2013年全国卷理科数学1卷

2013年高考理科数学试题解析（课标Ⅰ）一、选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1、已知集合A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x|－5＜x＜5｝，则()A、A∩B=B、A∪B=RC、B⊆AD、A⊆B【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题.【解析】A=(-,0)∪(2,+),∴A∪B=R,故选B.2、若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()A、－4（B）－45（C）4（D）45【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.【解析】由题知z=|43|34ii=2243(34)(34)(34)iii=3455i，故z的虚部为45，故选D.3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A、简单随机抽样B、按性别分层抽样C、按学段分层抽样D、系统抽样【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题.【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.4、已知双曲线C：22221xyab（0,0ab）的离心率为52，则C的渐近线方程为A.14yxB.13yxC.12yxD.yx【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.【解析】由题知，52ca，即54=22ca=222aba，∴22ba=14，∴ba=12，∴C的渐近线方程为12yx，故选C.5、运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t，则输出s属于A.[-3,4]B.[-5,2]C.[-4,3]D.[-2,5]【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.【解析】有题意知，当[1,1)t时，3st[3,3)，当[1,3]t时，24stt[3,4]，∴输出s属于[-3,4]，故选A.6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A、500π3cm3B、866π3cm3C、1372π3cm3D、2048π3cm3【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易题.【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则222(2)4RR，解得R=5，∴球的体积为3453=500π33cm，故选A.7、设等差数列{an}的前n项和为Sn，1mS＝－2，mS＝0，1mS＝3，则m＝()A、3B、4C、5D、6【命题意图】本题主要考查等差数列的前n项和公式及通项公式，考查方程思想，是容易题.【解析】有题意知mS=1()2mmaa=0，∴1a=－ma=－（mS-1mS）=－2，1ma=1mS-mS=3，∴公差d=1ma-ma=1，∴3=1ma=－2m，∴m=5，故选C.8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.168B.88C.1616D.816【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题.【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为21244222=168，故选A.9、设m为正整数，2()mxy展开式的二项式系数的最大值为a，21()mxy展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝()A、5B、6C、7D、8【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题.【解析】由题知a=2mmC，b=121mmC，∴132mmC=7121mmC，即13(2)!!!mmm=7(21)!(1)!!mmm，解得m=6，故选B.10、已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A、x245＋y236＝1B、x236＋y227＝1C、x227＋y218＝1D、x218＋y29＝1【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题，是中档题.【解析】设1122(,),(,)AxyBxy，则12xx=2，12yy=－2，2211221xyab①2222221xyab②①－②得1212121222()()()()0xxxxyyyyab，∴ABk=1212yyxx=212212()()bxxayy=22ba，又ABk=0131=12，∴22ba=12，又9=2c=22ab，解得2b=9，2a=18，∴椭圆方程为221189xy，故选D.11、已知函数()fx=22,0ln(1),0xxxxx，若|()fx|≥ax，则a的取值范围是A.(,0]B.(,1]C.[-2,1]D.[-2,0]【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题。【解析】∵|()fx|=22,0ln(1),0xxxxx，∴由|()fx|≥ax得，202xxxax且0ln(1)xxax，由202xxxax可得2ax，则a≥-2，排除Ａ，Ｂ，当a=1时，易证ln(1)xx对0x恒成立，故a=1不适合，排除C，故选D.12、设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝cn＋an2，cn＋1＝bn＋an2，则()A、{Sn}为递减数列B、{Sn}为递增数列C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列【命题意图】【解析】B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。13、已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____.【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积，是容易题.【解析】bc=[(1)]ttbab=2(1)ttabb=112tt=112t=0，解得t=2.14、若数列{na}的前n项和为Sn＝2133na，则数列{na}的通项公式是na=______.【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第n项与其前n项和的关系，是容易题.【解析】当n=1时，1a=1S=12133a，解得1a=1，当n≥2时，na=1nnSS=2133na－(12133na)=12233nnaa，即na=12na，∴{na}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴na=1(2)n.15、设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，是难题.【解析】∵()fx=sin2cosxx=5255(sincos)55xx令cos=55，25sin5，则()fx=5(sincossincos)xx=5sin()x，当x=2,2kkz，即x=2,2kkz时，()fx取最大值，此时=2,2kkz，∴cos=cos(2)2k=sin=255.16、若函数()fx=22(1)()xxaxb的图像关于直线x=－2对称，则()fx的最大值是______.【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题.【解析】由()fx图像关于直线x=－2对称，则0=(1)(3)ff=22[1(3)][(3)3]ab，0=(1)(5)ff=22[1(5)][(5)5]ab，解得a=8，b=15，∴()fx=22(1)(815)xxx，∴()fx=222(815)(1)(28)xxxxx=324(672)xxx=4(2)(25)(25)xxx当x∈(－∞,25)∪(－2,25)时，()fx＞0，当x∈(25,－2)∪(25,+∞)时，()fx＜0，∴()fx在（－∞，25）单调递增，在（25，－2）单调递减，在（－2，25）单调递增，在（25，+∞）单调递减，故当x=25和x=25时取极大值，(25)f=(25)f=16.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17、（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°(1)若PB=12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式，是容易题.【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=o60，∴∠PBA=30o，在△PBA中，由余弦定理得2PA=o11323cos3042=74，∴PA=72；（Ⅱ）设∠PBA=，由已知得，PB=sin，在△PBA中，由正弦定理得，oo3sinsin150sin(30)，化简得，3cos4sin，∴tan=34，∴tanPBA=34.18、（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.（Ⅰ）证明AB⊥A1C;（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值。【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推论证能力，是容易题.【解析】（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，1AB，1AE，∵AB=1AA，1BAA=060，∴1BAA是正三角形，∴1AE⊥AB，∵CA=CB，∴CE⊥AB，∵1CEAE=E，∴AB⊥面1CEA，∴AB⊥1AC；……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，1EA⊥AB，又∵面ABC⊥面11ABBA，面ABC∩面11ABBA=AB，∴EC⊥面11ABBA，∴EC⊥1EA，∴EA，EC，1EA两两相互垂直，以E为坐标原点，EA的方向为x轴正方向，|EA|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，有题设知A(1,0,0),1A(0,3,0),C(0,0,3),B(－1,0,0),则BC=（1,0，3）,1BB=1AA=(－1,0,3),1AC=(0,－3,3),……9分设n=(,,)xyz是平面11CBBC的法向量，则100BCBBnn，即3030xzxy，可取n=（3，1，-1），∴1cos,ACn=11|ACACn|n||105，∴直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为105.……12分19、（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求