9-刚体动力学

1第9章刚体动力学2013年12月16日第章动力刚体动第9章引言动力学普遍定理给出了一般质点系动力学问题的分析方法，之前着重分析了刚体平面运动的动力学问题刚体定点运动和一般运动在理论和工程上都具有重要意义，如何分析其动力学问题？如何求解定轴转动刚体的约束反力？动力学2/38如何求解定轴转动刚体的约束反力？9.1刚体动力学方程2013年12月16日刚体动第9章定点：O刚体定点运动的动量矩刚体对O点的动量矩Oxzr固定坐标系固连坐标系Oxyz动力学4/38dOmLrv列阵形式yo2()()()()rrvrωrrrωωrrωωrr2()dOrmLωωrr2TdOOrmωLrωJrω刚体动第9章惯量矩阵固连系中刚体对O点的惯量矩阵2TdxxyxzOyxyyzzxzyzJJJrmJJJJJJJIrr转动惯量22()dxJyzm22()dyJzxm动力学5/38惯量矩阵是对称阵，它描述物体对点O的质量分布状况，是表示物体绕点O转动惯性的度量转()xy惯性积dxyyxJJxym()y22()dzJxymdxzzxJJxzmdyzzyJJyzm刚体动第9章定点运动刚体的动能211()22iiiiiTmvmvωrT1OTJ11()22iiiomωrvωL动力学6/382OTJ2刚体动第9章刚体相对于质心平动系的动量矩和动能相对质心动量矩()CriiiriiimmLρvρωρ2[()]iiiimωρρω其中2T[]CiiiimJICrCLJω相对运动动能11动力学7/38相对运动动能211()2211()22riiriiriiiirCrTmvmmvωρωρvωLT12rCTJ刚体一般运动的动能：2T1122CCTmvJ刚体动第9章例9-1均质细杆绕z轴匀速转动，质量为m，求:1.杆对O点的惯量矩阵2.杆对O点的动量矩3.杆的动能zOzω动力学8/38xyl刚体动第9章例9-1解建立固连坐标系Oxyz0,0xz1.杆对O点的惯量矩阵0xyxzyzyJJJJxyzOlzω动力学9/38221133,xzJmlJml2213130000000OmlJml刚体动第9章例9-1解2.杆对O点的动量矩T(0,0,)zzωkT()ooxzzyzzzzJJJLJ213ozmlLk3杆的动能动力学10/383.杆的动能T222111226ozzzTJmlJ解法一：解法二：2222222111282416CrzzzTmvTmlmlml刚体动第9章惯性主轴可以证明，一定存在正交阵A，使得TOOJ'AJA为对角阵000000xOyJJJJ'惯量矩阵的转轴公式动力学11/3800zJ惯量矩阵为对角阵的坐标系Oxyz称为主轴坐标系，相应的坐标轴称为惯性主轴，对角元称为主转动惯量。惯量矩阵为对角阵的质心坐标系Cxyz称为中心主轴坐标系，相应的坐标轴称为中心惯性主轴。刚体动第9章确定惯性主轴的几何法如果均质刚体有对称平面，则平面上某点的惯性主轴之一必与平面垂直如果均质刚体有对称轴1z2z2o1oP对称面0iiizxm0iiizym动力学12/38如果均质刚体有对称轴,则此轴是轴上各点的惯性主轴xzy对称轴0iiizxm0iiizym3刚体动第9章例9-2用几何法确定中心惯性主轴2222112112()000()0CmbcmacJabczxy动力学13/382211200()mabxyz222141412000000CmRmRmRJ刚体动第9章确定惯性主轴的解析法矢量LO与一般不共线：LO=JO如果沿某一惯性主轴z：=zkLO=Jz—LO与共线—惯性矩阵的特征值问题JO=动力学14/380xxyxzxyxyyzyzxzyzzJJJJJJJJJJO是实对称阵，必存在三个实特征值（即为主转动惯量），相应的特征向量就是三个惯性主轴。刚体动第9章对于固连系定点运动刚体的动力学方程()ddeOOtLM()ddeOOOtLωLM()eOOOJωωJωM动力学15/38上式非常复杂，是否有简化形式？刚体动第9章欧拉动力学方程固连坐标系为主轴坐标系()()()xxzyyzxyyxzxzyzzyxyxzJJJMJJJMJJJM讨论：若外力系的主矩是角速度和时间的函动力学16/38讨若外力系矩角度时函数，则可由欧拉动力学方程求解角速度，再由欧拉运动学方程积分得到欧拉角；若外力系的主矩还是欧拉角的函数，则需要联立欧拉动力学方程和欧拉运动学方程求解。