南昌市2014―2015学年度第一学期高二年级期中考试(文科甲卷)

南昌市2014—2015学年度上学期期中检测高二文科数学（甲卷）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共21小题．共150分。共4页，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。注意事项：1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上。2、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。请保持卡面清洁，不折叠、不破损。第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。)1.在直角坐标系中,直线330xy的倾斜角是A．6B．3C．65D．322．已知直线l：10ymx与直线(21)1mymx平行，则直线l在x轴上的截距是A．1B．22C．－1D．－23．若变量x，y满足约束条件0201yxyxy，则yxz2的最大值是A．1B．2C．3D．44.若圆220xyaxbyc与圆221xy关于直线21yx对称，则abA．45B．125C．45D．1255．过点(0,1)引22430xyx的两条切线，这两条切线夹角的余弦值为A．32B．31C．54D．536．圆22(2)1xy的圆心到直线10xy的距离为A．22B．1C．2D．227．若双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线与抛物线22yx有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是A．[3,)B．(3,)C．(1,3]D．(1,3)8．已知1F、2F分别为椭圆C的两个焦点,点B为其短轴的一个端点,若12BFF为等边三角形,则该椭圆的离心率为A．2B．3C．32D．129．若1m，则方程222111xymm表示A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D.焦点在y轴上的双曲线10.抛物线)0(2aaxy的焦点坐标是A．)0,4(aB．)0,4(aC．)41,0(aD．)41,0(a11.已知椭圆2214xy，O为坐标原点.若M为椭圆上一点，且在y轴右侧，N为x轴上一点，90OMN，则点N横坐标的最小值为A.2B.3C.2D.312．若圆0104422yxyx上至少有三个不同的点到直线0:byaxl的距离为22，则直线l的倾斜角的取值范围是A．]60,15[B．]90,0[C．]60,30[D．]75,15[第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4个小题．每小题4分．共16分)13．求过直线1:230lxy与直线2:2380lxy的交点，且到点0,4P的距离为1的直线l的方程。14．直线lyx：与园22260xyxy相交,AB两点，则AB=______。15.双曲线221412xy的渐近线方程为_______.16．直线00xymm与圆222xy+=交于不同的两点A、B，O是坐标原点且OAOBAB，则实数m的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答题应根据要求写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分）如图，在平行四边形OABC中，点(3,0)A,C（1，3）,过点C做CD⊥AB于点D.（1）求CD所在直线的方程；（2）求D点坐标．18．（本小题满分12分）已知圆C经过坐标原点O和点)2,2(，且圆心在x轴上.（1）求圆C的方程；（2）设直线l经过点)2,1(，且l与圆C相交所得弦长为32，求直线l的方程.DBCAO1xy19．（本小题满分12分）已知AOB中，O为原点，点(4,0)A，点(0,2)B，圆C是AOB的外接圆，(,)Pmn是圆C上任一点，(2,2)Q。(1)求圆C的方程；(2)求22mn的最大值与最小值。20.已知抛物线2:12Cyx，点(,0)Ma，过M的直线l交抛物线C于,AB两点.（1）若1a，抛物线C的焦点与AB中点的连线垂直于x轴，求直线l的方程；（2）设a为小于零的常数，点A关于x轴的对称点为A，求证：直线AB过定点.21.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214yx的焦点，离心率为255.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若1MAAF，2MBBF，求证：1210.22.已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点B(0，4)，离心率e=0.6.(1)求椭圆C的方程；(2)若O(0，0)，P(2，2)，试探究在椭圆C内部是否存在整点Q(平面内横、纵坐标都是整数的点为整点)，使得△OPQ的面积S△OPQ=4?若存在，请指出共有几个这样的点(不必具体求出这些点的坐标)；否则，说明理由.