多元函数的基本概念

第一讲多元函数的基本概念一元函数类比法多元函数推广、深化学习方法一元函数多元函数温故知新、注意差异二元函数n元函数以二元函数为主多元函数的基本概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性多元函数的基本概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性一、多元函数的概念（一）引例（二）平面点集（三）多元函数的定义一、多元函数的概念（一）引例（二）平面点集（三）多元函数的定义(一)引例圆柱体的体积rh三角形的面积abc例1hrV2底面半径：r高：h例2三边长：cba,,))()((cpbpappS)(21cbap(海伦公式)两边长：ba,夹角：C(1)(2)CabSsin21(正弦定理)C二元函数三元函数一、多元函数的概念（一）引例（二）平面点集（三）多元函数的定义一、多元函数的概念（一）引例（二）平面点集（三）多元函数的定义(二)平面点集圆柱体的体积rh三角形的面积abc例1hrV2底面半径：r高：h例2三边长：cba,,))()((cpbpappS)(21cbap(海伦公式)两边长：ba,夹角：C(1)(2)CabSsin21(正弦定理)C定义域}0,0|),{(hrhrDf}0,0,0|),,{(cbacbaDf}0,0,0|),,{(CbaCba平面点集空间点集二元函数三元函数平面点集的有关概念二维空间：二元有序实数组(x,y)的全体,即：记作：注二维空间的几何意义—坐标平面二维空间的元素—(,)Pxy坐标平面内的点平面点集：二维空间的任一子集,记作：平面点集E通常是具有某种性质的点的集合,记作：E={(x,y)|(x,y)具有性质P}(1)(2)},|),{(RyRxyx2RE注或RR2R例第一象限内的点n维空间中的点集：记作：(1)y轴上的点(2)(3)单位圆内的点n维空间：n元有序实数组的全体构成的集合,即：n维空间中的元素：}|),0{(Ryy}0,0|),{(yxyx}1|),{(22yxyx},,2,1,|),,,{(21niRxxxxin或nRRRR),,,(21nxxx中的一个点或一个n维向量nR中的任一子集nR一、多元函数的概念（一）引例（二）平面点集（三）多元函数的定义一、多元函数的概念（一）引例（二）平面点集（三）多元函数的定义二元函数的定义的一个非空子集,设D是2R称映射为定义在D上的二元函数,记为f(D)因变量自变量定义域值域Dyxyxfz),(),,(注（2）注意符号f和f(x,y)的区别.（3）表示函数的记号可以任意选取.（1）二元函数也常记作：.),(DPPfzn元函数的定义把二元函数定义中的平面点集D换成n维空间的点集D，映射f:D→R就称为定义在D上的n元函数.nR对于在z=f(x,y)的定义域内任意取定的点P(x,y)，对应的函数值为z=f(x,y).当(x,y)遍取D上的一切点时，得到的空间点集称为二元函数的图形.M二元函数的图形通常是一张曲面.xoyz二元函数的图形}),(),,(|),,{(Dyxyxfzzyx二元函数的定义域使算式有意义的点的集合.求下列函数的定义域:例3(1)2221)ln(yxxyz(2)21),(xyxf多元函数的基本概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性多元函数的基本概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性二多元函数的极限（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性二多元函数的极限（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性邻域)(0oPPUδ00PP点P0的去心邻域记为注设的距离小于的点P(x,y)的全体,称为点P0的邻域.),(000yxP是xoy平面上的一个点,是某一正数.与点),(000yxP记作),,(0PU即：}|||{),(00PPPPU也就是：})()(|),{(),(20200yyxxyxPU若不需要强调邻域半径,邻域也可写成)(0PU聚点E若对任意给定的,点P的去心邻域)δ,(PU内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E注二多元函数的极限（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性二多元函数的极限（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性也记作：记作:定义设二元函数常数A为函数是D的聚点,若存在常数A,都有对任意给定的正数,),()(yxfPf的定义域为D,),(000yxP总存在正数,使得当点),(),(0oPUDyxP时,|),(||)(|AyxfAPf成立，那么就称),(yxf当),(),(00yxyx时的极限,Ayxfyxyx),(lim),(),(00或)),(),((),(00yxyxAyxfAPfPP)(lim0或)()(0PPAPf注二元函数的极限也称二重极限.