sinsincossincossincosxyz刚体动第9章刚体一般运动的微分方程刚体质心的运动（质心运动定理）()eCmvR刚体相对于质心平动系的运动（相对质心动量矩定理）()ddeCCCtLωLM动力学17/38讨论：如果两个力系的主矢量和对质心的主矩相等，则在这两个力系作用下刚体质心的运动和绕质心的定点运动完全相同，因此两个力系等效。dt9.2定轴转动刚体的动反力2013年12月16日4刚体动第9章定轴转动刚体的动反力固定坐标系,ωεAC2FFzARO固连坐标系Oxyz在固连坐标系中T[00]ωT[00]ε解除约束代之以约束反力动力学19/38crOl1FmFxyOR解除约束，代之以约束反力，刚体动力学方程为COAmvRRRddOOOOAArtLωLMR刚体动第9章定轴转动刚体的动反力固连系中的分量形式2xOxACxCmymxRRR,ωεAC2FFzAR2CCyOyAymRRxmyR0zOzRR2xzyzxAyJMJlR动力学20/38crOl1FmFxyORxzyzxAy2yzxzyAxJMJlRzzJM轴承动反力反映了刚体对转轴的动力不对称性刚体动第9章定轴转动刚体的动反力动反力等于静反力的条件20CCyx20CCyx224200CCxy动力学21/3820xzyzJJ20xzyzJJ0xzyzJJ定轴转动刚体的动反力等于静反力的充要条件是，转动轴为刚体的中心惯性主轴刚体动第9章例9-3已知：旋转对称刚体的三个中心主转动惯量为J1、J1、J3，在转轴AB上有安装偏角α。求：以角速度匀速转动时A、B轴承的动反力动力学22/38刚体动第9章例9-3解11sincosωjk111111111CxxyyzzJJJLijk1131sincosJJjk对质心的动量矩建立固连坐标系Cx1y1z1，基向量i、j、k动力学23/381131sincosJJjk2131d()sincosdCCJJtLωLi刚体动第9章例9-3解112121()2()sincoscos()02sin()02CxAyByCyBxAxCzBxAxlMNNJJlMNNlMNN动力学24/38质心运动定理0,0AxBxAyByNNNN2130,0sincosAxBxAyByNNJJNNl5刚体动第9章转子动平衡动不平衡的转子对转子进行动平衡动力学25/38附加质量以改变整个转子的质量分布，使转轴成为中心惯性主轴0yzJ0yzJ刚体动第9章转子动平衡动力学26/389.3陀螺近似理论2013年12月16日刚体动第9章陀螺如果刚体对O点的两个主转动惯量对称，例如Jx=Jy=J，则称刚体动力学对称，Oz轴称为动力学对称轴。陀螺：绕动力学对称轴高速旋转的定点运动刚体动力学28/38结构特性：动力学对称运动特性：绕对称轴高速旋转陀螺有何动力学特性？如何解释？刚体动第9章规则进动N(节线)yzZYOx—进动角—自转角—章动角0,02,02欧拉角：动力学29/38N(节线)X021自转角速度进动角速度2规则进动：自转角速度和进动角速度的大小都是常数、章动角为常数的定点运动刚体动第9章莱查定理刚体对定点的动量矩矢量端点在惯性参考系中的速度，等于外力对同一点的主矩OOOLLuM可由动量矩定理和变矢量对时间的导数的几何意义证明动力学30/38何意义证明6刚体动第9章陀螺近似理论xz1212ωωω12()OxxyyzzJJJLi+j+k2212()xxyyzzJJJi+j+k12()zzJkJk动力学31/38yo1zJk基本假设：高速自转陀螺的动量矩矢量与角速度矢量都沿着动力学对称轴1zJω刚体动第9章陀螺近似理论OOLM1OzJLω2OOLωL21OzJMωω陀螺近似公式动力学32/3821Oz陀螺近似公式xyzo12刚体动第9章陀螺运动的力学性质1.如果外力矩为零，陀螺的对称轴的方向在惯性空间保持不变高速转动的陀螺受短时间干扰时，对称轴的方向几乎不变应用惯性导航21OzJMωω动力学33/38应用：惯性导航刚体动第9章陀螺运动的力学性质21OzJMωω2.如果外力矩不为零，且力矩矢量与陀螺对称轴不重合，陀螺发生进动，对称轴在惯性空间中转动实例：自行车的转弯动力学34/38实例：炮弹翻转的防止刚体动第9章陀螺运动的力学性质动力学35/38刚体动第9章陀螺运动的力学性质21OzJMωω3.若外界迫使陀螺的对称轴改变方向，则陀螺必对迫使其运动的物体施加力矩，称为陀螺力矩。这一力学现象称为陀螺效应。动力学36/382ω1ωgM当计算机硬盘转动时，搬动计算机会损坏硬盘21gzJMωω7刚体动第9章陀螺运动的力学性质21gzJMωω动力学37/38zO舰艇在波浪中行进时，转动系统的陀螺效应可能产生疲劳破坏1ω2ω刚体动第9章动力学38/38