洛朗级数展开习题精讲

§3.5洛朗(Laurent)级数展开已知：当f(z)在圆|z-z0|R内解析时，Taylor定理告诉我们，f(z)可展开成幂级数。问题的提出为了研究函数在奇点附近的性质，需要函数在孤立奇点z0邻域上的展开式。考虑：当f(z)在圆|z-z0|R内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。教学目的与要求:了解双边幂级数,了解洛朗级数与泰勒级数的关系,掌握解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式的求法.重点:解析函数的洛朗展式;解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式的求法.难点：解析函数的洛朗展式的证明.一、双边幂级数(含有正、负幂项)00)(kkkzza...)(...)()()()(...)(...)(020201010120200kkkkkkkzzazzazzaazzazzazzazza其中正幂部分称为解析(正则)部分，负幂部分称为主要(无限)部分。10)(kkkzza收敛区域(环)的确定：正则部分收敛(圆)区域为：负幂部分令则设→即负幂部分在|z-z0|=R2的圆外收敛。00)(kkkzza)(10kkkzza)0(||110RRzz01zz...33221aaa21||RR0||220RRzz，由此，我们可以用它的正幂项级数和负幂项级数的敛散性来定义原级数的敛散性。规定：当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛时，原级数收敛，并且把原级数看成是正幂项级数与负幂项级数的和。讨论：(1)若R1R2，则双边幂级数处处发散，(2)若R1R2，则双边幂级数就在R2|z-z0|R1环状区域内收敛，环状收敛域称为收敛环。双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛，在环外发散，在环上敛散性不定。正则部分主要部分00)(kkkzza10)(kkkzza01zz收敛环R2|z-z0|R1双边幂级数的性质定理1：双边幂级数在收敛环上的和函数是一解析函数，并且在任意较小的闭圆环上一致收敛。kkkzza)(011022||RRzzRR定理2：设双边幂级数的收敛环B为R2|z-z0|R1，则f(z)(1)在B内连续；(2)在B内解析，且逐项可导；(3)在B内可逐项积分。kkkzzazf)()(0定理3：设函数f(z)在环状区域R2|z-z0|R1的内部单值解析，则对于环内任一点z，f(z)必可展开成，其中kkkzzazf)()(0Ckkdzfia10)()(21称为洛朗系数，C为环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线(也可取圆周)几点说明：(1)z=z0(即展开中心)可能不是f(z)的奇点，但在|z-z0|≤R2上，存在奇点(即内圆以内存在奇点)；(2)洛朗系数，因为成立的条件是f(z)在C内解析；(3)洛朗展开的唯一性；!)(0)(kzfakkCkkdzfikzf100)()()(2!)((4)如果只有环心z0是f(z)的奇点，则内圆半径可以任意小，同时z可以无限地接近z0点，这时就称为f(z)在它的孤立奇点z0的邻域内的洛朗展开式。若f(z)在z0不解析(不可微或无意义)，而在去心邻域0|z-z0|ε内解析，则称z=z0是f(z)的孤立奇点。若在z0无论多么小的邻域内，总有除z0外的奇点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。泰勒级数在其收敛圆内具有的许多性质在收敛圆环域R2|z-z0|R1内的洛朗级数也具有。在收敛圆环域内的洛朗级数可以逐项求导、逐项积分、和函数是解析函数。kkkzza)(0求洛朗展开式的系数Cn洛朗展开式的系数Cn用公式计算是很麻烦的，由洛朗级数的唯一性，我们可用别的方法，特别是代数运算、代换、求导和积分等方法展开，这样往往更便利(即间接展开法)。同一个函数在不同的收敛圆环域内的洛朗级数一般不同；由洛朗级数的唯一性可知，同一个函数在相同的收敛圆环域内的洛朗级数一定相同。例1求函数在圆环的洛朗级数。2221211212121/21fzzzzzz220012(1)22nnnnnzz　2225(2)(1)zzfzzz解1||2z2z11||2||1,12zz在圆环内于是有洛朗级数注意20112(1)22nnnnnzz　用到已有的展开：01(01)1nnzzz在泰勒展开作业题的错误集中在后半边的展开，特别是原因应该是没有熟练掌握已有的展开例2将函数在指定去心领域内展成洛朗级数并指出收敛范围zzez及1,11我们知道在原点邻域上的展开式为ze)|...(|!31!21!111!1320zzzzzkekkz把z全换成1/z,可得到以下结果:12301111111111...(||)!1!2!3!kzkekzzzzz用1-z去换上式中的z得到：112031111111!11!12!(1)111...(||)3!(1)1kzkekzzzzz即11011(0|1|)!(1)zkkezkz(0||z1z1)z既是的去心领域，又是以为中心点的去心领域）时当（z110z1可得令则2(1.111..)2zeee用到的已知的展开：01(01)1nnzzz在泰勒展开注意23011111...!1!2!3!zkkezzzzk我们知道在原点邻域上的展开式为ze232(1...)22234543235**23!4!5!223!5!eeee（1--）*（1-）*（1-）*（1-）*（1-）所以注：以上每项分别是232,,eee等的展开，继续计算展开相乘得结果2323126111126zzz)z0z1(的去心领域为中心是以z内展成洛朗级数。在把例zezzfz0133zzf32312111z!z!zz!!!zzz4131223解应当指出,根据定理公式直接求一个函数的洛朗级数是很困难的必须计算无穷多个积分才能得到,而不能像泰勒级数通过求导得到,但是根据洛朗级数的唯一性,可以利用已知函数如)1(1,1ln,cos,sin,mzzzzemz等的泰勒展开式和幂级数的运算,特别是代数运算,变量代换,求导和积分等方法求一些初等函数在指定圆环内的洛朗级数,直接利用公式只是个别情况!附录：常见函数泰勒展开23011111...!1!2!3!zkkezzzzk357sin1!3!5!7!zzzzz246cos12!4!6!zzzz000101ln(1)d(1)d1(1),11zznnnnnnzzzzzzzn23(1)(1)1111!2!(1)(2)13!mmmmmmmmzzzmmmz