3.4多元函数的偏导数和全微分

一、偏导数的概念二、高阶偏导数三、可微与偏导数的关系*3.4多元函数的偏导数和全微分四、全微分在二元函数z=f(x,y)中,有两个自变量x,y,但若固定其中一个自变量,比如,令y=y0,而让x变化.则z成为一元函数z=f(x,y0),我们可用讨论一元函数的方法来讨论它的导数,称为偏导数.一、偏导数的定义设z=f(X)=f(x,y)在X0=(x0,y0)的某邻域U(X0)内有定义.固定y=y0,在x0给x以增量x.相应函数增量记作),(),(0000yxfyxxfzx称为z在点X0处关于x的偏增量.定义.),(),(limlim存在如果极限xyxfyxxfxzxxx000000则称这个极限值为z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数.),,(00yxfx记作即xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000此时也称f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数存在.否则称f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数不存在.,00yyxxxzxyxfxfyyxx),(0000或称为z=f(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数.yyxfyfyzyxfyyyxxyyxxy),(,),,(00000000或记作yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000称为z对自变量x的偏导函数(简称偏导数).),(,,),,(xyxfxzxzyxfxx记作xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(01.由偏导数定义知,所谓f(x,y)对x的偏导数,就是将y看作常数,将f(x,y)看作一元函数来定义的.因此,在实际计算时,注求f'x(x,y)时,只须将y看作常数,用一元函数求导公式求即可.求f'y(x,y)时,只须将x看作常数,用一元函数求导公式求即可.2.计算三种方法：(1)用定义计算.(2)先计算再代值得．(3)先计算再计算再计算．00,yxfx,,yxfx00,yxfx,,0yxf00,yxfx,,0yxfx例1.)2,1(322处的偏导数在求yxyxz解或f(x,2)=x2+6x+4,f'x(x,2)=2x+6故f'x(1,2)=2+6=8.yxxz3286221yxxzyxyz2374321yxyz练习.),()ln(),(arctan的偏导数处对在设xyxeyxfxy2122解，，但如果先求偏导数本题实质上是求),(),(yxffxx01，则固定在是我们先把运算是比较麻烦的。于0yy。，则xxfxxfx2020),(ln),(.),(201xf于是例2.2sin2的偏导数求yxz解yxxz2sin222cos2yxyzyx2cos22例3.),1,0(求偏导数设xxxzy解1yyxxzxxyzyln偏导数的概念可推广到三元以上函数中去.比如,设u=f(x,y,z).xzyxfzyxxfuxx),,(),,(lim0它的求法,就是将y,z均看作常数来求即可.例4.222的偏导数求zyxu解22222zyxxuxux22222zyxyuyuy22222zyxzuzuz例5已知,)1(),(yxyyxf求)1,1(,)1,1(yxff解yxyyyxfyx1)1(),(12)1(yxyy1)1,1(xfyeyxfyxyy)1ln(),(yxy)1(xyxy1[)]1ln(xy2ln21)1,1(yf15练：.的偏导数求zyxuxuyuzu1zyzxy1)(lnzyzyxxzyyxxzyzln)(ln在一元函数中,可导必连续,但对多元函数不适用.即,对多元函数f(X)而言,即使它在X0的对各个自变量的偏导数都存在,也不能保证f(X)在X0连续.偏导与连续的关系例设),(yxfz,0,2222时当yxyxxy,0,022时当yx证明：z=f(x,y)在(0,0)的两个偏导都存在,但它在(0,0)不连续.xfxffxx)0,0()0,0(lim)0,0(0xxxx000lim220=0yfyffyy)0,0()0,0(lim)0,0(0yyyy000lim220=0故z=f(x,y)在(0,0)的两个偏导都存在．z=f(x,y)在(0,0)的两个偏导都存在.证),(lim0yxfkxyx21kk当k不同时,极限也不同.f(x,y)在(0,0)的极限不存在.)1(lim2220kxkxxz=f(x,y)在(0,0)的极限不存在,因此它在(0,0)不连续.从几何上看,f'x(x0,y0)存在.只保证了一元函数f(x,y0)在x0连续.也即y=y0与z=f(x,y)的截线1在M0=(x0,y0,z0)是连续的.同理,f'y(x0,y0)存在.只保证了x=x0与z=f(x,y)的截线2在M0连续.但都不能保证曲面z=f(x,y)在M0连续.21在二元函数中，连续不一定能保证偏导数存在，有时某些不连续的点，偏导数却存在.