南昌市2014—2015学年度上学期期中检测高二文科数学(甲)参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BCCADAADBCBD二、填空题（每小题4分，共16分）13．1x=或34110xy+-=14．4215．3yx16．[2,)三、解答题（本大题共6小题，共75分）17．解：（1）因为直线OC的斜率为3且CDOC所以直线CD的斜率为13………………3分所以直线CD的方程为13(1)3yx：化简得：3100xy………………6分（2）因为OC∥AB，所以=………8分又(3,0)A所以直线AB的方程为：y=3(x-3)………………10分联立方程310039xyyx解得：37102110xy所以3721(,)1010D…………………………………………12分18．解：（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为(,0)a，依题意，有22(2)2aa，………………2分即2248aaa，解得2a，………………4分所以圆C的方程为22(2)4xy.………………6分（2）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，………………8分所以直线1x符合题意.………………9分DBCAO1xy另，设直线l方程为2(1)ykx，即20kxyk，则2211kk，解得34k，………………10分所以直线l的方程为32(1)4yx，即34110xy.……11分综上，直线l的方程为10x或34110xy.………………12分19．解：（1）因为AOB是直角三角形，所以外接圆的圆心是AB的中点(2,1)半径为5，所以圆C的方程是：22(2)(1)5xy（2）22mn表示点(,)Pmn与(2,2)Q连线的斜率由斜率与倾斜角的关系可知，当直线PQ与圆C相切时，22mn取得最大值与最小值设直线PQ方程为：2(2)ykx即：220kxyk，则2|2122|51kkk解得：2k或211k，所以22mn的最大值为2，最小值为21120.（1）解：由已知，抛物线2:12Cyx的焦点坐标为(3,0)F.…………1分设过点(1,0)M的直线l的方程为(1)ykx，由2(1),12,ykxyx得2222(212)0kxkxk.………………2分设11(,)Axy，22(,)Bxy，则2122212kxxk.………………3分因为F与AB中点的连线垂直于x轴，所以1232xx，即226=3kk.……4分解得2=3k，=3k.………………5分所以，直线l的方程为=3(1)yx.………………6分（2）证明：设直线l的方程为()ykxa.由2(),12ykxayx得22222(212)0kxakxak，………………7分则20k，且2481440ak，即0k，且230ak.2212122212,akxxxxak.………………8分因为,AA关于x轴对称，所以11(,)Axy，直线212221:()yyAByyxxxx，又21112yx，22212yx，所以222112()yxxyyy，所以22121221212121121212xyyyyyyxxyyyyyyyy.………………9分因为2221212144144yyxxa,又12,yy同号,0a，所以1212yya，…10分所以直线AB的方程为212121121212()ayxxayyyyyy，……11分所以，直线AB恒过定点(,0)a.………………12分21.(1)解：设椭圆C的方程为22221xyab（a＞b＞0），……1分抛物线方程化为24xy，其焦点为(0,1)，………………2分则椭圆C的一个顶点为(0,1)，即1b………………3分由222255cabeaa，∴25a，所以椭圆C的标准方程为2215xy………………6分(2)证明：椭圆C的右焦点(2,0)F，设11220(,),(,),(0,)AxyBxyMy，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为(2)ykx，代入方程2215xy并整理，得2222(15)202050kxkxk………………7分∴21222015kxxk，212220515kxxk………………8分又110(,)MAxyy，220(,)MBxyy，11(2,)AFxy，22(2,)BFxy，而1MAAF，2MBBF，即110111(0,)(2,)xyyxy，220222(0,)(2,)xyyxy∴1112xx，2222xx，……………10分所以121212121212122()2102242()xxxxxxxxxxxx……………12分22.解：(1)设椭圆C的方程为2222xy+=1ab(ab0)，……1分依题意得，b=4，c3=a5，又a2=b2+c2，……3分∴a=5，b=4，c=3，……4分所以椭圆C的方程为22xy+=12516.……5分(2)依题意得，|OP|=22，直线OP的方程为y=x，……6分因为ΔOPQS=4，点Q到直线OP的距离为22，……7分所以点Q在与直线OP平行且距离为22的直线l上，……8分设l：y=x+m，则|m|=222解得m=±4，……10分当m=4时，由22y=x+4xy+12516，消元得41x2+200x0，即200x041，x∈Z，∴x=―4，―3，―2，―1，相应的y也是整数，此时满足条件的点Q有4个，……13分当m=－4时，由对称性，同理也得满足条件的点Q有4个.综上，存在满足条件的点Q，这样的点有8个.……14分