证明下列极限:例4(1)01sin)(lim2222)0,0(),(yxyxyx(2)0lim222)0,0(),(yxyxyx二多元函数的极限（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性二多元函数的极限（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性四则法则夹逼准则复合法则运算法则例5求下列极限:(1)(2)xxyyxsinlim)2,0(),(222)0,0(),()sin(limyxyxyx22)0,0(),(1sin)(limyxyxyx(3)二多元函数的极限（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性二多元函数的极限（一）有关概念（二）多元函数极限的定义（三）多元函数极限的求法（四）多元函数极限的存在性例6讨论下列函数极限的存在性:(1)),(yxf22yxxy022yx022yx0当)0,0(),(yx时(2)242),(yxyxyxf当)0,0(),(yx时多元函数的基本概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性多元函数的基本概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性（一）多元函数连续性的概念（二）多元初等函数的连续性（三）有界闭区域上多元连续函数的性质三、多元函数的连续性（一）多元函数连续性的概念（二）多元初等函数的连续性（三）有界闭区域上多元连续函数的性质定义设二元函数是D的聚点,),()(yxfPf的定义域为D,),(000yxP且.0DP如果),,(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx则称函数),(yxf在),(000yxP连续.设函数),(yxf在D上有定义，D内的每一点都是函数定义域的聚点，如果函数),(yxf在D的每一点都连续，那么就称函数),(yxf在D上连续，或者称),(yxf是D上的连续函数.例7设,sin),(xyxf证明),(yxf是2R上的连续函数.定义定义设函数是D的聚点,),(yxf的定义域为D,),(000yxP如果函数),(yxf在),(000yxP不连续,则称),(000yxP为函数),(yxf的间断点.例8指出下列函数的间断点:),(yxf22yxxy022yx022yx0(1)11sin),(22yxyxf(2)三、多元函数的连续性（一）多元函数连续性的概念（二）多元初等函数的连续性（三）有界闭区域上多元连续函数的性质三、多元函数的连续性（一）多元函数连续性的概念（二）多元初等函数的连续性（三）有界闭区域上多元连续函数的性质由常数和具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的一个式子表示的多元函数称为多元初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.结论例9求下列函数的极限:xyyxyx)2,1(),(lim(1)(2)xyxyyx11lim)0,0(),(三、多元函数的连续性（一）多元函数连续性的概念（二）多元初等函数的连续性（三）有界闭区域上多元连续函数的性质三、多元函数的连续性（一）多元函数连续性的概念（二）多元初等函数的连续性（三）有界闭区域上多元连续函数的性质（三）有界闭区域上多元连续函数的性质1．有关概念2．有关性质（三）有界闭区域上多元连续函数的性质1．有关概念2．有关性质内点、外点、边界点若存在点P的某邻域U(P),使得U(P)E,若存在点P的某邻域U(P),使得U(P)∩E=,E则称P为E的内点；则称P为E的外点;则称P为E的边界点.若点P的任一邻域U(P)内既含有属于E的点也含有不属于的点,E的内点必属于EE的外点必不属于EE的边界点可能属于E,也可能不属于E.设有点集2RE及点2RP注D开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集的边界EE,则称E为闭集；开区域连同它的边界一起称为闭区域.连通的开集称为开区域,简称区域;。。E的边界点的全体称为E的边界,记作E;若点集E内任何两点，都可用折线联结起来，且该折线上的点都属于E,则称E为连通集对于平面点集E,如果存在某一正数r,使得EU(O,r),其中O是坐标原点，则称E为有界集,否则称为无界集例0),(yxyx41),(22yxyx0),(yxyx41),(22yxyxxyo21xyo开区域闭区域（三）有界闭区域上多元连续函数的性质1．有关概念2．有关性质（三）有界闭区域上多元连续函数的性质1．有关概念2．有关性质有界性和最大值最小值定理介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值．在有界闭区域D上的多元连续函数，必取得介于最大值和最小值之间的任何值.