例:函数22yxz在点（0,0)连续，但其偏导数不存在.00yxxzxfxfx)0,0()0,0(lim0xxx00)0(lim220xxx20limxxx0lim(不存在)同理00yxyz(不存在)连续曲面在0M当X从任何方向,沿任何曲线趋于X0时,f(X)的极限都是f(X0).)()(lim00XfXfXX连续曲面在0M偏导数存在不连续曲面在0M也可能偏导数存在,).,(),,(),(yxfyxfyxfzyx的偏导数为设由于它们还是x,y的函数.因此,可继续讨论.),(),,(的偏导数yxfyxfyx二、高阶偏导数xfyyxfyxzxy),(2xfxyxfxzxx),(22设),(yxfz在区域D内可偏导,若),(yxfx),(yxfy偏导．yfyyxfyzyy),(22yfxyxfxyzyx),(2注：（1）二元函数的二阶导数一共有四个：22xzyxz2xyz222yz二阶混合偏导数类似,可得三阶,四阶,…,n阶偏导数.则记可偏导若如,:22xz,2233xzxxz.,2223等等xzyyxz例1..,3sin3322xzyxyxz求全部二阶偏导和设解:122xyxzyyxyzcos222222yxzyxyzsin2222xyyxz42xyxyz42033xz有什么关系？与观察xyzyxz22.,122xyzyxz有中在例若不是,那么满足什么条件时,二阶混合偏导数才相等呢?问题:是否任何函数的二阶混合偏导数都相等?定理1若二阶混合偏导数连续，则它们与yxz2xyz2即:＝求导次序无关.例2求)(sin2byaxz的二阶偏导数xz解:)sin(2byax)cos(byaxa)(2sinbyaxayz)sin(2byax)cos(byaxb)(2sinbyaxb22xz)(2cosbyaxaa2)(2cos22byaxayxz2)(2cosbyaxab2)(2cos2byaxabxyz2)(2cosbyaxba2)(2cos2byaxab22yz)(2cosbyaxbb2)(2cos22byaxb三、全微分的概念复习一元函数的微分：)(xfy)()(00xfxxfy)(xoxAyxAdydyyxxfdy)(0dxxfdy)(0)(0xfdxdy可导微商可微一般说来,算这个改变量较麻烦,希望找计算它的近似公式.该近似公式应满足：(1)好算；(2)有一定的精确度.在实际中,常需计算当两个自变量都改变时,二元函数z=f(X)=f(x,y)的改变量f(x0+x,y0+y)–f(x0,y0).类似一元函数的微分概念,引进记号和定义.记z=f(x0+x,y0+y)–f(x0,y0)=f(X+X)–f(X0).其中X0=(x0,y0).X=(x,y)称为z=f(X)=f(x,y)在点X0=(x0,y0)的全增量.设z=f(X)=f(x,y)在U(x0)内有定义.若z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量z=f(x0+x,y0+y)–f(x0,y0)z=Ax+By+o(||X||))(22yxoyBxA其中A,B是只与x0,y0有关,而与x,y无关的常数.).0,0()(2222yxyxyxo的高阶无穷小表示定义称Ax+By为z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分.则称z=f(x,y)在点(x0,y0)可微.yBxAzzXXXX00d.d即记作)(22yxoyBxAzdzz1.按定义,z=f(x,y)在点(x0,y0)可微)(22yxoyBxAz0)(lim222200yxyxoyx其中注2.若z在点X0=(x0,y0)可微.d0zyBxAzXX近似代替则以.||||22的高阶无穷小所产生的误差是yxX即z–(Ax+By)=o(||X||))(22yxo3.若z=f(x,y)在区域D内处处可微,则称z=f(x,y)在D内可微.z在(x,y)D处的全微分记作dz.即dz=A(x,y)x+B(x,y)y它实际上是一个以x,y,x,y为自变量的四元函数.一元函数z=f(x):若z=Ax+o(x)(1)若z=f(x,y)在点(x0,y0)可微,微分式dz=Ax+By中系数A,B如何求,是否与z的偏导有关?(2)在一元函数中,可微与可导是等价的.在二元函数中,可微与存在两个偏导是否也等价?(3)在一元函数中,可微连续,对二元函数是否也对?dz=Ax=f'(x)·x.结论:对二元函数z=f(x,y),z在(x0,y0)可微(不是存在两个偏导)z在(x0,y0)连续.若z=f(x,y)在点X=(x,y)处可微,则z=f(x,y)在点(x,y)处两个偏导,,存在yzxzdyyzdxxzzd且z在(x,y)处的全微分为定理1偏导数存在可微dyyzdxxzzd且可微存在两个偏导,偏导数存在且连续可微例1000,),(222222yxyxyxxyyxfz设证明z在(0,0)处的两个偏导存在,但z在(0,0)不可微.证由偏导定义xfxffxx)0,0()0,0(lim)0,0(0=0yfyffyy)0,0()0,0(lim)0,0(0=0])0,0()0,0([yfxfzyx但而z22yxyx2322002200)(limlimyxyxyxzyxyx0故z在(0,0)不可微.连续、可导与可微的关系函数可微函数连续偏导数连续偏导存在)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin22yxyxyxxy在)0,0(.定理定理可微的定义例1(0,0)22在yxz(0,0)22在yxz